均值不等式的应用.ppt

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第2课时均值不等式的应用,a,bR,a2+b22ab,1.均值不等式:

a,b是正数,（当且仅当a=b时取“=”）,（当且仅当a=b时取“=”）,2.均值不等式的变形及推广:

1.理解并掌握均值不等式及其变形.2.会用均值不等式求最值问题和解决简单的实际问题.（重点、难点）,

（1）若a,bR+且ab=p（p为常数）则,（当且仅当a=b时取等号）,

（2）若a+b=s，a,bR+,则,（当且仅当a=b时取等号）,求最值要注意三点：

正数定值检验等号是否成立,例1

（1）一个矩形的面积为100m2，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？

最短周长是多少？

（2）已知矩形的周长为36m，问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？

最大面积是多少？

探究点1：

利用均值不等式解决与面积有关的最值问题,解：

（1）设矩形的长、宽分别为xm、ym，依题意得xy=100，,因为x0，y0，所以,因此即2（x+y）40.,当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=10.,两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.,因此，当这个矩形的长和宽都是10m时，它的周长最短，最短周长是40m.,

（2）设矩形的长、宽分别为xm、ym，依题意得2（x+y）=36，即x+y=18，,因为x0，y0，所以，,因此,将这个正值不等式两边平方，得xy81,当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，,因此，当这个矩形的长和宽都是9m时，它的面积最大，最大面积为81m2.,两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.,例2求函数的最大值，以及此时x的值.,解：

，因为x0，,所以,得,因此f（x）,探究点2：

利用均值不等式解决与函数有关的最值问题,当且仅当，即时，式中等号成立.,由于x0，所以，式中等号成立，,因此，此时.,【特别提醒】利用基本不等式求最值应注意的三点

（1）x,y一定要是正数.

（2）求积xy的最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y的最小值时,看积xy是否为定值.（3）等号是否能够取到.,B.,B,_.,36,解：

因为x0,y0,当且仅当时，上式等号成立，所以x=4,y=12时（x+y）min=16.,3.已知x0,y0，且求x+y的最小值；,解：

因为x0,-2+3=1,当且仅当即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1.,4.已知x求函数的最大值;,5.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低，最低总造价是多少元？

答：

当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元,总结：

利用均值不等式求最值需注意的问题：

各数（或式）均为正;和或积为定值;等号能否成立.即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可.,用谅解、宽恕的目光和心理看人、待人，人就会觉得葱茏的世界里，春意盎然，到处充满温暖.蔡文甫,