D．y＝a（1＋xp%）（0≤x≤m，x∈N）
【解析】 设年产量经过x年增加到y件，则第一年为y＝a（1＋p%），第二年为y＝a（1＋p%）（1＋p%）＝a（1＋p%）2，第三年为y＝a（1＋p%）（1＋p%）（1＋p%）＝a（1＋p%）3，…，则y＝a（1＋p%）x（0≤x≤m且x∈N）。
故选B。
【答案】 B
2．（必修1P107A组T1改编）在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是（ ）
A．y＝2xB．y＝x2－1
C．y＝2x－2D．y＝log2x
【解析】 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意。
故选D。
【答案】 D
二、双基查验
1．已知f（x）＝x2，g（x）＝2x，h（x）＝log2x，当x∈（4，＋∞）时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是（ ）
A．f（x）>g（x）>h（x）B．g（x）>f（x）>h（x）
C．g（x）>h（x）>f（x）D．f（x）>h（x）>g（x）
【解析】 由图象知，当x∈（4，＋∞）时，增长速度由大到小依次为g（x）>f（x）>h（x）。
故选B。
【答案】 B
2．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（h）的函数关系用图象表示为图中的（ ）
A.B.
C.D.
【解析】 由题意知h＝20－5t（0≤t≤4），故选B。
【答案】 B
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝
x2＋2x＋20（万元）。
一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（ ）
A．36万件B．18万件
C．22万件D．9万件
【解析】 利润L（x）＝20x－C（x）＝－
（x－18）2＋142，当x＝18万件时，L（x）有最大值。
故选B。
【答案】 B
4．某工厂采用高科技技术，在2年内产值的月增长率都是a，则这2年内第2年某月的产值比第1年相应月产值的增长率为（ ）
A．a12－1B．（1＋a）12－1
C．aD．a－1
【解析】 不妨设第1年8月份的产值为b，则9月份的产值为b（1＋a），10月份的产值为b（1＋a）2，以此类推，到第2年8月份是第1年8月份后的第12个月，即一个时间间隔是1个月，这里跨过了12个月，故第2年8月份产值是b（1＋a）12。
又由增长率的概念知，这2年内的第2年某月的产值比第1年相应月产值的增长率为：
＝（1＋a）12－1。
【答案】 B
5．一个容器装有细砂acm3，细砂从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细砂量为y＝ae－bt（cm3），经过8min后发现容器内还有一半的砂子，则再经过________min，容器中的砂子只有开始时的八分之一。
【解析】 当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝
a，所以e－8b＝
，容器中的砂子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝
a，e－bt＝
＝（e－8b）3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16min容器中的砂子只有开始时的八分之一。
【答案】 16
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考点一
用函数图象的变化刻画变化过程
【典例1】 （2016·全国卷Ⅲ）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃。
下面叙述不正确的是（ ）
A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5个
【解析】 由图形可得各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；七月的平均温差约为10℃，而一月的平均温差约为5℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10℃左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20℃的月份只有2个，D错误。
故选D。
【答案】 D
反思归纳 当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案。
【变式训练】 （2015·北京高考）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。
下列叙述中正确的是（ ）
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时。
相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【解析】 对于A选项：
由题图可知，当乙车速度大于40km/h时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5km，则A错；
对于B选项：
由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，则B错；
对于C选项：
甲车以80千米/小时的速度行驶时，燃油效率为10km/L，则行驶1小时，消耗了汽油80×1÷10＝8（升），则C错；
对于D选项：
当行驶速度小于80km/h时，在相同条件下，丙车的燃油效率高于乙车，则在该市用丙车比用乙车更省油，则D对。
故选D。
【答案】 D
考点二
已知函数模型的实际问题
【典例2】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：
千克）与销售价格x（单位：
元/千克）满足关系式y＝
＋10（x－6）2。
其中3已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。
（1）求a的值；
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
【解析】
（1）因为x＝5时，y＝11，
所以
＋10＝11，a＝2。
（2）由
（1）可知，该商品每日的销售量
y＝
＋10（x－6）2，所以商场每日销售该商品所获得的利润
f（x）＝（x－3）
＝2＋10（x－3）（x－6）2,3从而，f′（x）＝30（x－4）（x－6）。
于是，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（3,4）
4
（4,6）
f′（x）
＋
0
－
f（x）
极大值42
由上表可得，x＝4是函数f（x）在区间（3,6）内的极大值点，也是最大值点。
所以，当x＝4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42。
即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。
【答案】
（1）2
（2）4元/千克
反思归纳 求解已给函数模型解决实际问题的关注点：
1．认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数。
2．根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数。
3．利用该模型求解实际问题。
【变式训练】 （2015·四川高考）某食品的保鲜时间y（单位：
小时）与储藏温度x（单位：
℃）满足函数关系y＝ekx＋b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）。
若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是______小时。
【解析】 依题意有192＝eb,48＝e22k＋b＝e22k·eb，
所以e22k＝
＝
＝
，所以e11k＝
或－
（舍去），于是该食品在33℃的保鲜时间是e33k＋b＝（e11k）3·eb＝
3×192＝24（小时）。
【答案】 24
考点三
构建函数模型的实际问题……多维探究
角度一：
构建二次函数模型
【典例3】 某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润（单位：
万元）为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润（单位：
万元）为y2＝2x，其中x为销售量（单位：
辆），若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是（ ）
A．10.5万元 B．11万元
C．43万元D．43.025万元
【解析】 设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车（16－x）辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2（16－x）＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1（x－
）2＋0.1×
＋32。
因为x∈[0,16]，且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元。
故选C。
【答案】 C
角度二：
构建分段函数模型
【典例4】 （2017·锦州模拟）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点。
研究表明：
“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：
千克/年）是养殖密度x（单位：
尾/立方米）的函数。
当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4（1）当0（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：
千克/立方米）可以达到最大？
并求出最大值。
【解析】
（1）由题意得当0当4显然v＝ax＋b在（4,20]内是减函数，
由已知得
解得
所以v＝－
x＋
，
故函数v＝
（2）设年生长量为f（x）千克/立方米，依题意并由
（1）可得
f（x）＝
当0当4x2＋
x＝－
（x2－20x）＝－
（x－10）2＋
，f（x）max＝f（10）＝12.5。
所以当0即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米。
【答案】
（1）v＝
（2）10尾/立方米 12.5千克/立方米
角度三：
构建指数函数、对数函数模型
【典例5】
（1）世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是（参考数据lg2≈0.3010,100.0075≈1.017）（ ）
A．1.5%B．1.6%
C．1.7%D．1.8%
（2）某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停（每次上涨10%），又经历了n次跌停（每次下跌10%），则该股民这支股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（ ）
A．略有盈利B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况
【解析】
（1）设每年人口平均增长率为x，则（1＋x）40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg（1＋x）＝lg2，所以lg（1＋x）＝
≈0.0075，所以100.0075＝1＋x，得1＋x≈1.017，所以x≈1.7%。
故选C。
（2）设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a（1＋10%）n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×（1－10%）n＝a×1.1n×0.9n＝a×（1.1×0.9）n＝0.99n·a故选B。
【答案】
（1）C
（2）B
反思归纳 解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式（注意定义域），并进行相关求解，最后结合实际意义作答。
以上过程可简洁表述为：
―→
―→
―→
微考场 新提升
1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶。
与以上事件吻合得最好的图象是（ ）
解析 出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B。
故选C。
答案 C
2．（2015·北京高考）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）
2015年5月1日
12
35000
2015年5月15日
48
35600
注：
“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程。
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）
A．6升B．8升
C．10升D．12升
解析 因为每次都把油箱加满，第二次加入48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35600－35000＝600（千米），故每100千米平均耗油量为48÷6＝8（升）。
故选B。
答案 B
3.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y（万元）与营运年数x的关系如图所示（抛物线的一段），则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
解析 由题图，易求得y与x的关系式为
y＝－（x－6）2＋11，则
＝12－
≤12－10＝2，∴
有最大值2，此时x＝
，即x＝5。
故选C。
答案 C
4．（2016·辽宁五校联考）一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶（汽车与人前进方向相同），汽车在时间t内的路程为s＝
t2米，那么，此人（ ）
A．可在7秒内追上汽车
B．可在9秒内追上汽车
C．不能追上汽车，但期间最近距离为14米
D．不能追上汽车，但期间最近距离为7米
解析 已知s＝
t2，车与人的间距d＝（s＋25）－6t＝
t2－6t＋25＝
（t－6）2＋7。
当t＝6时，d取得最小值7。
故选D。
答案 D
5．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等。
若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是________。
解析 由题意知七月份的销售额为500（1＋x%），八月份的销售额为500（1＋x%）2，则一月份到十月份的销售总额是3860＋500＋2[500（1＋x%）＋500（1＋x%）2]，
根据题意有3860＋500＋2[500（1＋x%）＋500（1＋x%）2]≥7000，即25（1＋x%）＋25（1＋x%）2≥66，
令t＝1＋x%，则25t2＋25t－66≥0，
解得t≥
或t≤－
（舍去），
故1＋x%≥
，
解得x≥20。
故x的最小值为20。
答案 20
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