第七章概率与概率分布.docx
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第七章概率与概率分布
第三章概率与概率分布
3．1随机事件与概率
3．1．1样本空间与随机事件
随机现象：
自然现象和社会现象有许多，但按对结果的观察可分为必然现象与随机现象。
我们把在一定条件（条件组）下，每次观察都得到相同结果（必然发生），叫必然现象。
如“水在1000C时一定沸腾”，“早晨，太阳必然从东方升起”，“一棵石子掷到河中，必然要沉到河底”。
我们把在相同条件（条件组）下重复进行，试验的可能结果不止一个，试验前无法预料哪一个结果出现的现象叫随机现象。
如“掷一枚硬币，得到正面或反面”，“从一批产品中抽取一件，抽到正品或次品”，
“用枪射击一只鸟，鸟被击中”等。
曾有某个知名物理学家提出，只要事件发生的条件组给得十分充分，偶然、随机事件也是一种必然事件。
如掷硬币时把受力的方向、空气的阻力计算清楚，可知结果朝向；从袋中抽球、或抽取产品朝某个方向、排在第几位置的产品或球，则可知道抽得球的颜色或产品的等级。
但是，从现实和应用的角度来看，事件发生的条件不可能知道齐备，例如，对未来发生的事情，难以预知。
如买一张彩票，是否中奖；
“某地区明天的用电量在1500兆瓦与1600兆瓦之间”，难以预料，所以随机现象的研究是有意义的。
概率论与统计学就是研究随机现象的统计规律性的科学。
随机试验：
为了研究随机现象，我们要对随机现象进行观察，我们把对随机现象进行一次观察，叫做一次随机试验。
基本事件：
在随机试验中，它的的每一个最简单不能分解的观察结果称为基本随机事件，简称基本事件，对应于由基本事件组合而成的事件称复合事件。
样本空间：
用集合论的观点来描述随机事件，若将每一个基本随机事件用一个样本点表示，所有样本点的集合，即所有基本随机事件的集合，称为样本空间。
例：
如掷一骰子，有6种可能的点数，S={1,2,3,4,5,6},{2},{4}为基本事件，A={2，4，6}即掷的偶数点事件，B为掷得点数大于等于3为复合事件。
例：
连续掷硬币两次，观测正、反面朝上的情况，令w1={正面，正面}，w2={反面，正面}，w3={正面，反面}，w4={反面，反面}，则
样本空间：
Ω={w1,w2,w3,w4}=（{正面，正面}，{反面，正面}，{正面，反面}，{反面，反面}）
例：
你的一个同学约定在某天晚上7点到8点之间来你家作客，令w为“他来到你家的时间”，则：
Ω={w|19时<=w<=20时}。
3．1．2事件的概率
随机事件怎么描述？
它发生的可能性的测度用概率、隶属度、证据等描述。
进行随机试验时，有些是必然会发生的，称必然事件，P（S）=1。
有些是必然不会发生的，称不可能事件。
P（
）=0,但一般随机事件发生的可能性介于0与1之间。
将事件A发生的可能性称为事件A的概率。
概率有多种定义法：
1．概率的古典概型：
当样本空间的样本点总数为有限时，称为古典概率模型，简称古典概型。
定义3.1在古典概型中，事件A的概率为A所包含的基本事件个数m与样本空间中含的基本事件总数n的比值：
P（A）=事件A包含的基本事件个数/样本空间中含的基本事件总数=m/n
例3.1一箱产品共100件,其中有5件次品,从中任取一件,取到次品的概率是多少?
解:
A={1,2,3,4,5},S={1,2,…,100},
P（A）=5/100=0.05
例：
袋中有a只白球和b只黑球，我们采用有放回及不放回两种方式从中取出n个球，问恰好有k个黑球的概率各为多少？
设a=6,b=4,取出n=7只球,恰有k=3只黑球的概率.
解：
用A表示“取n=7个球中恰有k=3个黑球”的事件。
不放回抽取方式：
不放回时，基本事件总数为从a+b=10个球中随机取出n=7个的所有可能取法的种数
=
而n=7个中恰有k=3个黑球应有
种取法。
所以，事件A的概率为P（A）=
有放回抽取方式：
有放回地取球，就是取出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，再取第二个，。
。
。
，这种方式，每次从中取一个球时都是从a+b个球中摸取，从a+b个球中摸取一个球有a+b种方法，取n次共（a+b）n种方法，故取n个球的所有可能取法为（a+b）n种。
分子：
从选取的n个球中选k个位置放黑球，有
种选法，对每一种这种选法，每一个黑球有b种选法，k个黑球有bk种选法，每一个白球有a种选法，n-k个白球有an-k种选法，所以，恰有k个黑球的取法为
bkan-k种取法。
所以，事件A的概率为：
P（A）=
=C
（
如把白球看作工厂生产的一批产品中的正品，黑球
例：
2.概率的统计概型：
（统计概率模型）在古典概型中，我们利用数样本点的方法，计算事件的概率。
但多数问题的样本空间有无限多个样本点，难以一一列出。
人们很容易想到用利用事件发生的实际频率来估计概率的方法。
随机事件有多种可能的结果，虽然每一种结果可能发生，可能不发生，但发生的可能性有大小，例如某个人某天骑自行车在街上与汽车相撞的可能性就很小。
若统计出事件发生的频率，则可近似这种事件发生的可能性。
设E为一随机试验，A为其中任一事件，在同一条件下，把E独立地重复n次，用nA表示事件A在这n次试验中出现的次数，比值：
fn（A）=
称为事件A在这n次试验中出现的频率。
在表3.1中，列举了历史上数学家掷硬币试验的数据
表3.1历史上数学家掷硬币试验的数据
---------------------------------------------------------------
试验者试验次数正面朝上次数正面朝上的频率
---------------------------------------------------------------------------------------------
520.4
50220.44
5002510.502
5002490.498
蒲丰404020480.5069
K.皮尔逊1200060190.5016
K.皮尔逊24000120120.5005
维尼30000149940.4998
----------------------------------------------------------------------------------------------
从上表中可看出,正面朝上次数稍多,正面朝上的频率逐渐趋于0.5:
0.5069,0.5016,0.50050.4998
例：
某种子发芽率。
从一大批种子做发芽试验，结果如表：
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
种子粒数251070130310700150020003000
发芽粒数24960116282639133918062715
发芽率10.80.90.8570.8920.9100.9130.8930.9030.905
趋于0.9
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
从上面例子中可以看出，当试验次数少时，频率变化较大；但当试验次数增大时，频率变得稳定。
因此我们有：
定义3.2在同一条件组下重复进行n次试验，当试验次数n充分大时，事件A发生的频率f（A）=
趋向于某一数值p,或稳定地在p值附近波动（0
p
1）,则定义p为事件A发生的概率:
P（A）=p
这种定义方法为“代替准则”中的“频率代替”构造了基础，由于概率是频率的极限，所以在试验次数较大时，可以用频率代替概率或总体比例。
3.几何概型：
事件用几何区域表达的情形：
P（A）=
定义3.3面对不确定性，由个人判断某事件发生的可能性称为主观概率。
例3．2对某国经济地位
样本空间S={无变化，改善，恶化}
3.2概率的运算法则
3.2.1加法公式
事件间的关系：
1．和事件：
事件A与事件B中至少有一个发生，C=A+B
2．积事件：
事件A与事件B中同时发生，C=AB
3．差事件：
事件A发生但事件B不发生，C=A—B
4．互斥事件（互不相容事件）：
事件A与事件B不可能同时发生，AB=φ
5．逆事件：
A+B是必然事件，A与B是互斥事件，A+B=S，AB=φ
事件的概率之间的关系：
性质1若AB=φ，则有：
P（A+B）=P（A）+P（B）
性质2A与B是互斥事件，A+B=S，AB=φ，用B=
表示，由加法公式：
1=P（S）=P（A+B）=P（A）+P（B）或
P（
）=1-P（A）
性质3概率加法公式（加法定理）：
A、B是任意随机事件，则：
P（A+B）=P（A）+P（B）—P（AB）
例甲、乙两高射炮手，各自单独击中敌机的概率分别为0.8和0.6，求敌机被击中的概率。
解：
设A表示事件“甲击中敌机”，B表示事件“乙击中敌机”，C表示事件“敌机被击中”。
由题意有：
C=A∪B，所以：
P（C）=P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）=
=P（A）+P（B）-P（A）P（B）=0.8+0.6-0.48=0.92
即两个人打比一个人打更容易击中。
例3.4某企业职工中女职工占60%，管理人员占20%，从该企业职工中任选一人，是女职工或管理人员的概率是多少？
解：
令A表示女职工，B表示管理人员。
则：
P（A）=0.60,P（B）=0.20,
P（AB）=0.60×0.20=0.12,从该企业职工中任选一人，是女职工或管理人员的概率为：
P（A+B）=0.60+0.20—0.12=0.68
3．2．2乘法公式
1．条件概率
在许多情况下，我们需要研究某些事件出现时对另一事件所发生概率的影响，这就是条件概率。
我们以下列例子说明无条件概率和条件概率是不同的。
例如，两张足球票，十个人依次抽，每个人抽得足球票的无条件概率是
，但如果已知第一个人已经抽得一张足球票的情况下，第二个人抽得球票的概率为
，如果已知第一个人没有抽得足球票，第二个人抽得球票的概率为
。
定义3.5在已知随机事件B发生的条件下，A发生的概率称为A对于B的条件概率，用P（A|B）表示。
条件概率可以用乘法公式来计算。
2．乘法公式
可以验证：
P（A|B）=
称为乘法公式。
乘法公式的另一种写法：
P（AB）=P（B）P（A|B）
将A、B位置互换：
P（AB）=P（A）P（B|A）
3．独立性
若随机事件B的发生对A的发生没有影响，随机事件A的发生对B的发生没有影响，即P（A|B）=P（A）
P（AB）=P（B）P（A|B）=P（B）P（A）
定义3.6若A、B两个事件满足条件：
P（AB）=P（A）P（B）
称A与B相互独立。
例:
一盒产品中有8个正品,2个次品,第一次取出一个产品,检验后不再放回,再取第二次（称为不放回抽样）,问两次都取得正品的概率是多少？
解：
设A表示“第一次取得正品”，B表示“第二次取得正品”，因为：
P（A）=
P（B|A）=
，
因为“两次都取得正品”就是事件AB，
P（AB）=P（A）P（B|A）=
4．全概率公式设事件A1,A2,…,Ak满足条件：
（1）A1,A2,…,Ak两两互斥，即AjAk=φ,
（2）A1+A2+…+Ak=S（全空间）,
（满足这两个条件的事件组称为完备事件组。
）
则对于任一随机事件B有
P（B）=P（A1B）+P（A2B）+…+P（AkB）=
全概率公式通过完备事件组将样本空间分为许多较简单的类型，这样可以把较复杂的事件化为一些较简单的事件的和，便于计算。
例：
在对空演习中，某高射炮的目标是正在行进中的一架战斗机。
已知该炮能击中发动机、机舱及其它部位的概率分别是0.10,0.08,0.39,又若击中上述各部位而使飞机坠毁的概率分别是0.95,0.89,0.51,试求该炮任意发射的一炮弹使飞机坠毁的概率。
解：
设A1、A2、A3、A4分别表示炮弹击中发动机、机舱及其它部位以及不击中飞机的事件，B为飞机坠毁的事件。
由题设知：
P（A1）=0.10,P（A2）=0.08,P（A3）=0.39,P（A4）=0.43,
显然，A1、A2、A3、A4同时发生，是互斥事件，构成完备事件组，且：
P（B|A1）=0.95,P（B|A2）=0.89,P（B|A3）=0.51,P（B|A4）=0.0,
由全概率公式知：
P（B）=P（BΩ）=P（BA1+BA2+BA3+BA4）=P（BA1）+P（BA2）+P（BA3）+P（BA4）
=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）+P（A4）P（B|A4）
=0.10×0.95+0.08×0.89+0.39×0.51+0.43×0=0.3651,
例：
某企业有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，各车间的产量分别占全厂总产量的20%，30%，50%。
根据过去产品质量检验记录，知道甲、乙、丙车间的次品率分别为4%，3%，2%，从该厂产品中随机抽取一件为次品的概率是多少？
解：
令A1、A2、A3分别表示甲、乙、丙车间的产品，B表示产品为次品，则有
P（A1）=0.20，P（A2）=0.30，P（A3）=0.50，
P（B|A1）=0.04,P（B|A2）=0.03,P（B|A3）=0.02
P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）=
3．3贝叶斯公式
若已知Ai发生时B发生的条件概率P（B|Ai），
要求B发生时Ai发生的条件概率P（Ai|B）,则可以用以下贝叶斯公式：
P（Ai|B）=
=
=
P（Ai|B）=
例如，A1=“感冒”，A2=“肺炎”，A3=“鼻炎”，A4=“肝炎”，B=“头痛”，根据经验可以求出在患各种疾病情况下，有“头痛”症状的概率P（B|Ai）,在这样的已知条件下，当某个病人有“头痛”症状时，要求他患各种疾病的概率。
例：
用血清甲胎蛋白法诊断肝癌，A=“诊断患有肝癌”，C=“患有肝癌”。
已知人群患有肝癌的概率为P（C）=0.0004，而P（A|C）=0.95，即只有百分五假阴性率，P（
）=0.90,即“实际不患肝癌”情况下用该检验法的结论也为“不患肝癌”的可能性为百分之九十，也即：
P（
）=0.10,正常人有百分之十被误诊，表面看此法很可靠。
求用该检验法诊断患有肝癌情况下，确实“患肝癌”的可能性。
解：
P（C|A）=
=
=
=
=
=0.0038
这一结果出乎意料，但仔细想，设某地有10000人去检查，约有4人患肝癌，有9996人不患肝癌，由于P（
）=0.10,误诊率百分之十，被误诊的人有：
9996×0.1=999.6人，总共被诊断为患有肝癌的人为1004人，所以有前结果。
例：
设某一工厂有A、B和C三个车间，它们生产同一种锣钉。
在整个工厂的产量中，三个车间的产量分别占25%，35%和40%。
如果在三个车间的产品中，次品数分别占该车间出产量的5%，4%和2%。
试求从全厂总产品中抽到一个次品，它恰好是车间A（B或C）生产的概率。
解：
设M表示“抽到的一个锣钉是次品”这一事件，D1表示“抽到的锣钉属于A车间”，D2表示“抽到的锣钉属于B车间”，D3表示“抽到的锣钉属于C车间”。
按题目条件有：
P（D1）=25/100,P（D2）=35/100,P（D3）=40/100,
P{M|D1}=5/100,P{M|D2}=4/100,P{M|D3}=2/100,
根据贝叶斯公式，
P{D1|M}=
=
=25/69
P{D2|M}=
=
=28/69
P{D3|M}=
=
=16/69
这一次品是由B车间生产的可能性最大，由C车间生产的可能性最小。
3．4随机变量及其分布
3.4.1随机变量
我们引入了样本空间和样本点的概念，用以描述随机事件，基本随机事件用单个样本点表示，复杂复合随机事件用样本点的集合来表示。
但是，这些表达方法虽然对随机事件的刻画严格化，具体化，但量化程度还不够，还不能象函数关系那样，在坐标平面上加以刻画。
为此，我们将每一个样本点与一个实数相对应，这个定义在样本空间上的样本点的函数我们称为随机变量。
随机变量是对随机现象、随机事件的量化描述，根据随机现象、随机事件的特点，量化过程可以分为两类：
（1）一类是可以直接用数量描述或比较容易用数量描述，如电池的使用寿命、灯泡的使用寿命、某一零件的直径、长度等，随机变量可直接等于这个变量。
（2）随机事件的结果本身与数量无关或不易直接用数量描述，例如用户对某一新产品的态度，有非常欢迎、比较欢迎、一般、比较不欢迎、不欢迎等几种，可规定
设一个箱子内有红、黄、兰、黑、白五种球，随便摸一个，可规定：
3．4．2密度函数
在前面我们讨论次数分布的直方图、折线图、曲线图，这些在概率论中叫密度函数。
例：
某公司聘用50名营业员，下表是过去一年营业员所获得的新顾客数目，
xixii的频数xii的频率
011/50
122/50
244/50
333/50
466/50
588/50
61010/50
777/50
855/50
933/50
1011/50
可画出概率分布图：
（P88）
概率
┃
10/50┃
9/50┃
8/50┃
7/50┃
6/50┃
5/50┃
4/50┃
3/50┃
2/50┃
1/50┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃
┗━┻━┻━┻━┻━┻━┻━┻━┻━┻━┻━┻
012345678910
新顾客数
推广次数分布，我们提出密度函数的概念。
密度函数是描述随机变量取哪些值、和以多大的可能性取这些值，如离散型随机变量，指出它取离散可能值的可能性：
P（
=xi）=pi,i=1,2,…,k,…
取其它值的可能性为0。
称
f（x）=
（3.12）
把（3.12）式称为离散型随机变量X的密度函数、概率函数，当只有有限多个可能值时称分布列。
例3.9十件同一类型的产品中,有2件次品,任取2件,取2件中的次品数为随机变量,用
表示,则
可取0,1,2三个值,容易计算:
P（
=0）=
P（
=1）=
P（
=2）=
于是,写成分布列形式:
----------------------------------------------------------------------------
=012
-----------------------------------------------------------------------------
pi
------------------------------------------------------------------------------
3．4．3离散型随机变量的分布密度
1.两点分布
随机试验的结果多种多样，单有一种随机现象只有两个结果。
如置硬币，正面或反面；打比赛，失败或赢得；打一只鸟，打中或打不中；进行试验的结果，成功或失败；抽查一件产品，结果是正品或废品；有些试验的结果不止一个，例如电子管的寿命，当寿命大于500小时时是合格品，当寿命小于500小时时是废品；股票的价格变化有多种，但有上升和下跌两种情况。
只有两种可能结果的随机试验叫贝努里试验，这种随机事件叫贝努里概型。
贝努里概型可以用具有两点分布的随机变量来描述。
分别用“1”和“0”表示两种可能性，如：
X=
则分布密度为：
P（X=x）=
2．二项分布
当贝努里试验重复进行时，形成二项分布。
如抽查n件产品，每一件可能合格或不合格，总共有k件不合格。
在人寿保险中，某一人群的死亡率。
n个射手同时射击，有k人射中的概率。
9台车床有7台运行2台停机的概率。
n个两点分布的随机变量之和称为二项分布。
例：
某连锁总店每天向n=4家商店供应货物，每家商店订货与否是相互独立的，且每家商店订货的概率皆为p=0.4，求n=4家商店中订货商店家数的概率分布。
解：
q=1-0.4=0.6,为每家商店不订货的概率.
（1）4家分店都不订货:
qqqq=（0.6）4
（2）仅有1家分店订货的概率:
pqqq=0.4（0.6）3,qpqq=0.4（0.6）3,
qqpq=0.4（0.6）3qqqp=0.4（0.6）3共4种情况,概率为
pq4-1
（3）恰有2家分店订货的概率:
ppqq=（0.4）2（0.6）2pqpq=（0.4）2（0.6）2
pqqp=（0.4）2（0.6）2,qppq=（0.4）2（0.6）2,qpqp=（0.4）2（0.6）2,qqpp=（0.4）2（0.6）2
共6种情况,概率为
p2q4-2
（4）恰有3家分店订货的概率:
pppq=（0.4）3（0.6）,ppqp=（0.4）3（0.6）,pqpp=（0.4）3（0.6）,qppp=（0.4）3（0.6）共4种情况,概率为
p4-1q
（5）4家分店订货的概率,pppp仅1种情况,概率为
p4q4-4
综合以上5种情况,用X表示订货分店数,则:
p（X=0）=
p0q4-0,p（X=1）=
p1q4-1,p（X=2）=
p2q4-2,
p（X=3）=
p3q4-3,p（X=4）=
p4q4-4,
分布律为:
p（X=x）=
pxq4-x,
------------------------------------------------------------------------------------------------
x01234
P
p0q4-0,
p1q4-1,
p2q4
p3q4-3,
p4q4-4,
-------------------------------------------------------------------------------------------------
3．4．4.连续型随机变量的分布密度
若存在非负的可积函数f（x）,使得对于任何x
有
P（
则称f（x）为随机变量
的密度函数.
可以用密度函数的积分表示出随机变量落入任何一个区间的概率：
P（x1<=
由于分布函数的值域仅位于[0，1]之间，太窄小。
密度函数用来刻画随机变量的特征比较方便，并且易于用数学表达式表达，计算起来也更加方便。
3.4.2分布函数
在研究次数分布时，我们引入了以下累计（向下累计）的概念，在概率论中以下累计对应于
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