213实际问题解一元二次方程.docx
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213实际问题解一元二次方程
21.3实际问题解一元二次方程
一．选择题（共12小题）
1．（2015秋•随州期末）教师节期间，某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信．据统计，全组共发了240条祝福短信，如果设全组共有x名教师，依题意，可列出的方程是（ ）
A．x（x+1）=240B．x（x﹣1）=240C．2x（x+1）=240D．
x（x+1）=240
2．（2015秋•江油市期末）王洪存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到期后取出2750元，则年利率为（ ）
A．5%B．20%C．15%D．10%
3．（2015秋•常州期末）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A．200（1+a%）2=148B．200（1﹣a%）2=148
C．200（1﹣2×a%）=148D．148（1+a%）2=200
4．（2015秋•浦城县期末）某农场的粮食产量在两年内从2800吨增加到3090吨，若设平均每年增产的百分率为x，则所列的方程为（ ）
A．2800（1+2x）=3090B．（1+x）2=290
C．2800（1+x）2=3090D．2800（1+x2）=3090
5．（2015春•宁波期末）某超市一月份的营业额为300万元，第一季度的营业额共为1500万元，如果平均每月增长率为x，则由题意可列方程为（ ）
A．300（1+x）2=1500B．300+300×2x=1500
C．300+300×3x=1500D．300[1+（1+x）+（1+x）2]=1500
6．（2015秋•内江期末）2011年初中毕业生诊断考试）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2450张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x﹣1）=2450B．x（x+1）=2450C．2x（x+1）=2450D．
7．（2015秋•卢龙县期末）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．168（1+x）2=108B．168（1﹣x）2=108C．168（1﹣2x）=108D．168（1﹣x2）=108
8．（2015秋•岑溪市期末）某厂通过改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品250元降低到每件160元，则平均每月降低的百分率为（ ）
A．10%B．5%C．15%D．20%
9．（2015秋•揭阳校级期末）一个数的平方与这个数的3倍相等，则这个数为（ ）
A．0B．3C．0或3D．
10．（2015秋•三亚校级期中）某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为56万元．设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．56（1+x）2=30B．56（1﹣x）2=30C．30（1+x）2=56D．30（1+x）3=56
11．（2015秋•江津区期中）九年级
（1）班的全体同学，在新年来临之际，在贺卡上写上自己的心愿和祝福赠送给其他同学各一张，全班共互赠了5112张，设全班有x名同学，那么根据题意列出的方程是（ ）
A．x（x+1）=5112B．x（x﹣1）=5112C．x（x+1）=5112×2D．x（x﹣1）=5112×2
12．（2015秋•大冶市期中）在某次聚会上每两个人都握了一次手，所有人共握手28次．设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）=28B．
x（x﹣1）=28C．x（x+1）=28D．
x（x+1）=28
二．填空题（共6小题）
13．（2016春•房县期末）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请 队参赛．
14．（2014秋•江汉区期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有 人患有流感．
15．（2015秋•宜兴市期末）红星化工厂要在两年内使工厂的年利润翻一番，那么在这两年中利润的年平均增长率是 ．
16．（2015•东西湖区校级模拟）为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18.59万元．设该校为新增电脑投资的年平均增长率为x，根据题意得方程为：
．
17．（2015秋•巴州区校级期末）目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元．设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，根据题意，可得方程 ．
18．（2014秋•平度市校级期末）如图所示，在宽为25m，长为36m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为590m2，道路应为多宽？
若设道路的宽为x米，根据题意可列方程 ．
三．解答题（共7小题）
19．（2012•枣阳市校级模拟）中百商储服装柜在销售中发现：
“宝贝”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，减少库存，商场决定采取降价措施．经市场调查发现：
若每件童装每降4元，那么平均每天就可以多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
20．（2012•杭州模拟）由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格下调后，城区两楼盘相继开盘，小明同时看中其中的一套房，面积均为100平方米：
A楼盘每平方5000元，产权40年；B楼盘每平方12000元，产权70年．A楼盘推出一次付款享受九八折，B楼盘两次降价后为9720元，再一次性送装修费10000元．
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）仅从产权的角度考虑，帮助小明作出选择．
21．（2012•江宁区校级模拟）大众电影院为吸引学生观看电影，推出如图的收费标准：
江南中学组织初三学生观看电影，共支付给电影院3750元，请问共组织了多少学生观看电影？
22．（2012•香坊区一模）如图，在一幅矩形地毯ABCD的四周镶有宽度都是1米的花边．设矩形地毯AB边长为x米．镶有花边后，整个地毯EFGH中FG边长为y米．
（1）若原地毯ABCD的周长为l8米，求y与x的函数关系式不要求写出自变量的取值范围）；
（2）在
（1）的条件下，当整个地毯EFGH的面积是40平方米，且AB＜BC时，AB的长为多少米？
23．（2012•江西模拟）在国家的宏观调控下，某县城的商品房成交价由今年1月份的5000元/m2下降到3月份的4500元/m2．
（1）问2、3两月平均每月降价的百分率（保留1位有效数字）是多少？
（可用计算器）．
（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到5月份该市的商品房成交均价是否会跌破4000元/m2？
请说明理由．
24．（2012•南漳县模拟）某中学校园内有一长100m，宽80m的长方形空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），其余区域为活动区，并且四周出口等宽．若绿化区的总面积恰好占空地面积30%，则每一块矩形绿化区的周长是多少？
25．（2012秋•岳池县期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，每个支干长出多少小分支？
21.3实际问题解一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2015秋•随州期末）教师节期间，某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信．据统计，全组共发了240条祝福短信，如果设全组共有x名教师，依题意，可列出的方程是（ ）
A．x（x+1）=240B．x（x﹣1）=240C．2x（x+1）=240D．
x（x+1）=240
【分析】每个老师都要向除自己之外的老师发一条短信，让人数乘以每个老师所发短信条数等于短信总条数即为所求方程．
【解答】解：
∵全组共有x名教师，每个老师都要发（x﹣1）条短信，共发了240条短信．
∴x（x﹣1）=240．
故选B．
【点评】考查列一元二次方程；得到短信总条数的等量关系是解决本题的关键．
2．（2015秋•江油市期末）王洪存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到期后取出2750元，则年利率为（ ）
A．5%B．20%C．15%D．10%
【分析】设定期一年的利率是x，则存入一年后的本息和是5000（1+x）元，取3000元后余[5000（1+x）﹣3000]元，再存一年则有方程[5000（1+x）﹣3000]•（1+x）=2750，解这个方程即可求解．
【解答】解：
设定期一年的利率是x，
根据题意得：
一年时：
5000（1+x），
取出3000后剩：
5000（1+x）﹣3000，
同理两年后是[5000（1+x）﹣3000]（1+x），
即方程为[5000（1+x）﹣3000]•（1+x）=2750，
解得：
x1=10%，x2=﹣150%（不符合题意，故舍去），即年利率是10%．
故选D．
【点评】此题考查了列代数式及一元二次方程的应用，是有关利率的问题，关键是掌握公式：
本息和=本金×（1+利率×期数），难度一般．
3．（2015秋•常州期末）某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A．200（1+a%）2=148B．200（1﹣a%）2=148
C．200（1﹣2×a%）=148D．148（1+a%）2=200
【分析】等量关系为：
原价×（1﹣降低的百分比）2=148，把相关数值代入即可．
【解答】解：
第一次降价后的价格为200×（1﹣a%），
第二次降价后的价格为200×（1﹣a%）2，
∴可列方程为200×（1﹣a%）2=148．
故选B．
【点评】考查列一元二次方程；得到降价后价格的等量关系是解决本题的关键．
4．（2015秋•浦城县期末）某农场的粮食产量在两年内从2800吨增加到3090吨，若设平均每年增产的百分率为x，则所列的方程为（ ）
A．2800（1+2x）=3090B．（1+x）2=290
C．2800（1+x）2=3090D．2800（1+x2）=3090
【分析】根据增长率的公式，列出方程．
【解答】解：
从2800吨增加到3090吨，增长年数为2，增长率为x，则方程为：
2800（1+x）2=3090．
故选C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中的增长率问题．关键是明确增长的基数，增长次数，增长后的值．
5．（2015春•宁波期末）某超市一月份的营业额为300万元，第一季度的营业额共为1500万元，如果平均每月增长率为x，则由题意可列方程为（ ）
A．300（1+x）2=1500B．300+300×2x=1500
C．300+300×3x=1500D．300[1+（1+x）+（1+x）2]=1500
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：
一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=800，把相关数值代入即可．
【解答】解：
∵一月份的营业额为300万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为300×（1+x），
∴三月份的营业额为300×（1+x）×（1+x）=300×（1+x）2，
∴可列方程为300+300×（1+x）+300×（1+x）2=1500．
即300[1+（1+x）+（1+x）2]=1500．
故选D．
【点评】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
6．（2015秋•内江期末）2011年初中毕业生诊断考试）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2450张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x﹣1）=2450B．x（x+1）=2450C．2x（x+1）=2450D．
【分析】根据题意得：
每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程：
（x﹣1）x=2450．
【解答】解：
根据题意得：
每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，
∴全班共送：
（x﹣1）x=2450，
故选：
A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x﹣1张相片，有x个人是解决问题的关键．
7．（2015秋•卢龙县期末）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．168（1+x）2=108B．168（1﹣x）2=108C．168（1﹣2x）=108D．168（1﹣x2）=108
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1﹣x），第二次后的价格是168（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：
设每次降价的百分率为x，根据题意得：
168（1﹣x）2=108．
故选：
B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
8．（2015秋•岑溪市期末）某厂通过改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品250元降低到每件160元，则平均每月降低的百分率为（ ）
A．10%B．5%C．15%D．20%
【分析】降低后的价格=降低前的价格×（1﹣降低率），如果设平均每次降价的百分率是x，则第一次降低后的价格是250（1﹣x），那么第二次后的价格是250（1﹣x）2，即可列出方程求解．
【解答】解：
如果设平均每月降低率为x，根据题意可得
250（1﹣x）2=160，
∴x1=20%，x2=180%（不合题意，舍去）．
故选：
D．
【点评】本题考查一元二次方程的应用．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）
9．（2015秋•揭阳校级期末）一个数的平方与这个数的3倍相等，则这个数为（ ）
A．0B．3C．0或3D．
【分析】设这个数是x，根据题意可列方程x2=3x，求解即可．
【解答】解：
设这个数是x
x2=3x
x=0或x=3
故选C．
【点评】本题只要设出这个数为x，想到用方程就很容易．
10．（2015秋•三亚校级期中）某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为56万元．设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．56（1+x）2=30B．56（1﹣x）2=30C．30（1+x）2=56D．30（1+x）3=56
【分析】设每月的平均增长率为x，根据某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为56万元．可列出方程．
【解答】解：
设每月的平均增长率为x，
30（1+x）2=56．
故选C．
【点评】本题考查理解题意的能力，是个增长率问题，经过两次变化可列方程．
11．（2015秋•江津区期中）九年级
（1）班的全体同学，在新年来临之际，在贺卡上写上自己的心愿和祝福赠送给其他同学各一张，全班共互赠了5112张，设全班有x名同学，那么根据题意列出的方程是（ ）
A．x（x+1）=5112B．x（x﹣1）=5112C．x（x+1）=5112×2D．x（x﹣1）=5112×2
【分析】设全班有x名同学，根据全班互赠贺卡，每人向本班其他同学各赠送一张，全班共相互赠送了5112张可列出方程．
【解答】解：
∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出贺卡（x﹣1）张；
又∵是互送贺卡，
∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=5112．
故选：
B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是理解题意后，类比数线段来做，互赠张数就像总线段条数，人数类似线段端点数．
12．（2015秋•大冶市期中）在某次聚会上每两个人都握了一次手，所有人共握手28次．设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）=28B．
x（x﹣1）=28C．x（x+1）=28D．
x（x+1）=28
【分析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手（x﹣1）次，x人共需握手x（x﹣1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：
x（x﹣1）次；已知“所有人共握手28次”，据此可列出关于x的方程．
【解答】解：
设x人参加这次聚会，则每个人需握手：
（x﹣1）次，
根据题意得：
x（x﹣1）=28．
故选B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象一元二次方程的应用，关键是理清题意，找对等量关系，需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制．
二．填空题（共6小题）
13．（2016春•房县期末）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请 8 队参赛．
【分析】本题可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有
场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果．
【解答】解：
∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，
∴共7×4=28场比赛．
设比赛组织者应邀请x队参赛，
则由题意可列方程为：
=28．
解得：
x1=8，x2=﹣7（舍去），
所以比赛组织者应邀请8队参赛．
故答案为：
8．
【点评】本题是一元二次方程的求法，虽然不难求出x的值，但要注意舍去不合题意的解．
14．（2014秋•江汉区期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有 512 人患有流感．
【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出x，进而求出第三轮过后，共有多少人感染．
【解答】解：
设每轮传染中平均每人传染了x人，
1+x+x（x+1）=64
x=7或x=﹣9（舍去）．
64+64×7=512（人）．
经过第三轮后，共有512人患有流感．
故答案为：
512．
【点评】本题考查理解题意的能力，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人，然后求出三轮过后，共有多少人患病．
15．（2015秋•宜兴市期末）红星化工厂要在两年内使工厂的年利润翻一番，那么在这两年中利润的年平均增长率是
﹣1 ．
【分析】年利润翻一番就是原来的两倍，设在这两年中利润的年平均增长率是x，原来的年利润为1，那么第一年的年利润为1+x，第二年的年利润为（1+x）（1+x），然后根据年利润翻一番列出方程，解方程即可求出结果．
【解答】解：
设在这两年中利润的年平均增长率是x，原来的年利润为1，
依题意得（1+x）2=2，
∴1+x=±
，
∴x=
﹣1，或x=﹣
﹣1（负值舍去）．
∴在这两年中利润的年平均增长率是
﹣1．
故答案为
﹣1．
【点评】此题主要考查了增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2=后来的量，增长用+，减少用﹣．
16．（2015•东西湖区校级模拟）为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18.59万元．设该校为新增电脑投资的年平均增长率为x，根据题意得方程为：
11（1+x）2=18.59 ．
【分析】设该学校为新增电脑投资的年平均增长率是x，从2009年到2011年两年在增长，可列出方程．
【解答】解：
设该学校为新增电脑投资的年平均增长率是x．
根据题意得：
11（1+x）2=18.59．
故答案为：
11（1+x）2=18.59．
【点评】本题考查了增长率问题，关键是找到增长的结果这个等量关系，列方程求解．
17．（2015秋•巴州区校级期末）目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元．设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，根据题意，可得方程 389（1+x）2=438 ．
【分析】先用含x的代数式表示去年下半年发放给每个经济困难学生的钱数，再表示出今年上半年发放的钱数，令其等于438即可列出方程．
【解答】解：
设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则去年下半年发放给每个经济困难学生389（1+x）元，今年上半年发放给每个经济困难学生389（1+x）2元，
由题意，得：
389（1+x）2=438．
故答案为：
389（1+x）2=438．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
18．（2014秋•平度市校级期末）如图所示，在宽为25m，长为36m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为590m2，道路应为多宽？
若设道路的宽为x米，根据题意可列方程 20×32﹣20x×2﹣32x+2x2=590 ．
【分析】试验地的面积=矩形耕地的面积﹣三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽x，可根据此关系列出方程即可．
【解答】解：
设道路为x米宽，
由题意得：
20×32﹣20x×2﹣32x+2x2=590，
故答案为：
20×32﹣20x×2﹣32x+2x2=590．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，整体面积=各部分面积之和；剩余面积=原面积﹣截去的面积．
三．解答题（共7小题）
19．（2012•枣阳市校级模拟）中百商储服装柜在销售中发现：
“宝贝”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，减少库存，商场决定采取降价措施．经市场调查发现：
若每件童装每降4元，那么平均每天就可以多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
【分析】设每件童装应降价x元，原来平均每天可售出20件，每件盈利40元，后来每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，由此即可列出方程（40﹣x）（20+2x）=1200，解方程就可以求出应降价多少元．
【解答】解：
如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件，则每降价1元，多售2件，设降价x元，则多售2x件．
设每件童装因应降价x元，
依题意得（40﹣x）（20+2x）=1200，
整理得x2﹣30x+200=0，
解之得x1=10，x2=20，
因要减少库存，故x=20．
答：
每件童装因应降价20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，首先找到关键描述语，找到等量关系，然后准确的列出方程是解决问题的关键．最后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
20．（2012•杭州模拟）由于国务院有
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