一级倒立摆MATLAB仿真能控能观性分析数学模型极点配置.docx

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一级倒立摆MATLAB仿真能控能观性分析数学模型极点配置

题目一：

考虑如图所示的倒立摆系统。

图中，倒立摆安装在一个小车上。

这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。

倒立摆系统的参数包括：

摆杆的质量（摆杆的质量在摆杆中心）、摆杆的长度、小车的质量、摆杆惯量等。

图倒立摆系统

设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件（由干扰引起）时，最大超调量%≤10%，调节时间ts≤4s，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置（x=0）。

要求：

1、建立倒立摆系统的数学模型

2、分析系统的性能指标——能控性、能观性、稳定性

3、设计状态反馈阵，使闭环极点能够达到期望的极点，这里所说的期望的极点确定是把系统设计成具有两个主导极点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的分析方法进行参数的确定

4、用MATLAB进行程序设计，得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状态变量的时间响应图。

解：

1建立一级倒立摆系统的数学模型

系统的物理模型

如图1所示，在惯性参考系下，设小车的质量为M，摆杆的质量为m，摆杆长度为l，在某一瞬间时刻摆角（即摆杆与竖直线的夹角）为θ，作用在小车上的水平控制力为u。

这样，整个倒立摆系统就受到重力,水平控制力和摩擦力的3外力的共同作用。

图1一级倒立摆物理模型

建立系统状态空间表达式

为简单起见，本文首先假设:

（1）摆杆为刚体；

（2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；（3）忽略小车与导轨之间的摩擦。

在如图一所示的坐标下，小车的水平位置是y,摆杆的偏离位置的角度是θ，摆球的水平位置为y+lsinθ。

这样，作为整个倒立摆系统来说，在说平方方向上，根据牛顿第二定律，得到

（1）

对于摆球来说，在垂直于摆杆方向，由牛顿第二运动定律，得到

（2）

方程

（1），

（2）是非线性方程，由于控制的目的是保持倒立摆直立，在施加合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零是合理的。

则sinθ≈θ，cosθ≈1。

在以上假设条件下，对方程线性化处理后，得倒

（3）

（4）

对于（3）（4）两个式子联立求解，得到

（5）

（6）

如果选择位移y、速度

、角度θ和角速度

为系统的状态变量，位移y为系统的输出，控制力u为输入量，并令x1=y,

则得到

系统的状态表达式为：

（7-a）

（7-b）

2分析系统的性能指标——能控性、能观测性、稳定性

设系统的参数为M=1kg,m=,l=1m,重力加速度g=s2,于是

故

（8-a）

（8-b）

故而有：

A=[0100;00-10;0001;00110];

B=[0;1;0;-1];

C=[1000];

能控性

在MATLAB中，输入

A=[0100;00-10;0001;00110];

B=[0;1;0;-1];

C=[1000];

Qc=[BA*BA*A*BA*A*A*B]

得到

Qc=

0101

1010

0-10-11

-10-110

再输入rank（Qc），得到

ans=

4

于是系统是能控的。

能观测性

在MATLAB中，输入

A=[0100;00-10;0001;00110];

B=[0;1;0;-1];

C=[1000];

Q0=[C;C*A;C*A*A;C*A*A*A];

得到

Q0=

1000

0100

00-10

000-1

再输入rank（Q0）

ans=

4

于是系统是能观测的。

稳定性

计算det[λI-A]=0；

求得的结果是λ1=0；λ2=0；λ3=

；λ4=-

。

因为结果不全是负实部，故而该系统不稳定。

3状态反馈系统的极点配置以及求状态反馈阵

状态反馈阵极点配置

因为我们知道，该系统的能控性矩阵满秩，所以该系统是能控的。

可以通过状态反馈来任意配置极点。

希望的极点为s1=-6，s2=,s3=-7,s4=。

求状态反馈阵

在MATLAB中输入命定

A=[0100;00-10;0001;00110];

B=[0;1;0;-1];

P=[-6-7];

K=place（A,B,P）

得到计算结果为:

K=

4MATLAB程序设计

利用MATLAB/Simulink构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型，如图所示

运行仿真程序，得到的仿真曲线如下图所示

从上图可以看出，可以将倒立摆的杆子控制在与竖直方向偏角θ=0°的位置。

题目二：

根据自身的课题情况，任意选择一个被控对象，按照上题所示步骤进行分析和设计，并给出仿真程序及其执行结果。

解：

塑料球漂浮分析

仿真目标：

小球在空中受重力mg，在竖直向上的风中保持漂浮在空中的稳定状态。

1建模分析

小球在风向（如图所示）下保持稳定的状态。

小球质量为m，风速为

，简化风对球的阻力正比于相对速度，比例系数为f，球下落正向坐标为y，输入u为与风速相关的控制力。

数学模型：

由数学模型可知可设：

，

2控制分析

能控性分析：

rank（

）=2，系统能控

能观性分析：

rank（

）=2，系统能观

稳定性分析：

不全为复实数，故系统不稳定

3求状态反馈阵K

在matlab中输入K=place（A,B,P）,可求得反馈阵

。

4MATLAB仿真

Matlab中simulink建立

Matlab中simulink仿真结果

由仿真结果可知，小球会逐渐趋于稳定，模型得到验证。