概率.docx
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概率
概率论
本章介绍MATLAB在概率统计中的若干命令和使用格式，这些命令存放于MatlabR12\Toolbox\Stats中。
1随机数的产生
1.1二项分布的随机数据的产生
命令参数为N，P的二项随机数据
函数binornd
格式R=binornd（N,P）%N、P为二项分布的两个参数，返回服从参数为N、P的二项分布的随机数，N、P大小相同。
R=binornd（N,P,m）%m指定随机数的个数，与R同维数。
R=binornd（N,P,m,n）%m,n分别表示R的行数和列数
例1
>>R=binornd（10,0.5）
R=
3
>>R=binornd（10,0.5,1,6）
R=
813764
>>R=binornd（10,0.5,[1,10]）
R=
6846753562
>>R=binornd（10,0.5,[2,3]）
R=
758
656
>>n=10:
10:
60;
>>r1=binornd（n,1./n）
r1=
210112
>>r2=binornd（n,1./n,[16]）
r2=
012131
1.2正态分布的随机数据的产生
命令参数为μ、σ的正态分布的随机数据
函数normrnd
格式R=normrnd（MU,SIGMA）%返回均值为MU，标准差为SIGMA的正态分布的随机数据，R可以是向量或矩阵。
R=normrnd（MU,SIGMA,m）%m指定随机数的个数，与R同维数。
R=normrnd（MU,SIGMA,m,n）%m,n分别表示R的行数和列数
例2
>>n1=normrnd（1:
6,1./（1:
6））
n1=
2.16502.31343.02504.08794.86076.2827
>>n2=normrnd（0,1,[15]）
n2=
0.05911.79710.26410.8717-1.4462
>>n3=normrnd（[123;456],0.1,2,3）%mu为均值矩阵
n3=
0.92991.93612.9640
4.12465.05775.9864
>>R=normrnd（10,0.5,[2,3]）%mu为10，sigma为0.5的2行3列个正态随机数
R=
9.783710.06279.4268
9.167210.143810.5955
1.3常见分布的随机数产生
常见分布的随机数的使用格式与上面相同
表1随机数产生函数表
函数名
调用形式
注释
Unifrnd
unifrnd（A,B,m,n）
[A,B]上均匀分布（连续）随机数
Unidrnd
unidrnd（N,m,n）
均匀分布（离散）随机数
Exprnd
exprnd（Lambda,m,n）
参数为Lambda的指数分布随机数
Normrnd
normrnd（MU,SIGMA,m,n）
参数为MU，SIGMA的正态分布随机数
chi2rnd
chi2rnd（N,m,n）
自由度为N的卡方分布随机数
Trnd
trnd（N,m,n）
自由度为N的t分布随机数
Frnd
frnd（N1,N2,m,n）
第一自由度为N1,第二自由度为N2的F分布随机数
gamrnd
gamrnd（A,B,m,n）
参数为A,B的
分布随机数
betarnd
betarnd（A,B,m,n）
参数为A,B的
分布随机数
lognrnd
lognrnd（MU,SIGMA,m,n）
参数为MU,SIGMA的对数正态分布随机数
nbinrnd
nbinrnd（R,P,m,n）
参数为R，P的负二项式分布随机数
ncfrnd
ncfrnd（N1,N2,delta,m,n）
参数为N1，N2，delta的非中心F分布随机数
nctrnd
nctrnd（N,delta,m,n）
参数为N，delta的非中心t分布随机数
ncx2rnd
ncx2rnd（N,delta,m,n）
参数为N，delta的非中心卡方分布随机数
raylrnd
raylrnd（B,m,n）
参数为B的瑞利分布随机数
weibrnd
weibrnd（A,B,m,n）
参数为A,B的韦伯分布随机数
binornd
binornd（N,P,m,n）
参数为N,p的二项分布随机数
geornd
geornd（P,m,n）
参数为p的几何分布随机数
hygernd
hygernd（M,K,N,m,n）
参数为M，K，N的超几何分布随机数
Poissrnd
poissrnd（Lambda,m,n）
参数为Lambda的泊松分布随机数
1.4通用函数求各分布的随机数据
命令求指定分布的随机数
函数random
格式y=random（'name',A1,A2,A3,m,n）%name的取值见表4-2；A1，A2，A3为分布的参数；m，n指定随机数的行和列
例3产生12（3行4列）个均值为2，标准差为0.3的正态分布随机数
>>y=random（'norm',2,0.3,3,4）
y=
2.35672.05241.82352.0342
1.98871.94402.65502.3200
2.09822.21771.95912.0178
2随机变量的概率密度计算
2.1通用函数计算概率密度函数值
命令通用函数计算概率密度函数值
函数pdf
格式Y=pdf（name，K，A）
Y=pdf（name，K，A，B）
Y=pdf（name，K，A，B，C）
说明返回在X=K处、参数为A、B、C的概率密度值，对于不同的分布，参数个数是不同；name为分布函数名，其取值如表4-2。
表4-2常见分布函数表
name的取值
函数说明
'beta'
或
'Beta'
Beta分布
'bino'
或
'Binomial'
二项分布
'chi2'
或
'Chisquare'
卡方分布
'exp'
或
'Exponential'
指数分布
'f'
或
'F'
F分布
'gam'
或
'Gamma'
GAMMA分布
'geo'
或
'Geometric'
几何分布
'hyge'
或
'Hypergeometric'
超几何分布
'logn'
或
'Lognormal'
对数正态分布
'nbin'
或
'NegativeBinomial'
负二项式分布
'ncf'
或
'NoncentralF'
非中心F分布
'nct'
或
'Noncentralt'
非中心t分布
'ncx2'
或
'NoncentralChi-square'
非中心卡方分布
'norm'
或
'Normal'
正态分布
'poiss'
或
'Poisson'
泊松分布
'rayl'
或
'Rayleigh'
瑞利分布
't'
或
'T'
T分布
'unif'
或
'Uniform'
均匀分布
'unid'
或
'DiscreteUniform'
离散均匀分布
'weib'
或
'Weibull'
Weibull分布
例如二项分布：
设一次试验，事件A发生的概率为p，那么，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生K次的概率P_K为：
P_K=P{X=K}=pdf（'bino'，K，n，p）
例4计算正态分布N（0，1）的随机变量X在点0.6578的密度函数值。
解：
>>pdf（'norm',0.6578,0,1）
ans=
0.3213
例5自由度为8的卡方分布，在点2.18处的密度函数值。
解：
>>pdf（'chi2',2.18,8）
ans=
0.0363
2.2专用函数计算概率密度函数值
命令二项分布的概率值
函数binopdf
格式binopdf（k,n,p）%等同于
，p—每次试验事件A发生的概率；K—事件A发生K次；n—试验总次数
命令泊松分布的概率值
函数poisspdf
格式poisspdf（k,Lambda）%等同于
命令正态分布的概率值
函数normpdf（K,mu,sigma）%计算参数为μ=mu，σ=sigma的正态分布密度函数在K处的值
专用函数计算概率密度函数列表如表4-3。
表3专用函数计算概率密度函数表
函数名
调用形式
注释
Unifpdf
unifpdf（x,a,b）
[a,b]上均匀分布（连续）概率密度在X=x处的函数值
unidpdf
Unidpdf（x,n）
均匀分布（离散）概率密度函数值
Exppdf
exppdf（x,Lambda）
参数为Lambda的指数分布概率密度函数值
normpdf
normpdf（x,mu,sigma）
参数为mu，sigma的正态分布概率密度函数值
chi2pdf
chi2pdf（x,n）
自由度为n的卡方分布概率密度函数值
Tpdf
tpdf（x,n）
自由度为n的t分布概率密度函数值
Fpdf
fpdf（x,n1,n2）
第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布概率密度函数值
gampdf
gampdf（x,a,b）
参数为a,b的
分布概率密度函数值
betapdf
betapdf（x,a,b）
参数为a,b的
分布概率密度函数值
lognpdf
lognpdf（x,mu,sigma）
参数为mu,sigma的对数正态分布概率密度函数值
nbinpdf
nbinpdf（x,R,P）
参数为R，P的负二项式分布概率密度函数值
Ncfpdf
ncfpdf（x,n1,n2,delta）
参数为n1，n2，delta的非中心F分布概率密度函数值
Nctpdf
nctpdf（x,n,delta）
参数为n，delta的非中心t分布概率密度函数值
ncx2pdf
ncx2pdf（x,n,delta）
参数为n，delta的非中心卡方分布概率密度函数值
raylpdf
raylpdf（x,b）
参数为b的瑞利分布概率密度函数值
weibpdf
weibpdf（x,a,b）
参数为a,b的韦伯分布概率密度函数值
binopdf
binopdf（x,n,p）
参数为n,p的二项分布的概率密度函数值
geopdf
geopdf（x,p）
参数为p的几何分布的概率密度函数值
hygepdf
hygepdf（x,M,K,N）
参数为M，K，N的超几何分布的概率密度函数值
poisspdf
poisspdf（x,Lambda）
参数为Lambda的泊松分布的概率密度函数值
例6绘制卡方分布密度函数在自由度分别为1、5、15的图形
>>x=0:
0.1:
30;
>>y1=chi2pdf（x,1）;plot（x,y1,':
'）
>>holdon
>>y2=chi2pdf（x,5）;plot（x,y2,'+'）
>>y3=chi2pdf（x,15）;plot（x,y3,'o'）
>>axis（[0,30,0,0.2]）%指定显示的图形区域
则图形为图1。
2.3常见分布的密度函数作图
1．二项分布
例7
>>x=0:
10;
>>y=binopdf（x,10,0.5）;
>>plot（x,y,'+'）
2．卡方分布
例8
>>x=0:
0.2:
15;
>>y=chi2pdf（x,4）;
>>plot（x,y）
图2
3．非中心卡方分布
例9
>>x=（0:
0.1:
10）';
>>p1=ncx2pdf（x,4,2）;
>>p=chi2pdf（x,4）;
>>plot（x,p,'--',x,p1,'-'）
4．指数分布
例10
>>x=0:
0.1:
10;
>>y=exppdf（x,2）;
>>plot（x,y）
图3
5．F分布
例11
>>x=0:
0.01:
10;
>>y=fpdf（x,5,3）;
>>plot（x,y）
6．非中心F分布
例12
>>x=（0.01:
0.1:
10.01）';
>>p1=ncfpdf（x,5,20,10）;
>>p=fpdf（x,5,20）;
>>plot（x,p,'--',x,p1,'-'）
图4
7．Γ分布
例13
>>x=gaminv（（0.005:
0.01:
0.995）,100,10）;
>>y=gampdf（x,100,10）;
>>y1=normpdf（x,1000,100）;
>>plot（x,y,'-',x,y1,'-.'）
8．对数正态分布
例14
>>x=（10:
1000:
125010）';
>>y=lognpdf（x,log（20000）,1.0）;
>>plot（x,y）
>>set（gca,'xtick',[0300006000090000120000]）
>>set（gca,'xticklabel',str2mat（'0','$30,000','$60,000',…
'$90,000','$120,000'））
图5
9．负二项分布
例15
>>x=（0:
10）;
>>y=nbinpdf（x,3,0.5）;
>>plot（x,y,'+'）
10．正态分布
例16
>>x=-3:
0.2:
3;
>>y=normpdf（x,0,1）;
>>plot（x,y）
图6
11．泊松分布
例17
>>x=0:
15;
>>y=poisspdf（x,5）;
>>plot（x,y,'+'）
12．瑞利分布
例18
>>x=[0:
0.01:
2];
>>p=raylpdf（x,0.5）;
>>plot（x,p）
图7
13．T分布
例19
>>x=-5:
0.1:
5;
>>y=tpdf（x,5）;
>>z=normpdf（x,0,1）;
>>plot（x,y,'-',x,z,'-.'）
14．威布尔分布
例20
>>t=0:
0.1:
3;
>>y=weibpdf（t,2,2）;
>>plot（y）
图8
3随机变量的累积概率值（分布函数值）
3.1通用函数计算累积概率值
命令通用函数cdf用来计算随机变量
的概率之和（累积概率值）
函数cdf
格式
说明返回以name为分布、随机变量X≤K的概率之和的累积概率值，name的取值见表4-1常见分布函数表
例21求标准正态分布随机变量X落在区间（-∞，0.4）内的概率（该值就是概率统计教材中的附表：
标准正态数值表）。
解：
>>cdf（'norm',0.4,0,1）
ans=
0.6554
例22求自由度为16的卡方分布随机变量落在[0，6.91]内的概率
>>cdf（'chi2',6.91,16）
ans=
0.0250
3.2专用函数计算累积概率值（随机变量
的概率之和）
命令二项分布的累积概率值
函数binocdf
格式binocdf（k,n,p）%n为试验总次数，p为每次试验事件A发生的概率，k为n次试验中事件A发生的次数，该命令返回n次试验中事件A恰好发生k次的概率。
命令正态分布的累积概率值
函数normcdf
格式normcdf（
）%返回F（x）=
的值，mu、sigma为正态分布的两个参数
例23设X~N（3,22）
（1）求
（2）确定c，使得
解
（1）p1=
p2=
p3=
p4=
则有：
>>p1=normcdf（5,3,2）-normcdf（2,3,2）
p1=
0.5328
>>p2=normcdf（10,3,2）-normcdf（-4,3,2）
p2=
0.9995
>>p3=1-normcdf（2,3,2）-normcdf（-2,3,2）
p3=
0.6853
>>p4=1-normcdf（3,3,2）
p4=
0.5000
专用函数计算累积概率值函数列表如表4。
表4专用函数的累积概率值函数表
函数名
调用形式
注释
unifcdf
unifcdf（x,a,b）
[a,b]上均匀分布（连续）累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
unidcdf
unidcdf（x,n）
均匀分布（离散）累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
expcdf
expcdf（x,Lambda）
参数为Lambda的指数分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
normcdf
normcdf（x,mu,sigma）
参数为mu，sigma的正态分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
chi2cdf
chi2cdf（x,n）
自由度为n的卡方分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
tcdf
tcdf（x,n）
自由度为n的t分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
fcdf
fcdf（x,n1,n2）
第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布累积分布函数值
gamcdf
gamcdf（x,a,b）
参数为a,b的
分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
betacdf
betacdf（x,a,b）
参数为a,b的
分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
logncdf
logncdf（x,mu,sigma）
参数为mu,sigma的对数正态分布累积分布函数值
nbincdf
nbincdf（x,R,P）
参数为R，P的负二项式分布概累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
ncfcdf
ncfcdf（x,n1,n2,delta）
参数为n1，n2，delta的非中心F分布累积分布函数值
nctcdf
nctcdf（x,n,delta）
参数为n，delta的非中心t分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
ncx2cdf
ncx2cdf（x,n,delta）
参数为n，delta的非中心卡方分布累积分布函数值
raylcdf
raylcdf（x,b）
参数为b的瑞利分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
weibcdf
weibcdf（x,a,b）
参数为a,b的韦伯分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
binocdf
binocdf（x,n,p）
参数为n,p的二项分布的累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
geocdf
geocdf（x,p）
参数为p的几何分布的累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
hygecdf
hygecdf（x,M,K,N）
参数为M，K，N的超几何分布的累积分布函数值
poisscdf
poisscdf（x,Lambda）
参数为Lambda的泊松分布的累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
说明累积概率函数就是分布函数F（x）=P{X≤x}在x处的值。
4随机变量的逆累积分布函数
MATLAB中的逆累积分布函数是已知
，求x。
逆累积分布函数值的计算有两种方法
4.1通用函数计算逆累积分布函数值
命令icdf计算逆累积分布函数
格式
说明返回分布为name，参数为
，累积概率值为P的临界值，这里name与前面表1相同。
如果
，则
例24在标准正态分布表中，若已知
=0.975，求x
解：
>>x=icdf（'norm',0.975,0,1）
x=
1.9600
例25在
分布表中，若自由度为10，
=0.975，求临界值Lambda。
解：
因为表中给出的值满足
，而逆累积分布函数icdf求满足
的临界值
。
所以，这里的
取为0.025，即
>>Lambda=icdf（'chi2',0.025,10）
Lambda=
3.2470
例26在假设检验中，求临界值问题：
已知：
，查自由度为10的双边界检验t分布临界值
>>lambda=icdf（'t',0.025,10）
lambda=
-2.2281
4.2专用函数-inv计算逆累积分布函数
命令正态分布逆累积分布函数
函数norminv
格式X=norminv（p,mu,sigma）%p为累积概率值，mu为均值，sigma为标准差，X为临界值，满足：
p=P{X≤x}。
例27设
，确定c使得
。
解：
由
得，
=0.5，所以
>>X=norminv（0.5,3,2）
X=
3
关于常用临界值函数可查下表4-5。
表4-5常用临界值函数表
函数名
调用形式
注释
unifinv
x=unifinv（p,a,b）
均匀分布（连续）逆累积分布函数（P=P{X≤x}，求x）
unidinv
x=unidinv（p,n）
均匀分布（离散）逆累积分布函数，x为临界值
expinv
x=expinv（p,Lambda）
指数分布逆累积分布函数
norminv
x=Norminv（x,mu,sigma）
正态分布逆累积分布函数
chi2inv
x=chi2inv（x,n）
卡方分布逆累积分布函数
tinv
x=tinv（x,n）
t分布累积分布函数
finv
x=finv（x,n1,n2）
F分布逆累积分布函数
gaminv
x=gaminv（x,a,b）
分布逆累积分布函数
betainv
x=betainv（x,a,b）
分布逆累积分布函数
logninv
x=logninv（x,mu,sigma）
对数正态分布逆累积分布函数
nbininv
x=nbininv（x,R,P）
负二项式分布逆累积分布函数
ncfinv
x=ncfinv（x,n1,n2,delta）
非中心F分布逆累积分布函数
nctinv
x=nctinv（x,n,delta）
非中心t分布逆累积分布函数
ncx2inv
x=ncx2inv（x,n,delta）
非中心卡方分布逆累积分布函数
raylinv
x=raylinv（x,b）
瑞利分布逆累积分布函数
weibinv
x=weibinv（x,a,b）
韦伯分布逆累积分布函数
binoinv
x=binoinv（x,n,p）
二项分布的逆累积分布函数
geoinv
x=geoinv（x,p）
几何分布的逆累积分布函数
hygei
升级会员 