函数极限习题与解析docx.docx
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函数极限习题与解析docx
函数与极限习题与解析
（同济大学第六版高等数学）
一、填空题
1、设f（x）2xlglgx，其定义域为。
2、设f（x）ln（x1），其定义域为。
3、设f（x）arcsin（x3），其定义域为。
4、设f（x）的定义域是[0，1]，则f（sinx）的定义域为
5、设yf（x）的定义域是[0，2]，则yf（x2）的定义域为
。
。
6、limx2
2xk
4
，则k=
。
x3
x
3
7、函数y
x
，其中
为其可去间断点。
有间断点
sinx
8、若当x
sin2x
，且f（x）在x
0处连续，则f（0）
。
0时，f（x）
x
9、lim（
n
n
n
2
2
2）
。
n
n
1
n
2
n
n
10、函数f（x）在x0
处连续是
f（x）在x0连续的
条件。
11、
（x3
1）（x2
3x
2）
lim
5
3
。
x
2x
5x
12、lim（1
2
）kn
e3
，则k=
。
nn
13、函数y
x2
x2
1
的间断点是
。
3x
2
14x
时，1是比
x
3
x1
的无穷小。
、当
x
15、当x
0时，无穷小1
1
x与x相比较是
无穷小。
1
16、函数y
ex在x=0处是第
类间断点。
3
x
1
间断点。
17、设y
x
，则x=1为y的
1
18、已知f
3，则当a为
时，函数f（x）
1
在x
处连续。
3
asinxsin3x
3
3
sinx
x
0
19、设f（x）
2x
1
若limf（x）存在，则a=
。
x
0
（1
ax）x
x
0
20、曲线y
x
sinx
2水平渐近线方程是
。
x2
21、f（x）
4
x2
1
的连续区间为
。
x2
1
xa,x0
22、设f（x）在x0连续，则常数
cosx,x0
a=。
二、计算题
1、求下列函数定义域
（1）
1
（）y
sinx；
y
；
2
2
1x
1
（3）yex；
2、函数f（x）和g（x）是否相同？
为什么？
（1）f（x）lnx2,g（x）2lnx；
（2）f（x）x,g（x）x2；
（3）f（x）1,g（x）sec2xtan2x；
3、判定函数的奇偶性
（1）y
x2（1x2）；
（2）y3x2
x3；
（3）yx（x1）（x1）；
4、求由所给函数构成的复合函数
（1）yu2
usinv,v
x2
；
（2）yu,u1x2；
（3）yu2,uev,vsinx；
5、计算下列极限
（1）lim（11
1
1n）；
（2）lim123
2
（n1）；
n
2
4
2
n
n
（3）lim
x2
5
；
（4）limx2
x2
2x1；
x2
x
3
x1
1
（5）lim（1
1
）（2
12）；
（6）lim
x3
2x2
；
x
x
x
x2
（x
2）2
（7）limx2sin1
；
（8）lim
x2
1
；
x0
x
x1
3
x
1
x
（9）limx（x2
1
x）；
x
6、计算下列极限
（1）limsinwx
；
（2）lim
sin2x
；
x0x
x0
sin5x
（3）limxcotx；
x0
（5）lim（x
1）x1；
x
x
1
7、比较无穷小的阶
（1）x0时，2xx2与x2x3；
（4）lim（x）x；
x1x
1
（6）lim（1
x）x；
x0
（2）
时
，
1x与
1
（1
x
2
）；
x1
2
8、利用等价无穷小性质求极限
（1）lim
tanx
sinx
；
（2）lim
sin（xn）
（n,m是正整数）；
3
m
x0
sinx
x0（sinx）
9、讨论函数的连续性
f（x）
x1
x1在x1。
3x
x1
10、利用函数的连续性求极限
（1）limln（2cos2x）；
（2）lim（x2xx2x）；
x
x
6
（3）limlnsinx
；
（4）lim（1
1
）2x；
x0
x
x
x
（5）设f（x）lim（1
x）n
求limf（
1）；
n
n
t1
t
1
（6）limxln（x
1）；
x
x
1
11、设函数f（x）
ex,x0
ax,x0
应当怎样选择a，使得f（x）成为在（，）内的连续函数。
12、证明方程x53x1至少有一个根介于1和2之间。
（B）
1、设f（x）的定义域是[0，1]，求下列函数定义域
（1）yf（ex）
（2）yf（lnx）
0
x
o
0
x
0
2、设f（x）
x
0
g（x）
2
x
0
x
x
求f[f（x）],g[g（x）],f[g（x）],g[f（x）]
3、利用极限准则证明：
（1）lim1
1
1
（2）limx[1
]
1；
n
n
x0x
（3）数列2,22,222,的极限存在；
4、试比较当x0时，无穷小2x3x2与x的阶。
5、求极限
（1）limx（x2
1
x）；
（2）lim（2x
3）x1；
x
x
2x
1
（3）lim
tanx
x
3
sinx
；
x0
（4）lim（ax
bx
cx
1
）x
（a0,b0,c0）；
x0
3
xsin1
x
0
）内连续，
6、设f（x）
x
要使f（x）在（,
a
x2
x
0
应当怎样选择数a？
1
7、设f（x）ex1
x
0
求f（x）的间断点，并说明间断点类型。
ln（1
x）,
1
x
0
（C）
1、已知f（x）ex2,f[（x）]1x，且（x）0，求（x）并写出它的定义域。
2、求下列极限：
（1）、lim[cosln（1x）
coslnx]；
（2）、lim
1
xsinxcosx；
x
x0
x
（3）、求lim3x2
5
sin2
；（4）、已知lim（x
a）x
9，求常数a。
x
5x
3
x
xx
a
（5）、设f（x）在闭区间[a,b]上连续，且f（a）a,f（b）b，
证明：
在开区间（a,b）内至少存在一点，使f（）。
第一章函数与极限
习题解析
（A）
一、填空题
（1）（1,2]
（2）（1,）（3）[2，4]
（
）
x2kx（2k1）,kz
（）[2,2]
4
5
（6）-3（7）xk,kz;x0（8）2（9）1
（10）充分
（11）1
（12）
3
（13）x=1,x=2
（14）高阶
2
2
（15）同阶
（16）二
（17）可去
（18）2
（19）-ln2
（20）y=-2（21）[2,1]（1,2]（22）1
二、计算题
1、
（1）（,1）（1,1）（1,）
（2）[0,）（3）（,0）（0,）
2、
（1）不同，定义域不同
（2）不同，定义域、函数关系不同
（3）不同，定义域、函数关系不同
3、
（1）偶函数
（2）非奇非偶函数（3）奇函数
4、
（1）y
（sinx2）2
（2）[y
1
x2]
（3）[y
e2sinx]
5、
（1）[2]
（2）[1]
（3）-9
（4）0
（5）2（6）
2
（7）0
（8）22
（9）1
2
6、
（1）w
（2）2
（3）1
（4）e1
（5）e2
（6）e1
5
7、
（1）2x
x2是x2
x3的低阶无穷小
（2）是同阶无穷小
8、
（1）1
0
m
n
（2）
1,mn
2
m
n
9、不连续
10、
（1）0
（2）1
（3）0
（4）e2
（5）0
（6）-2
11、a=1
（B）
1、
（1）提示：
由
0
ex
1
解得：
x
（
0]
（2）提示：
由
0
lnx
1解得：
x
[1,e]
2、提示：
分成x
o和x
0
两段求。
f[f（x）]
f（x）
，g[g（x）]0
，
f[g（x）]0,
g[f（x）]
g（x）
4、
（1）提示：
1
1
1
1
1
（2）提示：
x（1
1）
x[1]
x1
n
n
x
x
x
（3）提示：
用数学归纳法证明：
an222
5、提示：
2x
3x
2
2x
1
3x
1
令2x
1t（同阶）
x
x
x
61
x
2
1x
；
1
2
）提示：
除以
2x
；e
、（）提示：
乘以
（
2
（3）提示：
用等阶无穷小代换；
（4）提示：
（ax
bx
cx
1
）x
3
1
2
ax
1bx1cx1
x
x
x
3
3x
a
1b
1c
1
ax1bx1cx1
（3
1
abc）
3
7、提示：
limf（x）
limf（x）f（0）（a
0）
x0
x0
8、x
1是第二类间断点
，x
0是第一类间断点
（C）
2
1、解：
因为fxe（x）1x，故（x）ln（1x），再由ln（1x）0，
得：
1x1，即x0。
所以：
（x）ln（1x），x0。
2、解：
原式=lim
1
xsinx
cos2x
=lim1
xsinxsin2x
x0x（
1xsinx
cosx）x
02
x
=1
lim
sinx（x
sinx）=0
2x0
x
3、解：
因为当x
时，sin
2
~2
，
x
x
则lim
3x2
5sin2=lim
3x2
52=lim
6x2
10=6
x
5x3
x
x
5x3x
x
5x2
3x5
a
x
x
a
1
e
a
x
x
2a
4、解：
因为：
=lim
=
a
9=lim（
）
a
e
=e
xx
a
x
1
x
所以e2a9，aln3
5、证明：
令F（x）f（x）x，F（x）在a,b上连续，且
F（a）f（a）a0，F（b）
f（b）b0
。
由闭区间上连续函数的零点定理，在开
区间（a,b）内至少存在一点
（a,b），使F（
）0，即f（）。
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