北京理工大学信号与系统实验报告5连续时间系统的复频域分析.docx
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北京理工大学信号与系统实验报告5连续时间系统的复频域分析
北京理工大学信号与系统实验报告5-连续时间系统的复频域分析
实验5连续时间系统的复频域分析
（综合型实验）
一、实验目的
1）掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义并掌握MATLAB实现方法。
2）学习和掌握连续时间系统函数的定义及复频域分析方法。
3）掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。
二、实验原理与方法
1.拉普拉斯变换
连续时间信号x（t）的拉普拉斯变换定义为
（1）
拉普拉斯反变换为
（2）
MATLAB中相应函数如下：
符号表达式F拉氏变换，F中时间变量为t，返回变量为s的结果表达式。
用t替换结果中的变量s。
以s为变量的符号表达式L的拉氏反变换，返回时间变量为t的结果表达式。
用x替换结果中的变量t。
的连续时间系统，其系统函数为
的有理函数
（7）
3.连续时间系统的零极点分析
系统的零点指使式（7）的分子多项式为零的点，极点指使分母多项式为零的点，零点使系统的值为零，极点使系统的值为无穷大。
通常将系统函数的零极点绘在s平面上，零点用
表示，极点用
表示，这样得到的图形为零极点分布图。
可以通过利用MATLAB中的求多项式根的roots函数来实现对（7）分子分母根的求解，调用格式如下：
r=roots（c），c为多项式的系数向量，返回值r为多项式的根向量。
求取零极点以及绘制系统函数的零极点分布图可以采用pzmap函数，调用格式如下：
pzmap（sys）绘出由系统模型sys描述的系统的零极点分布图。
[p,z]=pzmap（sys）这种调用方式返回极点与零点，不绘出零极点分布图。
还有两个专用函数tf2zp和zp2tf可实现系统的传递函数模型和零极点增益模型的转换。
调用格式如下：
[z,p,k]=tf2zp（b,a）
[b,a]=tf2zp（z,p,k）
研究系统函数的零极点分布不仅可以了解系统冲激响应的形式，还可以了解系统的频率特性以及判断系统的稳定性。
1）零极点分布与冲激响应的关系
系统的极点位置决定着系统冲激响应h（t）的波形，冲激响应的幅值是由系统函数的零点和极点共同确定的，系统的零点位置只影响冲激响应的幅度和相位，不影响波形。
2）零极点分布与系统频率响应的关系
系统函数的零极点分布不仅决定了系统函数H（s），也决定了系统的频率响应
，根据系统的零极点分布情况，可以由几何矢量法分析系统的频率响应。
3）零极点分布与系统稳定性的关系
稳定性是系统的固有性质，与激励信号无关，由于系统函数
包含了系统的所固有的性质，因而可以根据系统函数的零极点分布判断系统的稳定性。
因果系统稳定的充要条件是
的全部极点位于s的左半平面。
三．实验内容
（1）已知系统的冲激响应
，输入信号
，试采用复频域的方法求解系统的响应，编写MATLAB程序实现。
代码：
%DFTfifth_2_1.m
symst
h=heaviside（t）-heaviside（t-2）;
x=heaviside（t）;
H=laplace（h）;
X=laplace（x）;
Y=H*X;
y=ilaplace（Y）
>>DFTfifth_2_1
y=
t-heaviside（t-2）*（t-2）
所以系统的响应为y（t）=t-（t-2）*u（t-2）
（2）已知因果连续时间系统的系统函数分别如下：
1）
2）
试采用MATLAB绘出其零极点分布图，求解系统的冲激响应h（t）和频率响应
，并判断系统是否稳定。
1）
>>b=[1];
>>a=[1221];
>>sys=tf（b,a）;
>>[p,z]=pzmap（sys）
p=
-1.0000
-0.5000+0.8660i
-0.5000-0.8660i
z=
Emptymatrix:
0-by-1
>>pzmap（sys）
所有极点都位于s平面的左半平面，所以系统是稳定的。
>>symss
>>Hs=1/（s^3+2*s^2+2*s+1）;
>>h=ilaplace（Hs）
h=
exp（-t）-exp（-t/2）*（cos（（3^（1/2）*t）/2）-（3^（1/2）*sin（（3^（1/2）*t）/2））/3）
所以系统的冲激响应为
绘制时域和频域的曲线：
b=[1];
a=[1221];
sys=tf（b,a）;
subplot（311）;
impulse（sys）;
xlabel（'t'）;
title（'h（t）'）;
subplot（312）;
[H,w]=freqs（b,a）;
plot（w,abs（H））;
xlabel（'w'）;
ylabel（'Magnitude'）;
title（'abs（H）'）;
subplot（313）;
plot（w,angle（H））;
xlabel（'w'）;
ylabel（'phase'）;
title（'phase（H）'）;
2）
>>b=[101];
>>a=[12-3332];
>>sys=tf（b,a）
sys=
s^2+1
-------------------------------------
s^5+2s^4-3s^3+3s^2+3s+2
Continuous-timetransferfunction.
>>[p,z]=pzmap（sys）
p=
-3.1704
0.9669+0.9540i
0.9669-0.9540i
-0.3817+0.4430i
-0.3817-0.4430i
z=
0+1.0000i
0-1.0000i
>>pzmap（sys）
由于s平面有半平面有极点，所以是不稳定系统。
绘制冲激响应和频域响应的图形
方法同上一题
图形如下：
（3）已知连续时间系统函数的极点位置分别如下所示（设系统无零点）：
分别绘制以下六种不同情况下，系统函数的零极点分布图，并绘制相应冲激响应的时域波形，观察并分析系统函数极点位置对冲激响应时域特性的影响。
1）p=0
>>b=[1];
>>a=[10];
>>sys=tf（b,a）
sys=
1
-
s
Continuous-timetransferfunction.
>>pzmap（sys）
>>symst
>>h=heaviside（t）;
>>ezplot（h,[-55]）
>>title（'h（t）'）
2）p=-2
>>b=[1];
>>a=[12];
>>sys=tf（b,a）
sys=
1
-----
s+2
Continuous-timetransferfunction.
>>pzmap（b,a）
>>symst
>>h=exp（-2*t）*heaviside（t）;
>>ezplot（h）
3）p=2
>>b=[1];
>>a=[1-2];
>>sys=tf（b,a）
sys=
1
-----
s-2
Continuous-timetransferfunction.
>>pzmap（b,a）
>>symst
>>h=exp（2*t）*heaviside（t）;
>>ezplot（h）
4）
>>b=[1];
>>a=[104];
>>sys=tf（b,a）
sys=
1
-------
s^2+4
Continuous-timetransferfunction.
>>pzmap（b,a）
>>symst
>>h=（1/2）*sin（2*t）*heaviside（t）;
>>ezplot（h）
5）
>>b=[1];
>>a=[1217];
>>sys=tf（b,a）
sys=
1
--------------
s^2+2s+17
Continuous-timetransferfunction.
>>pzmap（b,a）
>>symst
>>h=（1/2）*exp（-t）*sin（2*t）*heaviside（t）;
>>ezplot（h）
6）
>>b=[1];
>>a=[1-217];
>>sys=tf（b,a）
sys=
1
--------------
s^2-2s+17
Continuous-timetransferfunction.
>>pzmap（b,a）
>>symst
>>h=exp（t）*sin（2*t）*heaviside（t）/2;
>>ezplot（h）
极点在左半平面时呈衰减趋势，在左半平面坐标轴上时呈指数衰减，在非坐标轴位置上时成衰减振荡；在右半平面时成增加趋势，在右半平面坐标轴上时呈增加趋势，在非坐标轴上时呈增幅振荡；在纵轴上时，在非原点时呈等幅振荡，在原点时为单位阶跃响应。
（4）已知三个连续时间系统的系统函数，极点相同，零点不同，试用MATLAB分别绘制系统的零极点分布图及相应冲激响应的时域波形，观察并分析系统函数零点位置对冲激响应时域特性的影响。
1）
>>b=[1];
>>a=[1217];
>>sys=tf（b,a）
sys=
1
--------------
s^2+2s+17
Continuous-timetransferfunction.
>>pzmap（b,a）
>>symst
>>h=（1/4）*exp（-t）*sin（4*t）*heaviside（t）;
>>ezplot（h）
>>axistight
2）
>>b=[18];
>>a=[1217];
>>sys=tf（b,a）
sys=
s+8
--------------
s^2+2s+17
Continuous-timetransferfunction.
>>pzmap（b,a）
>>symss
>>H=（s+8）/（s^2+2*s+17）;
>>h=ilaplace（H）
h=
exp（-t）*（cos（4*t）+（7*sin（4*t））/4）
>>clear
>>symst
>>h=exp（-t）*（cos（4*t）+（7*sin（4*t））/4）*heaviside（t）;
>>ezplot（h）
>>axistight
3）
>>b=[1-8];
>>a=[1217];
>>sys=tf（b,a）
sys=
s-8
--------------
s^2+2s+17
Continuous-timetransferfunction.
>>pzmap（b,a）
>>symss
>>H=（s-8）/（s^2+2*s+17）;
>>h=ilaplace（H）
h=
exp（-t）*（cos（4*t）-（9*sin（4*t））/4）
>>clear
>>symst
>>h=exp（-t）*（cos（4*t）-（9*sin（4*t））/4）*heaviside（t）;
>>ezplot（h）
>>axistight
极点位置不变时，响应是衰减还是增幅不会发生改变。
但随着零点位置的变化，响应的振幅和相位会发生变化，零点由原点向正半轴或负半轴移动时，响应时域波形振幅增大。
四、实验收获与体会
本次实验用MATLAB实现了
和
两个变换，掌握了连续时间系统函数的复频域分析法，加深了对系统零极点分布于系统特性关系的理解。
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