第一章证明二.docx
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第一章证明二
第一章证明
（二）
1.你能证明它们吗
（一）
课 题
1.1 你能证明它们吗
（一）
设计人
刘庆飞郭靖
杜彩艳刘杰
教 学
目 标
1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
重 点
了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
难 点
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
教学过程：
一、复习：
1、什么是等腰三角形？
2、你会画一个等腰三角形吗？
并把你画的等腰三角形裁剪下来。
3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？
二、新课讲解：
在《证明
（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。
同学们和我一起来回忆上学期学过的公理
本套教材选用如下命题作为公理:
1．两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
2．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
3．两边夹角对应相等的两个三角形全等；（SAS）
4．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；（ASA）
5．三边对应相等的两个三角形全等；（SSS）
6．全等三角形的对应边相等，对应角相等．
由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：
推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（AAS）
证明过程：
已知：
∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF。
求证：
△ABC≌△DEF。
证明：
∵∠A＝∠D，∠B＝∠E（已知），
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠D+∠E+∠F＝180°
（三角形内角和等于180°），
∴∠C＝180°－（∠A+∠B）
∠F＝180°－（∠D+∠E）
∴∠C＝∠F（等量代换）
∵BC＝EF（已知）
∴△ABC≌△DEF（ASA）
这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。
三、议一议：
（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？
（2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？
等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明。
定理：
等腰三角形的两个底角相等。
这一定理可以简单叙述为：
等边对等角。
已知：
如图，在ABC中，AB＝AC。
求证：
∠B＝∠C。
证明：
取BC的中点D，连接AD。
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ABC△≌△ACD（SSS）。
∴∠B＝∠C。
（全等三角形的对应边角相等）
四、想一想：
在上图中，线段AD还具有怎样的性质？
为什么？
由此你能得到什么结论？
应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。
推论 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
五、课堂小结：
通过本课的学习我们了解了作为基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
探体会了反证法的含义。
板书设计
§1.1 你能证明它们吗
（一）
公理：
SAS
ASA
SSS
推论：
AAS
三线合一
定理：
等腰三角形的两个底角相等。
（证明过程）
第一章证明
（二）
课 题
1.1、你能证明它们吗
（二）
设计人
刘庆飞郭靖
杜彩艳刘杰
教 学
目 标
1、掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
3、结合实例体会反证法的含义。
重 点
等腰三角形的关性质定理和判定定理。
难 点
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
教学过程：
一、等腰三角形性质的探究
1．让学生回忆上节课的教学内容，引导学生思考从等腰三角形中能找到哪些相等的线段。
积极思考，回忆以前所学知识，联想新问题。
2．结合刚才的问题讲解例1的命题，并为后面将此性质拓展埋下伏笔。
3．图中，∠ABD＝
∠ABC，∠ACE＝
∠ACB，k＝
，
时，BD是否与CE相等。
引导学生探究、猜测当k为其他整数时，BD与CE的关系。
基于前面例题的启发，想要给出证明。
一部分学生可以自己给出证明，一部分学生需要老师的帮助。
4．引导学生探究，对于上述例题，当AD＝
AC，AE＝
AB，k＝
，
时，通过对例题的引申，培养学生的发散思维，经历探究—猜测—证明的学习过程。
在已经探究了角的大小的改变对于BD，CE的等长性没有影响，有了一些成就感之后，又面临新的任务：
BD＝CE吗?
因此学生会满怀热情地进行这部分探究活动，而且有了前面的体验，探究也会比较顺利。
5．引导学生进一步推广，把上面3、4中的k取一般的自然数后，原结论是否仍然成立?
要求学生说明理由或给出证明。
6．对学生探究的结果予以汇总、点评，鼓励学生在自己做题目的时候也要多思多想，并要求学生对猜测的结果给出证明。
7．提出新的问题，引导学生从“等角对等边”这个命题的反面思考问题，即思考它的逆命题是否成立。
适时地引导学生思考可以用哪些方法证明?
培养学生的推理能力。
8．归纳学生提出的各种证法，清楚的分析证明的思路，培养学生演绎证明的初步的推理能力。
9．启发学生思考：
在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，这个结论是否成立?
如果成立，能否证明。
这实际上是“等边对等角”的逆否命题，通过这样的表述可以提高学生的思维能力。
可以从直观上得出结论，但是此处要求证明，体会到证明的必要性。
10．总结这一证明方法，叙述并阐释反证法的含义，让学生了解。
11．小结这两个课时的内容。
（掌握证明的基本步骤和书写格式。
经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。
能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论。
等腰三角形的判定定理。
了解反证法的推理方法。
）
作业：
1、基础作业：
习题1.2 1、2、3。
2、拓展作业：
《目标检测》
3、预习作业：
做一做
板书设计
§1.1 你能证明它们吗
（二）
探索——发现——猜想——证明
证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等
等腰三角形的判定定理
了解反证法的推理方法
第一章证明
（二）
课 题
1.1 你能证明它们吗（三）
设计人
刘庆飞郭靖
杜彩艳刘杰
教 学
目 标
1、掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。
能够用综合法证明直角三角形的有关性质定理和等边三角形的判定定理。
重 点
等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。
难 点
能够用综合法证明等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。
教学过程：
一、定理：
一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
1．引导学生回忆上节课的内容，让学生思考：
等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形?
让学生对普遍联系和相互转化有一个感性的认识。
学生积极地自主探索、思考等腰三角形成为等边三角形的条件。
可能会从边和角两个角度给出答案。
2．肯定学生的回答，并让学生进一步思考：
有一个角是60°的等腰三家形是等边三角形吗?
组织学生交流自己的想法。
渗透分类讨论的思维方法。
学生积极思考，通过老师的点拨，分类讨论当这个角分别是底角和顶角的情况。
3．关注学生得出证明思路的过程，讲评。
讲解定理：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
学生认真听讲，体会分类讨论的数学思维方法，理解定理。
二、一种特殊直角三角形的性质
1．让学生拼摆事先准备好的三角尺，提问：
能拼成一个怎样的三角形?
能否拼出一个等边三角形?
并说明理由。
学生积极动手操作，并很快得到结果：
可以拼出等边三角形。
2．肯定学生的发现和解释，在此基础上进一步深入提问：
在直角三角形中，30°所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?
学生在拼摆的基础上继续探索，得出结论。
并在探索的过程中得到证明的思路。
3．演示规范的证明步骤，同时引导学生意识到：
通过实际操作探索出的结论还需要给予理论证明。
学生认真听讲，体会从探索和尝试中得到结论的过程和证明方法的步骤，掌握定理。
4．让学生准备一张正方形纸片，，按要求动手折叠。
学生折叠纸片，体会定理的应用。
5．讲解P15例题，应用定理。
学生听讲，体会定理的应用。
6．布置学生做练习。
练习：
随堂练习1
学生认真做练习。
三、课堂小结：
通过这节课的学习你学到了什么知识？
了解了什么证明方法？
（学生小结：
掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理）
四、作业：
1、基础作业：
习题1.3 1、2、3题
2、拓展作业：
《目标检测》
3、预习作业 读一读 “勾股定理的证明”
板书设计
§1.1、你能证明它们吗（三）
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2．直角三角形
（一）
课题
1.2、直角三角形
（一）
设计人
刘庆飞郭靖
杜彩艳刘杰
教学目标
1、要求学生掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）和判定定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。
2、了解逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的含义，能结合自己的生活及学习体验举出逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的例子。
3、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力。
教学重点
直角三角形的性质和判定定理
教学难点
勾股定理逆定理的证明方法。
教学方法
教学后记
教学内容及过程
一、勾股定理
1．让学生到黑板上画出他们观察到的生活中的直角三角形，并分别说出它们的作用在哪里。
2．高度评价学生的参与热情和学习成果，激励学生继续努力。
可以把其中很有创意的发现以该学生名字命名，以此保护学生的积极性。
3．总结学生的“成果”，启发学生思考既然学生所找的三角形同属直角类，那么它们还有没有其他的共性?
4．启发学生回忆以前用数方格和割补图形的方法得到的关于直角三角形三边关系的结论。
让学生画出一个直角三角形并测量三边长，验证结论的正确性。
5.讲解勾股定理，讲述有关的数学史，让学生对勾股定理的发现有所了解。
二、勾股定理的逆定理
1．利用学生画在黑板上的直角三角形提出问题：
你如何证明你找的就是直角三角形呢?
2．引导学生思考勾股定理的反面：
在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，这个三角形是不是直角三角形?
3．让学生画三角形并测量三边长长度。
4．借此机会向学生说明命题的正确性一定要通过严格的逻辑证明来说明，不能凭直观猜测，在做题的过程中要注意监控自己的思路，做到步步有据，说理充分，培养学生的理性精神。
5．对这个比较有挑战性的问题，首先让“呼之欲出”的学生说说他们的思路；并让学生试着给出比较详细的说明。
6．表扬学生的积极发言，保护学生的积极性，并对他们的回答予以剖析，引导学生继续思考。
7．点评学生的证明，并作为和学生平等的一分子给出证明，不把自己的证明作为难一的权威和正确的答案，让学生可以继续寻找其他的证法。
8．比较勾股定理和勾股定理逆定理的表述方式有什么不同，让学生分析它们各自的条件和结论分别是什么，蕴含的因果关系分别是什么。
三、互逆命题、互逆定理
1．把准备好的卡片随机地发给学生，学生按卡片的种类被分成A、B两组，要求拿A类卡片的学生a说出自己卡片上的内容，然后寻找拿B类卡片的与自己的命题相反的同学b。
b要自己主动站起来，并说出自己卡片上的命题是什么，由学生a来判断他（她）和自己是否在一组。
（注意：
A、B类卡片上的内容要出现适量的不能构成互逆命题、互逆定理的例子，但不能太多。
这样既有利于学生分析、辨别互逆命题、互逆定理，又有利于他们从正例中归纳、总结出互逆命题、互逆定理的内涵）。
2．对学生的表现予以表扬、肯定和鼓励。
然后提问拿B卡片的找到组的学生：
你是如何判断和谁在一组的?
3．提取学生回答中的合理性成分，总结归纳，然后提问拿A类卡片的学生：
你是如何判断b是否和你在同一组?
4．肯定学生的认识，提问拿B类卡片的但没找到组的学生：
为什么他们的命题和A类同学的命题不能互相构成反面?
5．肯定所有学生的发言和参与，然后让学生试着自己归纳总结概括出什么是互逆命题、互逆定理。
6．肯定学生的回答，并在此基础上进一步升华，给出严谨的表述。
7．结合刚刚讲过的勾股定理及其逆定理，应用互逆命题、互逆定理的含义进行分析，加深学生对这一方面的认识。
8．结合游戏中的命题向学生说明：
一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。
让学生体会命题变换的辩证关系。
9．让学生回忆自己曾学到的互逆命题和互逆定理，说出教师难备的一些命题的逆命题并判断真假。
10．布置作业及下节课学生要准备的东西。
作业
1、基础作业：
习题1.41、2、3。
2、拓展作业：
《目标检测》
3、预习作业：
做一做
板书设计：
1．2直角三角形
勾股定理：
互逆定理
2．直角三角形
（二）
课题
1.2、直角三角形
（二）
设计人
刘庆飞郭靖
杜彩艳刘杰
教学目标
1、掌握直角三角形全等的判定定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。
2、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力。
教学重点
直角三角形HL全等判定定理。
教学难点
直角三角形HL全等判定定理。
教学后记
教学内容及过程
教师活动
一、直角三角形HL全等判定定理
1．向学生展示自己难备的两个全等的直角三角形，让学生根据直观感觉回答两个三角形是什么关系?
2．进一步说明要判断两个三角形全等，必须给出证明，继续培养学生理性思考问题的习惯。
让学生回忆在第一节中都学习了哪些全等判定定理。
3．因为所给出的两个直角三角形没有附加什么条件，让学生思考：
如果要利用那四个全等判定定理，分别需要给这两个三角形附加什么条件?
培养学生养成在满足条件下才能应用定理的习惯。
4．肯定学生的回答，。
启发学生进一步思考，对于直角三角形这样的一类特殊三角形，四个定理是否可以简化一些?
还有没有其他的判定方法?
5．充分肯定学生的思考，在这时适时地提出曾经被抛弃的一条假名题：
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等在现在成立吗?
6．让学生自己写出条件并给出证明。
让先写完的学生到黑板上板演。
7．讲解学生的板演，借此进一步规范学生的书写和表达。
分析命题的条件，既然其中一边和它所对的直角对应相等，那么可以把这两个因素总结为直角三角形的斜边对应相等，于是直角三角形有自己的全等判定定理：
斜边和一条直角边对应相等的直角三角形全等，可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示。
8．让学生动手按照课本上的步骤作图，在此时训练学生熟练使用作图工具能力。
让学生首先观察所作出的射线是否是己知角的平分线，是的话，思考如何证明。
A
B
C
D
小结：
1、本节课学习了哪些知识？
2、还有那一些方面的收获？
作业：
1、基础作业：
习题1.51、2。
2、拓展作业：
《目标检测》
3、预习作业：
预习：
线段的垂直平分线。
1．3线段的垂直平分线
（1）
设计人：
刘庆飞郭靖杜彩艳刘杰
◇教学目标：
1．要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一些问题。
2．能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理。
3．通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力。
◇教学重点：
线段垂直平分线性质定理及其逆定理。
◇教学难点：
线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的内涵和证明。
◇教学方法：
引导探索
◇教学过程：
一、知识回顾
什么是线段的垂平分线？
二、学习新知识
（一）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
1．让学生把准备好的方方正正的纸拿出来，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和E’B、FB和F’B的关系。
2．让学生说出他们观察猜测的结果是什么，并评价指正他们的结论。
3．证明猜想
让学生把文字语言变成数学语言，根据图形写出已知和求证并证明。
4．选取证明完成地较好和较差的两位同学到黑板上板演自己的证明，其他同学在练习本上完成。
（针对两位同学的板书讲解证法，规范学生的证明过程，培养学生的逻辑思维能力）
5．师生共同总结出线段垂直平分线的性质定理
定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
（二）到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
让学生写出以上命题的逆命题，类比原命题画出图形、写出已知和求证并证明该逆命题，（之后教师评价指正证明过程）
师生总结得：
线段垂直平分线逆定理：
定理：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
（三）用尺规作线段的垂直平分线
已知：
线段AB求作：
线段AB的垂直平分线。
作法：
1、分别以点A和B为圆心，
以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D，
2、作直线CD。
直线CD就是线段AB的垂直平分线。
请你说明CD为什么是AB的垂直平分线，
并与同伴进行交流。
（1、到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上2、两点确定一条直线）
说明：
因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点。
三、随堂练
四、课堂小结
1、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
注：
逆定理可以作为线段垂直平分线的判定，但必须是经过满足条件的两个点的直线才是线段的垂直平分线
2、用尺规作线段垂直平分线的方法
五、作业
习题1.5第3、4、5题
1.3．线段的垂直平分线
（二）
设计人：
刘庆飞郭靖杜彩艳刘杰
知识目标：
1、经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理。
2、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线。
3、能够证明三角形三边垂直平分线交于一点。
4、能够作出满足条件的等腰三角形。
能力目标：
1、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。
2、体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神。
3、学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。
情感目标：
1、能够积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。
2、在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
教学重点：
1、能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理及相关的结论。
2、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和满足条件的等腰三角形。
教学难点：
1、根据命题写出已知求证和它的逆命题。
2、证明三线共点。
教学方法：
探索——交流——合作
教学过程：
一、创设情景，引入新课
如图：
A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离年相等，码头应建立在什么位置？
引导学生回忆以前学过的线段的垂直平分线的性质：
线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
（多媒体演示）
引出本节课的课题。
B
二、讲解新课
1、线段垂直平分线的性质定理和判定定理
在前面我们是通过折纸得到了这个性质，现在你们能用数学方法严格证明这个结论吗？
（1）引导学生分析这个命题的题设和结论，并根据命题画出图形，写出已知求证，并证明它。
已知：
如图，点P是线段AB的垂直平分线MN上的任意一点，
求证：
MA=MB
N
证明略.
（2）你能写出它的逆命题吗？
它是真命题吗？
如果是请证明它。
逆命题：
到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
已知：
线段AB，P点是平面上一点，且PA=PB。
求证：
P点在线段AB的垂直平分线上。
（多种证明）
我们已经完成了线段垂直平分线的性质定理和判定定理的证明，请同学们思考一下我们可以用这两个定理来证明什么？
（引导学生得出可以用这两个定理证明线段相等、两条直线互相垂直、用尺规作线段的垂直平分线）
例1：
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC边于点D。
（1）若BD=3，则AD=？
（2）若∠ADC=70°，则∠B=？
（3）若BC=5，△ADC的周长为7，则AC=？
D
（从例1的学习中，我们可以看到用线段的垂直平分线的性质来证明线段相等和角等）
l
例2：
如图，A、B、C是直线l上的点，M、N在直线l的两侧，且MA=NA，MB=NB，问MN与直线l有什么样的位置关系？
2、用尺规作线段的垂直平分线
现在我们回到刚才的建造码头的例题，刚才我们已经找到了码头的位置了，你能用刚才讲过的线段垂直平分线的性质定理和判定定理探索如何用尺规作出它的位置吗？
已知：
线段AB
求作：
线段AB的垂直平分线
作法：
1、分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点C、D。
2、作直线CD。
直线CD就是线段AB的垂直平分线。
你能从上面的作法中说明直线CD就是线段AB的垂直平分线吗？
3、探索三角形三条边的垂直平分线相交于一点.
（1）请你通过折叠的方法找出一个锐角三角形纸片每条边的垂直平分线。
观察这三条垂直平分线,你发现了什么?
（2）请你用利用尺规作出钝角三角形三条边的垂直平分线。
再观察这三条垂直平分线,你又发现了什么?
与同伴交流。
通过学生的操作探索得出三角形三边的垂直平分线交于一点，并能说出证明过程。
O
（3）证明三角形三边的垂直平分线交于一点
如图：
在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线相交于点O，连接AO、BO、OC。
∵点O在线段AB的垂直平分线上
∴OA=OB
同理可证：
OB=OC
∴OA=OC
∴点O在线段AC的垂直平分线上。
说明：
要想证明三条直线相交于一点，只要能证明其中两条直线的交点也在另一条直线上即可。
（4）从上面的操作过程中，我们还能发现：
锐角三角形的三边垂直平分线的交点在形内；钝角三角形的三边垂直平分线的交点在形外；钝角三角形的三边垂直平分线的交点在斜边的中点；
（4）从上面的证明中猜想三角形三边的垂直平分线交点的性质。
定理：
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
R●
例2、为筹办一个大型运动会,某市政府打算修建一个大型体育中心。
在选址过程中，有人建议该体育中心所在位置应当与该城市的三个城镇中心（如图中P，Q，R表示）的距离相等。
根据上述建议，请你试在图
（1）中画出体育中心G的位置。
例3：
（1）你能作出一个底边为3cm的等腰三角形吗？
你能作出几个？
它们全等吗？
（2）你能作出一个底边为3cm，底边上的高为4cm的等腰三角形吗？
你能作出几个？
它们全等吗？
D
例4：
在一个矩形铁皮ABCD上有一个点P，现要在这个铁皮上剪出一个等腰直角三角形，使得点P是这个三角形的直角顶点，并且斜边要落在AB边上，该如何剪？
三、小结
本节课我们主要学习了线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，和如何利用这两个定理来证明线段相等、两角相等、
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