A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 C
8．下列命题中的假命题是（ ）
A.∀x>0且x≠1，都有x＋>2
B.∀a∈R，直线ax＋y＝a恒过定点（1,0）
C.∀φ∈R，函数y＝sin（x＋φ）都不是偶函数
D．∃m∈R，使f（x）＝（m－1）·xm2－4m＋3是幂函数，且在（0，＋∞）上单调递减
解析 A．当x>0时，x＋≥2＝2，
∵x≠1，∴x＋>2，故A为真命题．
B．将（1,0）代入直线ax＋y＝a成立，B为真命题．
C．当φ＝时，函数y＝sin（x＋）是偶函数，C为假命题．
D．当m＝2时，f（x）＝x－1是幂函数，且在（0，＋∞）上单调递减，∴D为真命题，故选C.
答案 C
9．下列选项中，p是q的必要不充分条件是（ ）
A．p：
a＋c>b＋d，q：
a>b，且c>d
B．p：
a>1，b>1，q：
f（x）＝ax－b（a>0，且a≠1）的图象不过第二象限
C.p：
x＝1，q：
x2＝x
D．p：
a>1，q：
f（x）＝logax（a>0，且a≠1）在（0，＋∞）上为增函数
答案 A
10．以下判断正确的是（ ）
A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题
B．命题“∀x∈N，x3>x”的否定是“∃x0∈N，x>x0”
C．“a＝1”是“函数f（x）＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件
D．“b＝0”是“函数f（x）＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件
解析 ∵“负数的平方是正数”即∀x<0，则x2>0，是全称命题，∴A不正确；∵对全称命题“∀x∈N，x3>x”的否定是“∃x0∈N，x≤x0”，∴B不正确；∵f（x）＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，当最小正周期为π时，有＝π.∴|a|＝1D⇒a＝1，∴a＝1是“函数f（x）＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件，故C不正确；D正确．
答案 D
11．下列四个命题中，其中真命题是（ ）
①“若xy＝1，则lgx＋lgy＝0”的逆命题；
②“若a·b＝a·c，则a⊥（b－c）”的否命题；
③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题．
A．①②B．①②③④
C．②③④D．①③④
解析 ①逆命题：
“若lgx＋lgy＝0，则xy＝1”为真命题．
②逆命题：
“若a⊥（b－c），则a·b＝a·c”为真命题，根据逆命题与否命题的等价性，则否命题也为真命题．
③当b≤0时，Δ＝4b2－4（b2＋b）＝－4b≥0，知方程有实根，故原命题为真命题，所以逆否命题也为真命题．
④真命题．
答案 B
12．已知命题p：
∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：
∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤－2或a＝1B．a≤－2或1≤a≤2
C．a≥1D．－2≤a≤1
解析 ∀x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2，
当x∈[1,2]时恒成立，∴a≤1.
∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0，
即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
∴Δ＝4a2－4（2－a）≥0，∴a≤－2，或a≥1.
又p∧q为真，故p，q都为真，∴
∴a≤－2，或a＝1.
答案 A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）
13．写出命题：
“若方程ax2－bx＋c＝0的两根均大于0，则ac>0”的一个等价命题是________．
解析 一个命题与其逆否命题等价，因此只要写出原命题的逆否命题即可．
答案 若ac≤0，则方程ax2－bx＋c＝0的两根不都大于0
14．已知p：
x2－x≥2，q：
|x－2|≤1，且p∧q与綈q同时为假命题，则实数x的取值范围为________．
解析 由x2－x≥2，得x≥2，或x≤－1，
|x－2|≤1，得1≤x≤3，
∵p∧q与綈q同时为假命题，
∴q为真命题，p为假命题，∴1≤x<2.
答案 1≤x<2
15．已知直线l1：
2x－my＋1＝0与l2：
x＋（m－1）y－1＝0，则“m＝2”是l1⊥l2的________条件．
解析 若l1⊥l2，只需2×1＋（－m）（m－1）＝0，
即m2－m－2＝0，即m＝2，或m＝－1，
∴m＝2是l1⊥l2的充分不必要条件．
答案 充分不必要
16．下列四种说法：
①命题“∀x∈R，都有x2－2<3x”的否定是“∃x∈R，使得x2－2≥3x”；
②若a，b∈R，则2a<2b是loga>logb的必要不充分条件；
③把函数y＝sin（－3x）（x∈R）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数y＝sin（－3x－）（x∈R）的图象；
④若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝.
其中正确的说法是________．
解析 ①正确．
②若2a<2b，则alogb不成立，若loga>logb，∴0③把y＝sin（－3x）的图象上所有点向右平移，得到y＝sin[－3（x－）]＝sin（－3x＋），故③不正确．
④由题可知，a·b＝1×2cos＝－1，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝3，∴|a＋b|＝，故④正确．
答案 ①②④
三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
（1）平面内，凸多边形的外角和等于360°；
（2）有一些奇函数的图象过原点；
（3）∃x0∈R,2x＋x0＋1<0；
（4）∀x∈R，sinx＋cosx≤.
解
（1）可以改写为“平面内，所有凸多边形的外角和等于360°”，故是全称命题，且为真命题．
（2）“有一些”是存在量词，故该命题为特称命题，显然是真命题．
（3）是特称命题．∵2x＋x0＋1＝2（x0＋）2＋>0，
∴不存在x0∈R，使2x＋x0＋1<0，故该命题为假命题．
（4）是全称命题．∵sinx＋cosx＝sin（x＋）≤恒成立，∴对任意的实数x，sinx＋cosx≤都成立，故该命题是真命题．
18．（12分）写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题，并判断其真假．
解 逆命题为：
“已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集”．
由a2≥4b知，Δ＝a2－4b≥0.这说明抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴有交点，那么x2＋ax＋b≤0必有非空解集．故逆命题是真命题．
19．（12分）设集合M＝{x|y＝log2（x－2）}，P＝{x|y＝}，则“x∈M或x∈P”是“x∈（M∩P）”的什么条件？
解 由题设知，M＝{x|x>2}，P＝{x|x≤3}．
∴M∩P＝（2,3]，M∪P＝R
当x∈M，或x∈P时x∈（M∪P）＝R
Dx∈（2,3]＝M∩P.
而x∈（M∩P）⇒x∈R
∴x∈（M∩P）⇒x∈M，或x∈P.故“x∈M，或x∈P”是“x∈（M∩P）”的必要不充分条件．
20．（12分）写出下列各命题的否定形式并分别判断它们的真假．
（1）面积相等的三角形是全等三角形；
（2）有些质数是奇数；
（3）所有的方程都不是不等式；
（4）自然数的平方是正数．
解 原命题的否定形式：
（1）面积相等的三角形不一定是全等三角形，为真命题．
（2）所有质数都不是奇数，为假命题．
（3）至少存在一个方程是不等式，为假命题．
（4）自然数的平方不都是正数，为真命题．
21．（12分）已知a>0，a≠1，设p：
函数y＝loga（x＋3）在（0，＋∞）上单调递减，q：
函数y＝x2＋（2a－3）x＋1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．
解 对于命题p：
当0当a>1时，函数y＝loga（x＋3）在（0，＋∞）上单调递增，所以如果p为真命题，那么0如果p为假命题，那么a>1.
对于命题q：
如果函数y＝x2＋（2a－3）x＋1的图象与x轴交于不同的两点，
那么Δ＝（2a－3）2－4>0，
即4a2－12a＋5>0⇔a<，或a>.
又∵a>0，所以如果q为真命题，
那么0.
如果q为假命题，那么≤a<1，或1∵p∨q为真，p∧q为假，∴p与q一真一假．
如果p真q假，那么
⇔≤a<1.
如果p假q真，那么⇔a>.
∴a的取值范围是[，1）∪（，＋∞）．
22．（12分）设命题p：
实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0.命题q：
实数x满足
（1）当a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解
（1）由x2－4ax＋3a2<0，得a0）．
当a＝1时，11由解得22若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是{x|2（2）设A＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a>0}＝{x|a0}，B＝＝{x|2根据题意可得BA，则03，即1故实数a的取值范围是{a|1
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