中考数学压轴题重叠面积问题.docx

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中考数学压轴题重叠面积问题

例1:

　在梯形ABCD中,AＤ∥ＢC，AB=AＤ＝ＤC=２cm,BＣ=4ｃm,在等腰△PQR中,∠QPR=1２0°,底边QR＝６cm,点B、Ｃ、Q、Ｒ在同一直线l上,且C、Q两点重合,如果等腰△ＰQR以1cm/秒得速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形AＢCＤ与等腰△PQR重合部分得面积记为S平方厘米

（1）当t＝4时,求Ｓ得值

（２）当，求S与t得函数关系式,并求出S得最大值

25、

（1）t＝４时,Q与Ｂ重合,P与D重合,

重合部分就就是＝

例2:

如图,直线与两坐标轴分别相交于A、B点,点Ｍ就就是线段AB上任意一点（A、Ｂ两点除外）,过M分别作ＭC⊥ＯＡ于点Ｃ,MＤ⊥OＢ于D、

（1）当点Ｍ在AB上运动时,您认为四边形OＣMD得周长就就是否发生变化?

并说明理由;

（2）当点M运动到什么位置时,四边形OＣMD得面积有最大值?

最大值就就是多少？

（3）当四边形OCＭD为正方形时,将四边形ＯCMＤ沿着ｘ轴得正方向移动,设平移得距离为，正方形ＯＣMD与△AOB重叠部分得面积为S、试求S与得函数关系式并画出该函数得图象、

解:

（1）设点M得横坐标为x,则点M得纵坐标为-x+4（00,－ｘ+４>0）；

则:

ＭC=∣-x+4∣=－x＋4,MD＝∣ｘ∣＝x；

ﻩﻩ∴C四边形OCＭD=2（MC+MD）=２（－x+4+x）=8

∴当点Ｍ在AＢ上运动时,四边形OCMD得周长不发生变化，总就就是等于８;

（2）根据题意得:

S四边形OCＭD＝MC·ＭD=（－ｘ+4）·　x=－x2+４x＝－（ｘ-2）2+４

∴四边形OCMD得面积就就是关于点M得横坐标x（０

（3）如图10

（2）,当时,;

如图10（3），当时,;

∴S与得函数得图象如下图所示:

例3:

已知：

如图,直线与x轴相交于点Ａ,与直线相交于点P、

（１）求点Ｐ得坐标、

（２）请判断得形状并说明理由、

（3）动点E从原点Ｏ出发,以每秒1个单位得速度沿着Ｏ→Ｐ→Ａ得路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于Ｆ,EB⊥y轴于B、设运动t秒时,矩形EＢOF与△OＰA重叠部分得面积为Ｓ、

求:

①S与t之间得函数关系式、

②当t为何值时，S最大,并求S得最大值、

解:

（１）　　ﻩﻩﻩ………………2分

解得:

　　　　………………3分

∴点P得坐标为（2，）　　　………………4分

（２）将代入

∴，即ＯA=４………………４分

做PD⊥OA于D，则OＤ=2,PD=2

ﻩ∵ｔａｎ∠ＰOA=　∴　∠POA=６0°　　　ﻩ………5分

∵OP=∴△PＯA就就是等边三角形、　………６分

（3）①　当0

在Rt△EOF中，∵∠EOF=６0°,OE=t

∴ＥF＝ｔ,ＯＦ=t

∴S=·ＯF·EF=　…………７分

当4<ｔ<8时，如图2

设EB与OP相交于点Ｃ

易知:

CE=ＰE＝ｔ-4,ＡE=8－ｔ

∴ＡF＝4-,EF＝（8－ｔ）　

∴OF＝ＯA-AF＝4－（4－t）=t

∴S=（CE+ＯF）·EＦ

=（t－4+ｔ）×（8－t）

=－+4t－８ﻩﻩﻩﻩ………………9分

②当０<ｔ≤4时,S=，t=4时,S最大=2

当4<ｔ＜8时,S=-+４ｔ-8＝－（t－）+

ｔ＝时,S最大=

∵>2，∴当t=时,S最大＝ﻩ………………１２分

例４:

已知直角梯形纸片OABＣ在平面直角坐标系中得位置如图所示，四个顶点得坐标分别为Ｏ（0，0），A（10,0）,B（8,）,C（0,）,点T在线段OA上（不与线段端点重合）,将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为点A′）,折痕经过点Ｔ,折痕ＴＰ与射线AB交于点P,设点T得横坐标为ｔ,折叠后纸片重叠部分（图中得阴影部分）得面积为S;

（1）求∠OＡB得度数,并求当点Ａ′在线段AB上时,S关于t得函数关系式;

（２）当纸片重叠部分得图形就就是四边形时,求t得取值范围;

（3）Ｓ存在最大值吗?

若存在,求出这个最大值,并求此时ｔ得值;若不存在,请说明理由。

解:

（1）∵A,B两点得坐标分别就就是Ａ（１0，０）与Ｂ（8，）,

　　∴,

　∴

　　当点A´在线段AB上时,∵,ＴＡ＝TＡ´,

　　　∴△A´ＴA就就是等边三角形,且,

　　　∴,，

　　∴，

　当A´与Ｂ重合时,ＡＴ＝AＢ=,

　　所以此时。

（2）当点A´在线段AB得延长线,且点P在线段ＡB（不与B重合）上时,

　纸片重叠部分得图形就就是四边形（如图

（1）,其中E就就是TA´与ＣＢ得交点）,

　　当点P与B重合时，AＴ=２AB=8,点T得坐标就就是（2,0）

　又由

（1）中求得当A´与B重合时,Ｔ得坐标就就是（6,0）

　　所以当纸片重叠部分得图形就就是四边形时,。

（３）Ｓ存在最大值

当时，,

　　在对称轴t=10得左边,S得值随着t得增大而减小,

∴当ｔ=６时,S得值最大就就是。

当时,由图

重叠部分得面积

∵△A´EＢ得高就就是，

∴

当ｔ=2时,S得值最大就就是;

当,即当点A´与点P都在线段AＢ得延长线就就是（如图,其中Ｅ就就是TA´与CB得交点,F就就是ＴＰ与CB得交点）,

∵，四边形ETＡB就就是等腰形,∴EF=ET=AＢ=4，

∴

综上所述,Ｓ得最大值就就是,此时t得值就就是。

例6:

如图,已知直线交坐标轴于两点,以线段为边向上作正方形,过点得抛物线与直线另一个交点为、

（1）请直接写出点得坐标；

（2）求抛物线得解析式；

（3）若正方形以每秒个单位长度得速度沿射线下滑，直至顶点落在轴上时停止、设正方形落在轴下方部分得面积为，求关于滑行时间得函数关系式,并写出相应自变量得取值范围;

（4）在（３）得条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止,求抛物线上两点间得抛物线弧所扫过得面积、

备用图

（14分）

（1）；…………………………………………………2分

（2）设抛物线为,抛物线过,

　解得…………………………………………………２分

∴、……………………………………………………………１分

（３）①当点A运动到点Ｆ时,

当时，如图1,

∵,

∴∴

∴;……2分

　②当点运动到轴上时，,

当时，如图2,

∴∴,

∵,

∴

;…………（2分）

③当点运动到轴上时,，

当时,如图3,

∵,

∴,

∵，

∽

∴,

∴,

∴　

　=、……（２分）

（解法不同得按踩分点给分）

（4）∵,，

∴　………………………………………………（2分）

　　　　　＝

　　＝、……………………………………………………………（1分）

例７:

如图,已知直线与直线相交于点分别交轴

于两点、矩形得顶点分别在直线上,顶点都在轴上,且点与点重合、

（1）求得面积;

（2）求矩形得边与得长;

（３）若矩形从原点出发,沿轴得反方向以每秒１个单位长度得速度平移，设移动时间为秒,矩形与重叠部分得面积为,求关于得函数关系式，并写出相应得得取值范围、

（1）解:

由得点坐标为

由得点坐标为

∴（2分）

由解得∴点得坐标为（３分）

∴（４分）

（２）解:

∵点在上且

　　∴点坐标为ﻩ（５分）

又∵点在上且

∴点坐标为ﻩ（６分）

∴ﻩ（７分）

（3）解法一:

当时,如图1,矩形与重叠部分为五边形（时,为四边形）、过作于，则

∴即∴

∴

即ﻩ（10分）

（2013•玉林压轴题）如图，抛物线y=﹣（x﹣1）２+c与x轴交于A,B（A,Ｂ分别在y轴得左右两侧）两点，与ｙ轴得正半轴交于点C,顶点为D,已知A（﹣1,0）、

（1）求点B，C得坐标;

（2）判断△CDB得形状并说明理由;

（３）将△ＣOB沿ｘ轴向右平移ｔ个单位长度（0

解答:

解:

（1）∵点Ａ（﹣1,0）在抛物线ｙ＝﹣（x﹣1）2+c上,

∴0=﹣（﹣1﹣１）2+ｃ,得c=４，

∴抛物线解析式为:

y=﹣（x﹣1）２+4,

令x＝0,得y=3,∴Ｃ（０,3）；

令y＝０,得x=﹣1或x＝3,∴B（3,0）、

（2）△CDB为直角三角形、理由如下:

由抛物线解析式，得顶点Ｄ得坐标为（1,４）、

如答图1所示，过点D作ＤＭ⊥x轴于点Ｍ,则OＭ=１,DM＝4,BM=OB﹣OM=２、

过点C作CＮ⊥DＭ于点N，则CＮ=1,DN=DM﹣MN=ＤM﹣OＣ=1、

在Rt△OBC中,由勾股定理得:

BC=＝=;

在Rt△CND中,由勾股定理得：

CＤ===；

在Rt△BMＤ中,由勾股定理得:

BD===、

∵ＢC2+CD2=ＢD2,

∴△CDB为直角三角形（勾股定理得逆定理）、

（３）设直线BC得解析式为y=ｋx+b，∵B（3，0）,C（0，3）,

∴,

解得ｋ=﹣1,ｂ＝3,

∴y=﹣ｘ+3,

直线QE就就是直线ＢＣ向右平移t个单位得到,

∴直线QE得解析式为:

y＝﹣（x﹣t）＋3=﹣ｘ+３+t；

设直线BD得解析式为y=mx+ｍ,∵B（３，0）,D（1,４）,

∴,

解得:

m=﹣2,ｎ＝６,

∴y＝﹣2x＋６、

连接CＱ并延长，射线ＣＱ交ＢＤ于点G,则G（，3）、

在△ＣＯB向右平移得过程中:

（I）当0

设PQ与BC交于点K,可得QK=CQ＝ｔ，PB=PK=3﹣t、

设QE与ＢD得交点为F,则:

解得，∴F（3﹣t,2t）、

S＝S△ＱＰE﹣Ｓ△PBＫ﹣Ｓ△FＢE＝PＥ•PQ﹣PＢ•ＰＫ﹣BE•ｙＦ=×3×3﹣（3﹣ｔ）2﹣t•2ｔ=ｔ2+3t;

（II）当<ｔ＜3时,如答图3所示:

设ＰQ分别与BC、ＢD交于点K、点J、

∵CQ=t，

∴KQ=t,PK=ＰＢ=3﹣ｔ、

直线BD解析式为y=﹣2ｘ+6,令x=t，得ｙ＝6﹣2t，

∴Ｊ（t,６﹣２t）、

S=S△PBJ﹣S△ＰBK=PB•PＪ﹣PB•PK=（3﹣t）（6﹣２t）﹣（3﹣t）２=t2﹣３ｔ＋、

综上所述,S与t得函数关系式为:

S=、

（201３•鄂州压轴题）在平面直角坐标系中,已知Ｍ1（3,2）,N1（5,﹣１）,线段M1Ｎ1平移至线段MN处（注:

M1与M,N1与Ｎ分别为对应点）、

（１）若M（﹣2,5）,请直接写出Ｎ点坐标、

（2）在

（1）问得条件下,点Ｎ在抛物线上,求该抛物线对应得函数解析式、

（3）在

（2）问条件下，若抛物线顶点为B，与y轴交于点Ａ,点E为线段AＢ中点，点C（０,m）就就是ｙ轴负半轴上一动点,线段EC与线段BO相交于F，且OＣ：

OF=2:

求m得值、

（４）在（3）问条件下,动点P从B点出发，沿x轴正方向匀速运动，点P运动到什么位置时（即BP长为多少），将△AＢP沿边PＥ折叠,△AＰE与△PＢＥ重叠部分得面积恰好为此时得△ABP面积得,求此时ＢP得长度、

解答：

解：

（1）由于图形平移过程中,对应点得平移规律相同,

由点M到点Ｍ′可知,点得横坐标减５，纵坐标加３，

故点N′得坐标为（５﹣5,﹣1＋3）,即（０，2）、

Ｎ（0,2）;

（2）∵N（0,2）在抛物线ｙ=x2+x+k上

∴k=２

∴抛物线得解析式为y=x2+ｘ＋２　

（3）∵y=x2+x+2＝（x+2）2

∴Ｂ（﹣２,0）、Ａ（0,２）、E（﹣,１）

∵CO:

OF=２:

∴CＯ=﹣ｍ,FＯ=﹣m,BF＝２+m

∵Ｓ△ＢEC＝S△EBF+Ｓ△BFC=

∴（２+m）（﹣m＋１）=

整理得：

ｍ2＋ｍ=0

∴m=﹣１或0　　　　　　

∵ｍ＜0

∴ｍ＝﹣１　　　　　　　

（4）在Rt△AＢＯ中,tan∠ABO===

∴∠ＡBO＝30°,AＢ＝2ＡO=４

①当∠ＢPE＞∠APE时,连接Ａ1B则对折后如图２,A1为对折后A得所落点，△ＥＨＰ就就是重叠部分、

∵E为ＡB中点，∴S△AＥP=S△BEP=S△AＢＰ

∵S△EＨP=S△AＢＰ

∴＝S△ＥHP=S△ＢHP=S△ABＰ

∴A1Ｈ＝HP,EH=HB＝1

∴四边形A１BＰE为平行四边形

∴BP=A１E=AＥ=2

即ＢP＝2　　　　　　　　　　

②当∠BＰE=∠ＡPE时，重叠部分面积为△ＡBP面积得一半,不符合题意;

③当∠BPE<∠ＡPE时、

则对折后如图3,A１为对折后A得所落点、△EHP就就是重叠部分

∵E为AB中点,

∴S△AＥＰ=S△BEP=S△ABP

∵Ｓ△ＥHP＝S△ABＰ∴S△EＢH=Ｓ△ＥHP=＝S△ABP

∴ＢＨ=HＰ,EH=HA1=１

又∵BE=EA=２

∴ＥHＡP,

∴AP=2

在△APＢ中，∠ABP=30°,ＡＢ=4,ＡP=2、

∴∠ＡPB＝90°,

∴BP＝,

综合①②③知:

ＢP=2或；

（２013浙江丽水１2分）如图1,点Ａ就就是轴正半轴上得动点，点B坐标为（0,4）,M就就是线段AB得中点,将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点Ｃ,过点C作轴得垂线,垂足为F，过点Ｂ作轴得垂线与直线CF相交于点E，点Ｄ点A关于直线ＣF得对称点,连结AC,BC,CＤ,设点A得横坐标为

（1）当时,求CF得长;

（２）①当为何值时,点Ｃ落在线段BD上？

②设△BCE得面积为Ｓ，求S与之间得函数关系式;

（3）如图2,当点Ｃ与点E重合时,△CDF沿轴左右平移得到△C’D’F’,再将Ａ,B,C’,D’为顶点得四边形沿C’F’剪开,得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙得图形恰好就就是三角形,请直接写出所有符合上述条件得点C’得坐标。

（２013浙江丽水12分）如图1,点A就就是轴正半轴上得动点,点B坐标为（０，4）,Ｍ就就是线段AB得中点,将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C,过点C作轴得垂线,垂足为F，过点B作轴得垂线与直线CF相交于点Ｅ,点D点Ａ关于直线CF得对称点，连结AＣ,BC，CD,设点A得横坐标为

（1）当时，求CF得长;

（2）①当为何值时,点C落在线段ＢD上？

②设△BＣE得面积为S,求S与之间得函数关系式;

（3）如图2，当点C与点E重合时,△CDF沿轴左右平移得到△Ｃ’D’　Ｆ’,再将Ａ,B,C’，D’为顶点得四边形沿C’F’剪开,得到两个图形,用这两个图形拼成不重叠且无缝隙得图形恰好就就是三角形，请直接写出所有符合上述条件得点C’得坐标。

解:

（1）当时,OA=2,

　∵点B,∴OB=４、

　　又∵,ＡB＝2AC，可证RT∆ＡBO∽RT∆CAF、

　　∴,即、

（2）①当时,∵RT∆AＢＯ∽RT∆CAF,

　　∴,AＦ=２,

　∴FD=2,、

　　∵点C落在线段BD上,∴ＲT∆CＦD∽RＴ∆BＯD,

　∴,整理得，

　　　解得：

（舍去）、

　∴当时,点Ｃ落在线段ＢD上、

当点C与点Ｅ重合时,CF=4,可得、

　　　　当时,;

　当时，、

　　（3）点得坐标为:

，,、

　　　理由如下:

如图1，当时，点得坐标为,

　根据≌,为拼成得三角形,此时得坐标为;

图1

　　　②如图2,当点与点Ａ重合时,点得坐标为，

　根据≌,为拼成得三角形,此时得坐标为;

图2

如图3，当时，点得坐标为，

　　　　根据≌,为拼成得三角形,此时得坐标为;

图3