第七章机械振动和机械波.docx

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第七章机械振动和机械波

第六章机械振动和机械波

一、简谐运动的基本概念

1.定义：

物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。

表达式为：

F=-kx

⑴简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。

也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。

⑵回复力是一种效果力。

是振动物体在沿振动方向上所受的合力。

⑶“平衡位置”不等于“平衡状态”。

平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。

（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态）

⑷F=-kx是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。

凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。

2.几个重要的物理量间的关系

要熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻（或某一位置）的位移x、回复力F、加速度a、速度v这四个矢量的相互关系。

⑴由定义知：

F∝x，方向相反。

⑵由牛顿第二定律知：

F∝a，方向相同。

⑶由以上两条可知：

a∝x，方向相反。

⑷v和x、F、a之间的关系最复杂：

当v、a同向（即v、F同向，也就是v、x反向）时v一定增大；

当v、a反向（即v、F反向，也就是v、x同向）时，v一定减小。

3.从总体上描述简谐运动的物理量

振动的最大特点是往复性或者说是周期性，因此振动物体在空间的运动有一定的范围，用振幅A来描述；

在时间上则用周期T来描述完成一次全振动所须的时间。

⑴振幅A是描述振动强弱的物理量。

（一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的而位移是时刻在改变的）

⑵周期T是描述振动快慢的物理量。

（频率f=1/T也是描述振动快慢的物理量）周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。

任何简谐振动都有共同的周期

公式：

（其中m是振动物体的质量，k是回复力系数，即简谐运动的判

定式F=-kx中的比例系数，对于弹簧振子k就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它

就不再是弹簧的劲度了）。

二、典型的简谐运动

1.弹簧振子

⑴周期

，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度决定。

⑵可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是

。

这个结论可以直接使用。

⑶在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

例1.如图所示，质量为m的小球放在劲度为k的轻弹簧上，使小球上下振动而

又始终未脱离弹簧。

⑴最大振幅A是多大？

⑵在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力Fm是多大？

解：

该振动的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

在平衡位置弹力和重力等大反向，合力为零；在平衡位置以下，弹力大于重力，F-mg=ma，越往下弹力越大；在平衡位置以上，弹力小于重力，mg-F=ma，越往上弹力越小。

平衡位置和振动的振幅大小无关。

因此振幅越大，在最高点处小球所受的弹力越小。

极端情况是在最高点处小球刚好未离开弹簧，弹力为零，合力就是重力。

这时弹簧恰好为原长。

⑴最大振幅应满足kA=mg得：

A=

⑵小球在最高点和最低点所受回复力大小相同，所以有：

Fm-mg=mg

Fm=2mg

2.单摆。

⑴单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是重力和拉力的合力。

在平衡位置振子所受回复力是零，但合力是向心力，指向悬点，不为零。

⑵当单摆的摆角很小时（小于5°）时，单摆的周期

，与摆球质量m、振幅A都无关。

其中l为摆长，表示从悬点到摆球质心的距离，要区分摆长和摆线长。

⑶小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同。

只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动。

这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差。

⑷摆钟问题。

单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。

在计算摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单：

在一定时间内，摆钟走过的格子数n与频率f成正比（n可以是分钟数，也可以是秒数、小时数……），再由频率公式可以得到：

例2.已知单摆摆长为L，悬点正下方3L/4处有一个钉子。

让摆球做小角度摆动，其周期将是多大？

解：

该摆在通过悬点的竖直线两边的运动都可以看作简谐运动，周期分别为

因此该摆的周期为

例3.固定圆弧轨道弧AB所含度数小于5°，末端切线水平。

两个相同的小球a、b分别从轨道的顶端和正中由静止开始下滑，比较它们到达轨道底端所用的时间和动能：

ta_______tb，Ea_______2Eb。

解：

两小球的运动都可看作简谐运动的一部分，时间都等于四分之一周期，而周期与振幅无关，所以

ta=tb；从图中可以看出b小球的下落高度小于a小球

下落高度的一半，所以Ea>2Eb。

三、受迫振动与共振

1.受迫振动

物体在驱动力（既周期性外力）作用下的振动叫受迫振动。

⑴物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。

⑵物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定：

两者越接近，受迫振动的振幅越大，两者相差越大受迫振动的振幅越小。

2.共振

当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫共振。

要求会用共振解释现象，知道什么情况下要利用共振，什么情况下要防止共振。

⑴利用共振的有：

共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千……

⑵防止共振的有：

机床底座、航海、军队过桥、高层建筑、火车车厢……

四、机械波

1.分类

机械波可分为横波和纵波两种。

⑴质点振动方向和波的传播方向垂直的叫横波，如：

绳上波、水面波等。

⑵质点振动方向和波的传播方向平行的叫纵波，如：

弹簧上的疏密波、声波等。

2.机械波的传播

⑴在同一种均匀介质中机械波的传播是匀速的。

波速、波长和频率之间满足公式：

v=λf。

⑵介质质点的运动是在各自的平衡位置附近的简谐运动，是变加速运动，介质质点并不随波迁移。

⑶机械波转播的是振动形式、能量和信息。

⑷机械波的频率由波源决定，而传播速度由介质决定。

3.机械波的反射、折射、干涉、衍射

一切波都能发生反射、折射、干涉、衍射。

特别是干涉、衍射，是波特有的性质。

⑴干涉。

产生干涉的必要条件是：

两列波源的频率必须相同。

需要说明的是：

以上是发生干涉的必要条件，而不是充分条件。

要发生干涉还要求两列波的振动方向相同（要上下振动就都是上下振动，要左右振动就都是左右振动），还要求相差恒定。

我们经常列举的干涉都是相差为零的，也就是同向的。

如果两个波源是振动是反向的，那么在干涉区域内振动加强和减弱的位置就正好颠倒过来了。

干涉区域内某点是振动最强点还是振动最弱点的充要条件：

①最强：

该点到两个波源的路程之差是波长的整数倍，即δ=nλ

②最弱：

该点到两个波源的路程之差是半波长的奇数倍，即

根据以上分析，在稳定的干涉区域内，振动加强点始终加强；振动减弱点始终减弱。

至于“波峰和波峰叠加得到振动加强点”，“波谷和波谷叠加也得到振动加强点”，“波峰和波谷叠加得到振动减弱点”这些都只是充分条件，不是必要条件。

例6.如图所示，S1、S2是两个相干波源，它们振动同步且振

幅相同。

实线和虚线分别表示在某一时刻它们所发出的波的

波峰和波谷。

关于图中所标的a、b、c、d四点，下列说法

中正确的有

A.该时刻a质点振动最弱，b、c质点振动最强，d质点振

动既不是最强也不是最弱

B.该时刻a质点振动最弱，b、c、d质点振动都最强

C.a质点的振动始终是最弱的，b、c、d质点的振动始终是最强的

D.再过T/4后的时刻a、b、c三个质点都将处于各自的平衡位置，因此振动最弱

解：

该时刻a质点振动最弱，b、c质点振动最强，这不难理解。

但是d既不是波峰和波峰叠加，又不是波谷和波谷叠加，如何判定其振动强弱？

这就要用到充要条件：

“到两波源的路程之差是波长的整数倍”时振动最强，从图中可以看出，d是S1、S2连线的中垂线上的一点，到S1、S2的距离相等，所以必然为振动最强点。

描述振动强弱的物理量是振幅，而振幅不是位移。

每个质点在振动过程中的位移是在不断改变的，但振幅是保持不变的，所以振动最强的点无论处于波峰还是波谷，振动始终是最强的。

本题答案应选B、C

⑵衍射。

发生明显衍射的条件是：

障碍物或孔的尺寸和波长可以相比或比波长小。

⑶波的独立传播原理和叠加原理。

独立传播原理：

几列波相遇时，能够保持各自的运动状态继续传播，不互相影响。

叠加原理：

介质质点的位移、速度、加速度都等于几列波单独转播时引起的位移、速度、加速度的矢量和。

例7.如图中实线和虚线所示，振幅、周期、起振方向都相同的两列正弦波（都只有一个完整波形）沿同一条直线向相反方向传播，在相遇阶段（一个周期内），试画出每隔T/4后的波形图。

并分析相遇后T/2时刻叠加区域内各质点的运动情况。

解：

根据波的独立传播原理和叠加原理可作出每隔T/4后的波形图如①②③④所示。

相遇后T/2时刻叠加区域内abcde各质点的位移都是零，但速度各不相同，其中a、c、e三质点速度最大，方向如图所示，而b、d两质点速度为零。

这说明在叠加区域内，a、c、e三质点的振动是最强的，b、d两质点振动是最弱的。

五、振动图象和波的图象

1.振动图象和波的图象

振动图象和波的图象从图形上看好象没有什么区别，但实际上它们有本质的区别。

⑴物理意义不同：

振动图象表示同一质点在不同时刻的位移；波的图象表示介质中的各个质点在同一时刻的位移。

⑵图象的横坐标的单位不同：

振动图象的横坐标表示时间；波的图象的横坐标表示距离。

⑶从振动图象上可以读出振幅和周期；从波的图象上可以读出振幅和波长。

2.波的图象的画法

波的图象中，波的图形、波的传播方向、某一介质质点的瞬时速度方向，这三者中已知任意两者，可以判定另一个。

（口诀为“上坡下，下坡上”）

3.波的传播是匀速的

在一个周期内，波形匀速向前推进一个波长。

n个周期波形向前推进n个波长（n可以是任意正数）。

因此在计算中既可以使用v=λf，也可以使用v=s/t，后者往往更方便。

4.介质质点的运动是简谐运动（是一种变加速运动）

任何一个介质质点在一个周期内经过的路程都是4A，在半个周期内经过的路程都是2A，但在四分之一个周期内经过的路程就不一定是A了。

5.起振方向

介质中每个质点开始振动的方向都和振源开始振动的方向相同。

例8.已知在t1时刻简谐横波的波形如图中实线所示；

在时刻t2该波的波形如图中虚线所示。

t2-t1=0.02s

求：

⑴该波可能的传播速度。

⑵若已知T

且图中P质点在t1时刻的瞬时速度方向向上，求可

能的波速。

⑶若0.01s

解：

⑴如果这列简谐横波是向右传播的，在t2-t1内波形向右匀速传播了

，所以波速

=100（3n+1）m/s（n=0,1,2,…）；同理可得若该波是向左传播的，可能的波速v=100（3n+2）m/s（n=0,1,2,…）

⑵P质点速度向上，说明波向左传播，T

v=500m/s

⑶“Q比R先回到平衡位置”，说明波只能是向右传播的，而0.01s

v=400m/s

例9.在均匀介质中有一个振源S，它以50HZ的频率上下振动，该振动以40m/s的速度沿弹性绳向左、右两边传播。

开始时刻S的速度方向向下，试画出在t=0.03s时刻的波形。

解：

从开始计时到t=0.03s经历了1.5个周期，波分别向左、右传播1.5个波长，该时刻波源S的速度方向向上，所以波形如右图所示。

例10.如图所示是一列简谐横波在t=0时刻的波形图，已知这列波沿x轴正方向传播，波速为20m/s。

P是离原点为2m的一个介质质点，则在t=0.17s时刻，质点P的：

①速度和加速度都沿-y方向；②速度沿+y方向，加速度沿-y方向；③速度和加速度都正在增大；④速度正在增大，加速度正在减小。

以上四种判断中正确的是

A.只有①

B.只有④

C.只有①④

D.只有②③

解：

由已知，该波的波长λ=4m，波速v=20m/s，因此周期为T=λ/v=0.2s；因为波向右传播，所以t=0时刻P质点振动方向向下；0.75T<0.17s

①④正确，选C

六、声波

1．声波是纵波。

2．空气中的声速可认为是340m/s，水中的声速是1450m/s，铁中的声速是4900m/s。

3．人耳可以听到的声波的频率范围是20Hz-20000Hz

4．人耳只能区分开相差0.1s以上的两个声音。