高考数学总练习练习82空间图形的基本关系与公理.docx
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高考数学总练习练习82空间图形的基本关系与公理
2019高考数学总练习练习-8-2空间图形的基本关系与公理
【一】选择题
1、平面外一点P和平面内不共线三点A、B、C,A′、B′、C′分别在PA、PB、PC上,假设延长A′B′、B′C′、A′C′与平面分别交于D、E、F三点,那么D、E、F三点( )
A、成钝角三角形 B、成锐角三角形
C、成直角三角形D、在一条直线上
[答案] D
[解析] D、E、F为平面与平面A′、B′、C′的公共点,由公理3知,D、E、F共线、
2、假设空间中有四个点,那么“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的( )
A、充分非必要条件B、必要非充分条件
C、充分必要条件D、既非充分又非必要条件
[答案] A
[解析] 假设有三点共线于l,当第四点在l上时共面,当第四点不在l上时,l与该点确定一个平面α,这四点共面于α;假设四点共面,那么未必有三点共线、
3、(2017·浙江文,4)假设直线l不平行于平面α,且lα,那么( )
A、α内的所有直线与l异面
B、α内不存在与l平行的直线
C、α内存在唯一的直线与l平行
D、α内的直线与l都相交
[答案] B
[解析] 此题考查了线面、线线关系问题、
由题意可得,l与α相交,那么α内不存在与l平行的直线;
(反证法)假假设∃ml,那么m∥l
又∵lα,∴l∥α这与l不平行平面α相矛盾、
故假设错误、
4、(文)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱AA1、CC1的中点,那么在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线( )
A、不存在 B、有且只有两条
C、有且只有三条D、有无数条
[答案] D
[解析]
在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1个交点N,当M取不同的位置就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点、
(理)如下图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E、F分别是CC1,AD的中点,那么异面直线OE与FD1所成角的余弦值等于( )
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] 取C1D1的中点G,连OG,GE,易知∠GOE就是两直线OE与FD1所成的角或所成角的补角、
在△GOE中由余弦定理知cos∠GOE=
=
=
.
5、(2017·江西理,8)α1,α2,α3是三个相互平行的平面,平面α1,α2之间的距离为d1,平面α2,α3之间的距离为d2,直线l与α1,α2,α3分别相交于P1,P2,P3.那么“P1P2=P2P3”是“d1=d2”的( )
A、充分不必要条件B、必要不充分条件
C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件
[分析] 此题借助平面的基本性质,考查了逻辑推理及立体几何知识,还考查了空间想象能力以及数形结合思想、
[答案] C
[解析]
如上图,α1∥α2∥α3,l与α1,α2,α3分别交于点P1,P2,P3;作FP3⊥α1,且FP3与α2交于点E,那么FE=d1,EP3=d2.
根据“两平行平面与一平面相交所得的交线平行”得P1F∥P2E,那么
=
,显然“P1P2=P2P3”是“d1=d2”的充分必要条件、
6、(文)m、n为异面直线,m平面α,n平面β,α∩β=l,那么l( )
A、与m、n都相交
B、与m、n中至少一条相交
C、与m、n都不相交
D、与m、n中的一条直线相交
[答案] B
[解析] 假设m、n都不与l相交,
∵mα,nβ,∴m∥l、n∥l,
∴m∥n∥l,这与m、n为异面直线矛盾,
故l与m、n中至少一条相交、
(理)将正方形ABCD沿对角线BD折起,使平面ABD⊥平面CBD,E是CD的中点,那么异面直线AE、BC所成角的正切值为( )
A.
B.
C、2 D.
[答案] A
[解析] 取BD中点F,连AF、EF,∠AEF是AE、BC所成的角,∵平面ABD⊥平面CBD,∴AF⊥EF,∴tan∠AEF=
.
【二】填空题
7、α,β,γ几是三个平面,a,b是两条直线,有以下三个条件、
①a∥r,bβ,
②a∥γ,b∥β,
③b∥β,aγ
[答案]①③
[解析]①中α∥γ,aβ,β∩γ=b⇒a∥b;③b∥β,bγ,β∩γ=a⇒a∥b.
8、如下图,在四面体ABCD中,E、F分别是AC和BD的中点,假设CD=2AB=4,EF⊥AB,那么EF与CD所成的角是________、
[答案]30°
[解析]
取AD的中点H.连接FH、HE.
那么EH∥CD,FH∥AB,∴∠FEH为EF、CD所成角,
∴EF⊥FH,EH=2,
又FH=1,
∴∠FEH=30°.∴EF与CD所成的角为30°.
【三】解答题
9、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.
求:
(1)AB与B1C所成的角;
(2)AB与B1D的距离、
[解析]
(1)∵AB∥CD,∴∠B1CD为AB和B1C所成的角,
∵DC⊥平面BB1C1C,
∴DC⊥B1C,
于是∠B1CD=90°,
∴AB与B1C所成的角为90°.
(2)∵AB∥CD,AB平面B1DC,DC平面B1DC,
∴AB∥平面B1DC,
从而AB与B1D的距离即为AB与平面B1DC的距离,
连接BC1交BC于O点,
易知BO⊥B1C,BO⊥CD,
∴BO⊥平面B1DC,
∴BO的长为B到平面B1DC的距离,
∵BO=
,
∴AB与B1D的距离为
.
【一】选择题
1.如下图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出以下四个命题:
①过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交;
②过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直;
③过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交;
④过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行、
其中真命题是()
A、②③④B、①③④
C、①②④D、①②③
[答案]C
[解析]此题考查了立体几何中点线面之间的位置关系的判定,在解题过程中采用了反证的思想,多做有益假设便于做出判断,如①假设还能作一条线,那么两相交线确定一平面,从而证明AB,B1C1共面与它们异面矛盾,从而假设不正确,①正确,②④也是同样的方法证明、
2、(文)对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得()
A、aα,bαB、aα,b∥α
C、a⊥α,b⊥αD、aα,b⊥α
[答案]B
[解析]a、b异面时,A错,C错;假设D正确,那么必有a⊥b,故排除A、C、D,选B.
(理)一个正方体纸盒展开后如下图,在原正方体纸盒中有以下结论:
①AB⊥EF;②AB与CM成60°的角;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.其中正确的选项是()
A、①②B、③④
C、②③D、①③
[答案]D
[解析]如下图,画出折叠后的正方体后,由正方体的性质知①③正确,应选D.
【二】填空题
3、两异面直线a、b所成角为60°,直线l与a、b所成角均为θ,那么θ的取值范围是________、
[答案][30°,90°]
[解析]平移使它们均过同一点O,当l在60°角的平分线位置时,θ=30°,将l绕着O点转动到与a,b都垂直时,θ=90°.∴30°≤θ≤90°.
4、(文)a,b,c是空间中的三条直线,下面给出五个命题:
①假设a∥b,b∥c,那么a∥c;②假设a⊥b,b⊥c,那么a∥c;③假设a与b相交,b与c相交,那么a与c相交;④假设a平面α,b平面β,那么a,b一定是异面直线;⑤假设a,b与c成等角,那么a∥b.上述命题中正确的命题是________(只填序号)、
[答案]①
[解析]由公理4知①正确;当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故②不正确;当a与b相交,b与c相交,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③不正确;aα,bβ,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故④不正确;当a,b与c成等角时,a与b可以相交、平行,也可以异面,故⑤不正确、
(理)如下图是正四面体的平面展开图,G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点,在这个正四面体中,
①GH与EF平行;
②BD与MN为异面直线;
③GH与MN成60°角;
④DE与MN垂直、
以上四个命题中,正确命题的序号是________、
[答案]②③④
[解析]还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60°角,DE⊥MN.
【三】解答题
5、空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD上的点,请回答以下问题:
(1)满足什么条件时,四边形EFGH为平行四边形?
(2)满足什么条件时,四边形EFGH为矩形?
(3)满足什么条件时,四边形EFGH为正方形?
[分析]四边形是平行四边形、矩形、正方形,首先转化为线线平行问题,而证线线平行或用平面几何的方法也可用公理4.
[解析]此题是一个开放性问题、
(1)E、F、G、H为所在边的中点时,四边形EFGH为平行四边形、证明如下:
∵E、H分别是AB、AD的中点,
∴EH∥BD,且EH=
BD.
同理,FG∥BD,且FG=
BD,
从而EH∥FG,且EH=FG,所以四边形EFGH为平行四边形、
一般地
=
=
=
时EFGH为平行四边形、
(2)
=
=
=
且BD⊥AC时,四边形EFGH为矩形、
(3)当E、F、G、H为所在边的中点且BD⊥AC,AC=BD时,四边形EFGH为正方形、
[点评]上述答案并不唯一,如当AE:
AB=AH:
AD=CF:
CB=CG:
CD时,四边形EFGH也为平行四边形、
6、如下图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1、B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,假设A1C交平面BDEF于点R,试确定点R的位置、
[解析]如上图,在正方体AC1中,∵Q∈A1C1,∴Q∈平面A1C1CA.又Q∈EF,∴Q∈平面BDEF,即Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点、同理,P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点、∴平面A1C1CA∩平面BDEF=PQ,又A1C∩平面BDEF=R,∴R∈A1C,
∴R∈平面A1C1CA,又R∈平面BDEF,∴R∈PQ,
∴R是A1C与PQ的交点、
7、(文)如下图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点、求异面直线A1E与GF所成角的大小、
[解析]连接B1G,EG,B1F,CF.
∵E、G是棱DD1、CC1的中点,
∴A1B1綊EG.
∴四边形A1B1GE是平行四边形、
∴B1G∥A1E.
∴∠B1GF(或其补角)就是异面直线A1E与GF所成的角、
在Rt△B1C1G中,B1C1=AD=1,C1G=
AA1=1,
∴B1G=
.在Rt△FBC中,BC=BF=1,
∴FC=
.
在Rt△FCG中,CF=
,CG=1,∴FG=
.
在Rt△B1BF中,BF=1,B1B=2,∴B1F=
,在△B1FG中,B1G2+FG2=B1F2,
∴∠B1GF=90°.
因此,异面直线A1E与GF所成的角为90°.
(理)如下图,ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱、
(1)求证:
BD⊥平面ACC1A1;
(2)二面角C1-BD-C的大小为60°,求异面直线BC1与AC所成角的余弦值、
[解析]解法一:
(1)证明:
∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,∴CC1⊥平面ABCD,
∴BD⊥CC1,
∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC,
又∵AC、CC1平面ACC1A1,且AC∩CC1=C,
∴BD⊥平面ACC1A1.
(2)设BD与AC相交于O,连接C1O.
∵CC1⊥平面ABCD,BD⊥AC,
∴BD⊥C1O,∴∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角,∴∠C1OC=60°.
连接A1B,∵A1C1∥AC,∴∠A1C1B是BC1与AC所成的角、
设BC=a,那么CO=
a,CC1=CO·tan60°=
a,A1B=BC1=
a,A1C1=
a.
在△A1BC1中,由余弦定理得,
cos∠A1C1B=
=
,
∴异面直线BC1与AC所成角的余弦值为
.
解法二:
(1)证明:
建立空间直角坐标系Dxyz,如下图:
设AD=a,DD1=b,那么有D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),C1(0,a,b)、
∴
=(-a,-a,0),
=(-a,a,0),
=(0,0,b),
∴
·
=0,
·
=0,
∴BD⊥AC,BD⊥CC1,又∵AC1、CC1平面ACC1A1,且AC∩CC1=C,
∴BD⊥平面ACC1A.
(2)设BD与AC相交于O,连接C1O,那么点O坐标为(
,
,0),
=(-
,
,b)、
∵
·
=0,
∴BD⊥C1O,又BD⊥CO,
∴∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角,
∴∠C1OC=60°,
∵tan∠C1OC=
=
=
,
∴b=
a,
∵
=(-a,a,0),
=(-a,0,b),
∴cos〈
,
〉=
=
.
∴异面直线BC1与AC所成的余弦值为
.