《误差理论与数据处理》答案.docx

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《误差理论与数据处理》答案

《误差理论与数据处理》

第一章绪论

1-1•研究误差的意义是什么简述误差理论的主要内容。

答：

研究误差的意义为：

（1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；

（2）正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；

（3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。

误差理论的主要内容：

误差定义、误差来源及误差分类等。

1-2•试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么

答：

测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误

差、随机误差、粗大误差。

系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的

规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；

随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。

1-3•试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。

答：

（1）误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大

了”还是“小了”，只是差别量；

绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。

+多少表明大了

多少，-多少表示小了多少。

（2）就测量而言，前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定

1-5测得某三角块的三个角度之和为180°00'02”,试求测量的绝对误差和相对误差

解：

绝对误差等于：

180o0002180°2

相对误差等于：

222

1-6•在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为？

-50n0r0（已00其最大对误差00031%m,试问该被测件的真实长度为多少806060648000

解：

绝对误差=测得值—真值，即：

△L=L-L0已知：

L=50,^L=1卩m=0.001mm,

测件的真实长度L0=L—AL=50-0.001=49.999（mm

1-7•用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa,

问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少

解：

在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。

故二等标准活塞压力计测量值的误差=测得值-实际值，

即：

100.2-100.5=-0.3（Pa）

1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m，其最大绝对误差为20m，试求其最大相对误差。

1-9、解:

20.0005

2.0480

该电压表合格

范围内使用

答：

当我们进行测量时，测量的最大相对误差

相对误差

=5.3625104%

1-13多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0」km，优秀射手能在

距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高？

解：

0.000010.001%

10.00020.02%

多级火箭的相对误差为：

射手的相对误差为：

50m50m

1-14若用两种测量方法测量某零件的长度

多级火箭的射击精度高。

L1=110mm其测量误差分别为11m和9m;

量方法精度的高低。

相对误差

I3I2Il第三种方法的测量精度最高

第二章误差的基本性质与处理

2-1.试述标准差、平均误差和或然误差的几何意义。

答：

从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从N维空间的一个点到一条直线的距离

的函数；

从几何学的角度出发，平均误差可以理解为N条线段的平均长度；

2-2•试述单次测量的标准差和算术平均值的标准差，两者物理意义及实际用途有何不同。

2-3试分析求服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在中的概率

2-4.测量某物体重量共8次，测的数据（单位为g）为236.45,236.37,236.51,236.34,

236.39,236.48,236.47,236.40，是求算术平均值以及标准差。

2-5用别捷尔斯法、极差法和最大误差法计算2-4，并比较

2-6测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA为168.41,168.54,168.59,168.40,

168.50。

试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。

或然误差：

R0.6745x0.67450.0370.025（mA）

平均误差：

T0.7979x0.79790.0370.030（mA）

2-7在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量5次，测得数据（单位为mm为20.0015,

20.0016,20.0018,20.0015,20.0011。

若测量值服从正态分布，试以99%勺置信概率确定

测量结果。

20.001520.001620.001820.001520.0011X

5

正态分布p=99%时，t2.58

测量结果：

XxlimX（20.00150.0003）mm

2—7在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据（单位为mm为20.0015,

20.0016,20.0018,20.0015,20.0011。

若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确

定测量结果。

因n=5较小，算术平均值的极限误差应按t分布处理。

现自由度为：

v=n—1=4;a=1—0.99=0.01,

查t分布表有：

ta=4.60

极限误差为

写出最后测量结果4

0.004mm，若要求

LXiimX20.00155.2410mm

2-9用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差

测量结果的置信限为°.°°5mm，当置信概率为99%寸，试求必要的测量次数。

正态分布p=99%时，t2.58

2-10用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差^=0.001mm,若要求测量的允许极限

误差为土0.0015mm,而置信概率P为0.95时，应测量多少次

解：

根据极限误差的意义，有

根据题目给定得已知条件，有

查教材附录表3有

若n=5,v=4,a=0.05，有t=2.78,

若n=4,v=3,a=0.05，有t=3.18,

即要达题意要求，必须至少测量5次。

2-12某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa）为102523.85,102391.30,102257.97,

102124.65,101991.33,101858.01,101724.69,101591.36，其权各为1,3,5,7,8,6,

4,2，试求加权算术平均值及其标准差。

2-13测量某角度共两次，测得值为1241336,22413'24''，其标准差分别为

13"1，213-8，试求加权算术平均值及其标准差。

2-14甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角各重复测量5次，测得值如下：

试求其测量结果。

。

20"60"35"20"15"。

甲：

x甲7o2'7o2'30"

5

25"25"20"50"45"

乙：

x乙7°2'7°2'33"

5

2-15.试证明n个相等精度测得值的平均值的权为n乘以任一个测量值的权。

证明：

解：

因为n个测量值属于等精度测量，因此具有相同的标准偏差：

n个测量值算术平均值的标准偏差为：

_

已知权与方差成反比，设单次测量的权为P1,算术平均值的权为P2,则

2-16重力加速度的20次测量具有平均值为9.811m/s2、标准差为0.014m/s2。

另

外30次测量具有平均值为9.802m/s2,标准差为0.022m/s2。

假设这两组测量属

于同一正态总体。

试求此50次测量的平均值和标准差。

2-17对某量进行10次测量，测得数据为14.7,15.0,15.2,14.8,15.5,14.6,

14.9,14.8,15.1,15.0,试判断该测量列中是否存在系统误差。

X14.96

按贝塞尔公式10.2633

10

Vi

按别捷尔斯法21.253——i10.2642

<10（101）

210.0034

1

0.67所以测量列中无系差存在。

2-18对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标

准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH：

50.82,50.83,50.87,50.89;

50.78,50.78,50.75,50.85,50.82,50.81。

试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。

使用秩和检验法:

排序:

序号

1

2

3

4

5

第一组

第二组

50.75

50.78

50.78

50.81

50.82

序号

6

7

8

9

10

第一组

50.82

50.83

50.87

50.89

第二组

50.85

TT所以两组间存在系差

210.0034

1

测的数据为20.06，20.07，20.06，20.08，20.10，20.12，

2-20.对某量进行12次测量，

20.11,20.14,20.18,20.18,20.21,20.19，试用两种方法判断该测量列中是否存在系统

误^差。

解：

（1）残余误差校核法

0.065）

V（0.0650.0550.0650.0450.0250.005）（0.0150.0150.0550.0550.085

0.54

因为V显着不为0，存在系统误差。

（2）残余误差观察法

残余误差符号由负变正，数值由大到小，在变大，因此绘制残余误差曲线，可见存在线形系统误差。

（3）

所以不存在系统误差。

2-22

第三章误差的合成与分配

3-1相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件，量块组由四块量块研合而成，它们的基

本尺寸为l140mm，l212mm，l31.25mm，l41.005mm。

经测量，它们的尺寸

偏差及其测量极限误差分别为110.7m,l2°.5m,I30.3m,

I40.1m,Hml10.35m,Im*0.25m,问丨30.20m,血打0.20m

。

试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。

修正值=（111213丨4）

=（0.70.50.30.1）

=0.4（m）

测量误差：

2222

I=••-.•lim片liml2lim13limI4

=.（0.35）2（0.25）2（0.20）2（0.20）2

=0.51（m）

3-2为求长方体体积V,直接测量其各边长为a161.6mm，

b44.5mm,c11.2mm,已知测量的系统误差为a1.2mm，b0.8mm，

体积V系统误差V为:

若：

i

则

右：

i23

则有：

V.（a2a3）2i@03）22（aa2）23

3-4测量某电路的电流I22.5mA，电压Ui2.6V，测量的标准差分别为1°.5mA,

u°.1V，求所耗功率PUI及其标准差p。

PUI12.622.5283.5（mw）

Pf（U,I）U、I成线性关系ui1

3-9•测量某电路电阻R两端的电压U，按式I=U/R计算出电路电流，若需保证电流的误差

为0.04A，试求电阻R和电压U的测量误差为多少

解:

在I=U/R式中，电流I与电压U是线性关系，若需要保证电流误差不大于0.04A，则要保证电压的误差也不大

于0.04択。

3—12按公式V=nr2h求圆柱体体积，若已知r约为2cm,h约为20cm,要使体积的相对

误差等于1%,试问r和h测量时误差应为多少？

解：

若不考虑测量误差，圆柱体积为

根据题意，体积测量的相对误差为1%,即测定体积的相对误差为：

即V1%251.21%2.51

现按等作用原则分配误差，可以求出

测定r的误差应为：

测定h的误差应为：

3-14对某一质量进行4次重复测量，测得数据（单位g）为428.6，429.2，426.5，430.8。

已知测量的已定系统误差

2.6g，测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所

值

序号

极限误差/g

误差传递系数

随机误差

未定系统误差

1

2.1

一

1

2

一

1.5

1

3

一

1.0

1

4

一

0.5

1

5

4.5

一

1

6

一

2.2

1.4

7

1.0

一

2.2

8

一

1.8

1

示。

若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。

最可信赖

xx428.82.6431.4（g）

测量结果表示为：

xXx（431.44.9）g

第四章测量不确定度

4—1某圆球的半径为r,若重复10次测量得r±cr=（3.132±0.005）cm，试求该圆球最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率P=99%。

解：

①求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度

已知圆球的最大截面的圆周为：

D2r

其标准不确定度应为：

u.D:

-22：

43.1415920.0052

Vr

=0.0314cm

确定包含因子。

查t分布表tom（9）=3.25，及K=3.25

故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：

OKu=3.25X0.0314=0.102

②求圆球的体积的测量不确定度

圆球体积为：

V

其标准不确定度应为

[2

V2

ur

Yrr

；4r22

2242

r.163.141593.1320.0050.616

确定包含因子。

查

t分布表10.01

（9）=3.25，及K=3.25

最后确定的圆球的体积的测量不确定度为

u=Ku=3.25X0.616=2.002

4-2.望远镜的放大率D=f1/f2，已测得物镜主焦距fl±c仁（19.8±0.10）cm目镜的主焦距f2±（T2=（0.800±0.005）cm求放大率测量中由fl、f2引起的不确定度分量和放大率D的标准不确定度。

4-3.测量某电路电阻R两端的电压U,由公式I=U/R计算出电路电流I,若测得

U±（Tu=（16.50±0.05）V,R±cR=（4.26±0.02）Q、相关系数pUF=-0.36,试求电流I的标准不确定度。

4-4某校准证书说明，标称值10的标准电阻器的电阻R在20C时为

10.000742129（P=99%）,求该电阻器的标准不确定度，并说明属于哪一类评定的

不确定度。

Q由校准证书说明给定

属于B类评定的不确定度

QR在［10.000742-129,10.000742+129］范围内概率为99%不为100%

不属于均匀分布，属于正态分布

a129当p=99%时，Kp2.58

4-5在光学计上用52.5mm的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由三块量块研合而

成，其尺寸分别是：

1140mm,1210mm,132.5mm，量块按“级”使用，经查

手册得其研合误差分别不超过°45m、°.30m、°25m（取置信概率P=99.73%

的正态分布），求该量块组引起的测量不确定度。

L52.5mm1140mm

1210mm132.5mm

第五章线性参数的最小二乘法处理

3xy2.9

5-1测量方程为x2y0.9试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。

误差方程为

2x3y1.9

V1

2.9

（3x

y）

V2

0.9

（x

2y）

V3

1.9

（2x

3y）

n

ai1ai1x

列正规方程

i1

n

ai2ai〔x

i1

n

ai1ai2yi1

n

ai2ai2y

n

ai1li

i1

n

ai2〔i

i1

代入数据得

14x5y

5x14y

13.4解得

4.6

0.962

将x、y代入误差方程式

测量数据的标准差为

求解不定乘数d11

d21

0.015

Vi

V2

2.9

0.9

1.9

（30.962

（0.9622

（20.962

V3

d12

d22

14d11

5d11

5d12

14d12

解得d11d220.082

x、y的精度分别为

5-7不等精度测量的方程组如下:

V1

列误差方程v2

V3

正规方程为

代入数据得

14d21

5d21

5d?

2

14d22

■.d11

0.01

3y

4x

2x

0.015）

0.015）

30.015）

0.038

5.6,

8.1,P2

0.5,P3

P1

0.001

0.032

0.021

.d220.01

5.6

（x

3y）,P1

1

8.1

（4x

y）,P2

2

0.5

（2x

y）,P3

3

3

3

3

试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。

piai1ai1xpiai1ai2ypai1li

i1i1i1

333

piai2ai1xpai2ai2ypiai2li

i1i1i1

45xy62・2解得x皿4

x14y31.5y2.352

v,0.022

将x、y代入误差方程可得v20.012

v30.016

45d11

d121

d11

d〔2

dn

14d120

求解不定乘数

d21

d22

45d21

d220

d21

14d221

”口d11

0.022

解得11

d22

0.072

x、y的精度分别为％

dn0.006y,220.010

则测量数据单位权标准差为

第六章回归分析

6-1材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。

对某种材料试验的数据如下:

正应力x/Pa

26.8

25.4

28.9

23.6

27.7

23.9

抗剪强度y/Pa

26.5

27.3

24.2

27.1

23.6

25.9

正应力x/Pa

24.7

28.1

26.9

27.4

22.6

25.6

抗剪强度y/Pa

26.3

22.5

21.7

21.4

25.8

24.9

假设正应力的数值是正确的，求

（1）抗剪强度与正应力之间的线性回归方程。

（2）当正应力为24.5Pa时，抗剪强度的估计值是多少

（1）设一元线形回归方程

（2）当X=24.5Pa

6-10用直线检验法验证下列数据可以用曲线yabx表示。

x

30

35

40

45

50

55

60

y

-0.4786

-2.188

-11.22

-45.71

-208.9

-870.9

-3802

取点做下表

Z2

30

40

50

60

Z1

-0.32

1.05

2.32

3.58

以Z1与Z2画图