北师大版八年级数学勾股定理练习题78个.docx

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北师大版八年级数学勾股定理练习题78个

北师大版八年级数学

第一章勾股定理练习题78个

1、

（2005•芜湖）如图1所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图2所示．已知展开图中每个正方形的边长为1．

（1）求在该展开图中可画出最长线段的长度这样的线段可画几条？

（2）试比较立体图中∠BAC与平面展开图中∠B′A′C′的大小关系？

2、

（2002•吉林）如图，△ABC、△ECD都是等腰直角三角形，且C在AD上．AE的延长线与BD交于F．请你在图中找出一对全等的三角形，并写出证明它们全等的过程．

3、

（2011•泰安）已知：

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．

（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：

AE=CG；

（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．

4、

（2011•日照）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．

（1）求证：

DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：

ME=BD．

5、

（2011•綦江县）如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．

（1）求证：

△ACD≌△BCE；

（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．

6、

（2010•深圳）如图所示、△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D在AB上．

（1）求证：

△AOC≌△BOD；

（2）若AD=1，BD=2，求CD的长．

7、

（2010•内江）如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．

8、

（2002•崇文区）已知：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且ED⊥FD．求证：

S四边形EDFC=1/2S△ABC．

9、

（2000•河南）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H，交AE于G，求证：

BD=CG．

10、

（2003•黑龙江）为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长为10米的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长．

11、

（2006•西岗区）如图，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系．

说明：

（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；

（2）在你经历说明

（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．

①画出将△ACM绕某一点顺时针旋转180°后的图形；

②∠BAC=90°（如图）

附加题：

如图，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，试探究线段DE与AM之间的关系．

12、

（2007•中山）已知等边△OAB的边长为a，以AB边上的高OA1为边，按逆时针方向作等边△OA1B1，A1B1与OB相交于点A2．

（1）求线段OA2的长；

（2）若再以OA2为边，按逆时针方向作等边△OA2B2，A2B2与OB1相交于点A3，按此作法进行下去，得到△OA3B3，△OA4B4，…△OAnBn（如图）．求△OA6B6的周长．

13、

（2006•常德）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；

（2）若PA：

PB：

PC=3：

4：

5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

14、

（2005•吉林）图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1个单位长度的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形．

（1）直接写出单位正三角形的高为

32

，面积为

34

；

（2）图①中的▱ABCD含有

24

个单位正三角形，▱ABCD的面积是

63

；

（3）图①中线段AC的长为

3

；

（4）图②中四边形EFGH的面积为

83

．

15、

（2005•吉林）图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1个单位长度的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形．

（1）直接写出单位正三角形的高与面积；

（2）图1中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？

平行四边形ABCD的面积是多少？

（3）求出图1中线段AC的长（可作辅助线）；

（4）求出图2中四边形EFGH的面积．

16、

（2007•宁德）如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按逆时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB=110°．

（1）求证：

△COD是等边三角形；

（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）探究：

当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

17、

（2011•烟台）已知：

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．

（1）求证：

AB=BC；

（2）当BE⊥AD于E时，试证明：

BE=AE+CD．

18、

（2011•湘西州）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°．

（1）求∠BAC的度数．

（2）若AC=2，求AD的长．

19、

（2011•随州）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．

20、

（2010•铜仁地区）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC，分别与AB、AC交于点G、F．

（1）求证：

GE=GF；

（2）若BD=1，求DF的长．

21、

（2010•密云县）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AB=21，AD=9．求AC的长．

22、

（2010•菏泽）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5cm，求AB的长．

23、

（2010•大田县）如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．

（1）求证：

△ACE≌△BCD；

（2）若AD=5，BD=12，求DE的长．

24、

（2009•张家界）小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知CD=2，求AC的长．

25、

（2009•定西）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：

（1）△ACE≌△BCD；

（2）AD2+DB2=DE2．

26、

（2009•赤峰）公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=10米，∠B=∠C=120°，∠A=45度．请你求出这块草地的面积．

27、

（2008•江西）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；

（1）求证：

B′E=BF；

（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．

28、

（2007•中山）如图，Rt△ABC的斜边AB=5，cosA=35，

（1）用尺规作图作线段AC的垂直平分线l（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）；

（2）若直线l与AB、AC分别相交于D、E两点，求DE的长．

29、

（2007•安徽）如图，DE分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE的周长相等．设BC=a，AC=b，AB=c．

（1）求AE和BD的长；

（2）若∠BAC=90°，△ABC的面积为S，求证：

S=AE•BD．

30、

（2006•临沂）△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．

31、

（2005•中山）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…．

（1）记正方形ABCD的边长为a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，求出a2，a3，a4的值．

（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长an的表达式．

32、

（2004•黑龙江）在劳技课上，老师请同学门在一张长为17厘米，宽为16厘米的长方形纸上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余的两个顶点在长方形的边上）．请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积．

33、

（2003•烟台）细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．

（1）2+1=2  S1=12

（2）2+1=3  S2=22

（3）2+4=5  S3=32

（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；

（2）推算出OA10的长；

（3）求出S12+S22+S22+…+S102的值．

34、

（2003•烟台）

（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图

（1）．它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积．

（2）现有一张长为6.5cm，宽为2cm的纸片，如图

（2），请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形．

（要求：

先在图

（2）中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）

36、

（2010•孝感）勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行了证明．著名数学家华罗庚提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．

请根据图1中直接三角形叙述勾股定理．

以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2）．请你利用图2，验证勾股定理；

利用图2中的直角梯形，我们可以证明（a+b）/c＜√2．其证明步骤如下：

∵BC=a+b，AD=

2c

；

又∵在直角梯形ABCD中有BC

＜

AD（填大小关系），即

a+b＜2c

．

∴（a+b）/c＜√2

37、

（2009•新疆）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．

（1）画出拼成的这个图形的示意图．

（2）证明勾股定理．

38、

（2007•聊城）

（1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；

（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线．试证明∠ACE=90°；

（3）伽菲尔德（Garfield，1881年任美国第20届总统）利用

（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．

39、

（2007•巴中）在学习勾股定理时，我们学会运用图（I）验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：

（a+b）2，也可表示为：

c2+4•（12ab），

即（a+b）2=c2+4•（12ab）由此推出勾股定理a2+b2=c2，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．

（1）请你用图（II）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；

（2）请你用（III）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证（x+y）2=x2+2xy+y2；

（3）请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：

（x+p）（x+q）=x2+px+qx+pq=x2+（p+q）x+pq．

40、

（2004•三明）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”．

（1）观察：

3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算1/2（9-1）、1/2（9+1）与1/2（25-1）、1/2（25+1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；

（2）根据

（1）的规律，用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；

（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且m＞4）的代数式来表示他们的股和弦．

41、

（2004•荆门）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：

a2+b2=c2．

42、

（2004•济南）如图

（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．图

（2）是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．

（1）画出拼成的这个图形的示意图，指出它是什么图形；

（2）用这个图形证明勾股定理；

（3）假设图

（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图

（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？

请在图（3）中画出拼后的示意图（无需证明）．

43、

（2011•牡丹江）在△ABC中，AB=25，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．

44、

（2010•本溪）如图a，∠EBF=90°，请按下列要求准确画图：

1：

在射线BE、BF上分别取点A、C，使BC＜AB＜2BC，连接AC得直角△ABC；

2：

在AB边上取一点M，使AM=BC，在射线CB边上取一点N，使CN=BM，直线AN、CM相交于点P．

（1）请用量角器度量∠APM的度数为多少45°

；（精确到1°）

（2）请用说理的方法求出∠APM的度数；

（3）若将①中的条件“BC＜AB＜2BC”改为“AB＞2BC”，其他条件不变，你能自己在图b中画出图形，求出∠APM的度数吗？

45、

（2007•内江）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F．

（1）求证：

△ACE≌△BCD；

（2）直线AE与BD互相垂直吗？

请证明你的结论．

46、

（2006•临安市）请阅读下列解题过程：

已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b+2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．

解：

∵a2c2-b2c2=a4-b4，A

∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），B

∴c2=a2+b2，C

∴△ABC为直角三角形．D

问：

（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：

第C步

；

（2）错误的原因是：

等式两边同时除以a2-b2

；

（3）本题正确的结论是：

直角三角形或等腰三角形

．

47、

（2004•龙岩）张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：

n

2

3

4

5

…

a

22-1

32-1

42-1

52-1

…

b

4

6

8

10

…

c

22+1

32+1

42+1

52+1

…

（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：

a=

n2-1

，b=

2n

，c=

n2+1

；

（2）猜想：

以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．

48、

（2011•广安）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．

49、

（2009•鸡西）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．（图2，图3备用）

50、

（2008•义乌市）如图，小明用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为3米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？

（精确到0.1米，√3≈1.732）

51、

（2007•牡丹江）小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m，50m，第三边上的高为30m．请你帮小强计算这块菜地的面积．（结果保留根号）

52、

（2006•厦门）从下面两个题目中任选一题作答：

（A题）折竹抵地

今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何（如图）

友情提醒：

请写出解答这首诗的方法和步骤．

（B题）海岛算经

三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题，是数学史上有名的测量问题．今译如下：

如图，要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高三丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=1 000步，D、B、H成一线，从BC退行123步到F，人目着地观察A，A、C、F三点共线；从DE退行127步到G，从G看A，A、E、G三点也共线．试算出山峰的高度AH及HB的距离．（古制1步=6尺，1里=180丈=1 800尺=300步．结果用里和步来表示）

友情提醒：

请写出必要的算法和过程．

53、

（2006•梅州）梅华中学九年级数学课外学习小组某下午实践活动课时，测量朝西教学楼前的旗杆AB的高度．如图，当阳光从正西方向照射过来时，旗杆AB的顶端A的影子落在教学楼前的坪地C处，测得影长CE=2m，DE=4m，BD=20m，DE与地面的夹角α=30度．在同一时刻，测得一根长为1m的直立竹竿的影长恰为4m．根据这些数据求旗杆AB的高度．（可能用到的数据：

√2≈1.414，√3≈1.732，结果保留两个有效数字）

54、

（2006•娄底）如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？

55、

（2006•嘉峪关）一架长5米的梯子AB，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗？

用所学知识，论证你的结论．

56、

（2005•双柏县）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？

57、

（2005•南京）如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在-侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，点D到地面的垂直距离DE=8m．求点B到地面的垂直距离BC．

58、

（2004•吉林）图①是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：

cm），其中矩形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为矩形绸缎旗面．

（1）用经加工的圆木杆穿入旗裤作旗杆，求旗杆的最大直径（精确到1cm）；

（2）将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②，求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．

59、

（2002•浙江）由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东60°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域．

（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响？

为什么？

（2）若A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？

60、

（2002•徐州）如图，梯子AB斜靠在墙上，∠ACB=90°，AB=5米，BC=4米，当点B下滑到点B′时，点A向左平移到点A′．设BB′=x米（0＜x＜4），AA′=y米．

（1）用含x的代数式表示y；

（2）当x为何值时，点B下滑的距离与点A向左平移的距离相等？

（3）请你对x再取几个值，计算出对应的y值，并比较对应的y值与x值的大小（y值可以用精确到0.01的近似数表示，也可用无理数表示）．

（4）根据第

（1）～（3）题的计算，还可以结合画图、观察

61、

（2002•吉林）如图

（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE位置上，如图所示，测得得BD=0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？

62、

（2002•黑龙江）“希望中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到∠A=30°，AC=40 m，BC=25 m，请求出这块花圃的面积．

63、

（2001•青海）一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，梯子的顶端下滑2米后，底端将水平滑动2米吗？

试说明理由．

64、

（2000•上海）如图，公路AB和公路CD在点P处交会，且∠APC=45°，点Q处有一所小学，PQ=1202m，假设拖拉机行驶时，周围130m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路AB上沿PA方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？

请说明理由；若受影响，已知拖拉机的速度为36km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

65、

（2009•佛山）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．

（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

（2）当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；

（3）求点B1到最短路径的距离．

66、

（2007•义乌市）李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．

（1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处；

（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正