概率论与数理统计应用实验报告.docx

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概率论与数理统计应用实验报告

西安交通大学实验报告

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课程：

概率论与数理统计应用实验名称：

概率论在实验中的应用实验日期：

2015年12月15日

系别：

电信专业班级：

电信少41

姓名：

刘星辰学号：

2120406102

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一、实验目的：

1.了解matlab在实现数学问题时如何应用；

2.加强对matlab的操作能力；

3.对实际问题在概率论中的应用的理解有所加深；

4.将实际问题进行模拟，提高数学建模能力。

二、实验内容：

本次试验将解决下面4个问题：

1.二项分布的泊松分布与正态分布的逼近；

2.正态分布的数值计算；

3.通过计算机模拟已有分布律进行模拟实验；

4.进行蒲丰投针实验模拟。

三、实验问题分析、解决与思考：

1.二项分布的泊松分布与正态分布的逼近

设X~B（n，p），其中np=2

1）对n=101,…,104,讨论用泊松分布逼近二项分布的误差。

画处逼近的图形

2）对n=101,…,104,计算

，

1）用二项分布计算

2）用泊松分布计算

3）用正态分布计算

比较用泊松分布逼近与正态分布逼近二项分布的优劣。

解：

（1）

x=-10:

0.1:

10;

y1=binopdf（x,10,2/10）;%此处仅列出n=10时的二项分布语句

y2=poisspdf（x,2）;%泊松分布语句

plot（x,y1,'r'）%做出二项分布图像

holdon

plot（x,y2,'b'）%做出泊松分布图像

title（'泊松分布逼近二项分布图像'）

（图中红线为二项分布，蓝线为泊松分布）

n=10，很明显地看出拟合效果不太好，红线与蓝线没有完全重合：

n=100，放大之后可以看出还是有一部分没有很好地拟合（后为局部图）：

n=1000，仅仅只有一部分的拟合程度没有很完美（后为局部图）：

n=10000

可以看出，当n≥100时拟合程度较好。

（2）

i=10;%计算不同分布情况下的P{5≤X≤50}

whilei<=100000

P1=binocdf（50,i,2/i）-binocdf（5,i,2/i）%二项分布下的计算

P2=poisscdf（50,2）-poisscdf（5,2）%泊松分布下的计算

P3=normcdf（（50+0.5-2）/（2*（1-2/i））^0.5）-normcdf（（5-0.5-2）/（2*（1-2/i））^0.5）%正态分布下的计算

i=i*10;%计算不同分布情况下n=101,…,105下的概率

end

i=10;%计算不同分布情况下的P{20≤X≤90}

whilei<=100000

P1=binocdf（90,i,2/i）-binocdf（20,i,2/i）%二项分布下的计算

P2=poisscdf（90,2）-poisscdf（20,2）%泊松分布下的计算

P3=normcdf（（90+0.5-2）/（2*（1-2/i））^0.5）-normcdf（（20-0.5-2）/（2*（1-2/i））^0.5）%正态分布下的计算

i=i*10;%计算不同分布情况下n=101,…,105下的概率

end

结果：

（其中P1对应二项分布，P2对应泊松分布，P3对应正态分布）

P{5≤X≤50}

n=10:

P1=0.0064

P2=0.0166

P3=0.0241

n=100:

P1=0.0155

P2=0.0166

P3=0.0371

n=1000:

P1=0.0165

P2=0.0166

P3=0.0384

n=10000:

P1=0.0166

P2=0.0166

P3=0.0384

P{20≤X≤90}

n=10:

P1=0

P2=6.1062e-15

P3=0

n=100:

P1=8.8818e-16

P2=6.1062e-15

P3=0

n=1000:

P1=5.1070e-15

P2=6.1062e-15

P3=0

n=10000:

P1=5.9952e-15

P2=6.1062e-15

P3=0

问题分析及其总结：

对于比较用泊松分布逼近与正态分布逼近二项分布的优劣，由上面的计算结果进行比较得出：

二项分布X~B（n,p），当n很大，p很小，而np=λ大小适中时，二项分布可用参数为λ=np的泊松分布来近似；当n充分大，且p既不接近于0也不接近于1时，二项分布X~B（n,p）可用正态分布X~N（np,np（1−p））来近似。

2.正态分布的数值计算

设

～

；

1）当

时，计算

，

；

2）当

时,若

，求

；

3）分别绘制

，

时的概率密度函数图形。

解：

（1）

p1=normcdf（2.9,1.5,0.5）;%绘制均值为1.5，标准差为0.5的x<2.9的正态曲线

p2=normcdf（1.8,1.5,0.5）;%绘制均值为1.5，标准差为0.5的x<1.8的正态曲线

P1=p1-p2%计算P{1.8

p3=normcdf（-2.5,1.5,0.5）;%绘制均值为1.5，标准差为0.5的x<-2.5的正态曲线

P2=1-p3%计算P{−2.5

结果：

P{1.8

（2）

x=norminv（0.95,1.5,0.5）%计算P{X

结果：

当P{X

（3）

p1=normcdf（2.9,1.5,0.5）;

p2=normcdf（1.8,1.5,0.5）;

p3=normcdf（-2.5,1.5,0.5）;

p1=p1-p2

p2=1-p3

daan=norminv（0.95,1.5,0.5）

n=-10:

0.1:

10;

y1=normpdf（n,1,0.5）;

y2=normpdf（n,1,0.5）;

y3=normpdf（n,3,0.5）;

plot（n,y1,'r',n,y2,'g',n,y3,'k'）;

结果为：

1.

2.

3.

问题分析及总结：

通过作图可知当正态函数的标准差保持不变时，当均值不断变大时图像不断平行向右移动。

并且通过不断使用matlab，可知使用已给的matlab函数进行正态分布概率计算十分方便，并且可以十分直观地得出我们想要的结论。

正态分布的数值计算使用matlab较为简便。

4.已知每百份报纸全部卖出可获利14元，卖不出去将赔8元，设报纸的需求量

的分布律为

012345

0.050.100.250.350.150.10

试确定报纸的最佳购进量

。

（要求使用计算机模拟）

解：

问题解析：

为求最佳进货量n，须求出对应的利润P。

模拟有m=100000次实验，先通过生成随机概率数组来求出不同情况下的需求量然后求出每一次实验的所得的利润P1，之后累加求出总的P，然后除以实验总次数m求出平均的利润P0。

每次的利润w=14×T−8×（n−T）（需求小于报纸购买量）和w=14×T（需求大于报纸购买量）。

最后通过在不同购买量n情况下的利润值P0的大小进行比较，最后得出在本次模拟试验中得到的最佳报纸购买量n0。

程序如下所示：

T=100000;%设置试验次数为100000次

Profit=0;%设置利润初始值为0

x=rand（T,1）;%生成一维各分量值在0至1之间的长度为T的数组

fori=0:

5%开始循环计算不同购买量下的理论

s=0;%这是用来汇总在同一次购买量下每次试验的利润

fort=1:

T%试验次数为100000次

ifx（t）<0.05%根据所给表格进行不同需求量的计算

N1=1;

elseifx（t）<0.15

N1=2;

elseifx（t）<0.4

N1=3;

elseifx（t）<0.75

N1=4;

else

N1=5;

end

ifi>N1%需求小于报纸购买量时利润的计算方法

Profit=14*N1-8*（i-N1）;

else%需求不小于报纸购买量时利润的计算方法

Profit=14*i;

end

end

s=s+Profit;%各次试验利润进行累加

end

X=I%显示当前报纸的购买量

s=s/T%在固定购买量的平均利润的计算

计算结果如下：

当购买量为0百份时，平均利润为0元；当购买量为1百份时，平均利润为

14元；当购买量为2百份时，平均利润为26.9257元；当购买量为3百份时，

平均利润为37.6359元；当购买量为4百份时，平均利润为42.7967元；当购买量为5百份时，平均利润为40.2967元；故可知在本次计算机模拟试验中可知当购买量为4百份时，平均利润最大为42.7967元。

通过实际推断原理得可以在实际中购买4百份报纸从而来获得最大利润。

问题分析及总结：

通过计算机模拟可以将现实生活中一些难以进行选择的事情进行模拟，之后得到自己想要得到的结果。

通过matlab模拟可以较好地模拟现实（通过构造随机数组），之后统计所需量。

5．蒲丰投针实验

取一张白纸，在上面画出多条间距为d的平行直线，取一长度为r（r

圆周率的近似值。

解：

1）

clear

a=1;

l=0.6;

counter=0;

n=10000000;

x=unifrnd（0,a/2,1,n）;

phi=unifrnd（0,pi,1,n）;

fori=1:

n

ifx（i）

counter=counter+1;

end

end

frequency=counter/n;

disp（'针与直线相交的概率'）

gailv=counter/n

disp（'圆周率的近似值'）

Pi=2*l/（a*frequency）end

end

frequency=counter/n;

Pi=2*l/（a*frequency）

gailv=counter/n

结果为：

gailv=0.3820

Pi=3.1405

四、实验体会：

通过这次试验，基本掌握了计算随机变量分布律或概率密度值的matlab命令，同时掌握计算分布函数的matlab命令以及根据不同的函数进行作图，学习常见分布的随机变量的模拟与应用。

并通过实际问题利用计算机进行模拟来得到所需要求得的值。

而且基于过去所学的matlab操作，本次实验中将它们进行巩固而后融入新的操作。

希望本次实验中所学的各种函数以及操作在以后的学习过程中可以有所帮助。