第一章证明2九上数学.docx
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第一章证明2九上数学
第一章证明
（二）知识点归纳例题讲解与单元试题
知识点归纳
※等腰三角形的“三线合一”：
顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的
直角三角形，其中一个锐角等于30º，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。
※有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形。
※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：
①勾股定理：
（注意区分斜边与直角边）
②在直角三角形中，如有一个内角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半
③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现）
※垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。
（注意着重号的意义）
<直线与射线有垂线，但无垂直平分线>
※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
※线段垂直平分线逆定理：
到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。
（如图1所示，AO=BO=CO）
※角平分线上的点到角两边的距离相等。
※角平分线逆定理：
在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。
角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。
（如图2所示，OD=OE=OF）
例题讲解
（一）选择题：
1.设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示他们之间关系的是（）
答案：
A
2.具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（）
A.顶角、一腰对应相等B.底边、一腰对应相等
C.两腰对应相等D.一底角、底边对应相等
答案：
C
3.△ABC中，∠A：
∠B：
∠C=1：
2：
3，CD⊥AB于点D，若BC=a，则AD等于（）
答案：
C
4.下列命题的逆命题是真命题的是（）
A.对顶角相等B.若a=b，则|a|=|b|
C.末位是零的整数能被5整除D.直角三角形的两个锐角互余
答案：
D
5.如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）
A.30°B.36°C.45°D.70°
答案：
B
6.下列说法错误的是（）
A.任何命题都有逆命题B.定理都有逆定理
C.命题的逆命题不一定是正确的D.定理的逆定理一定是正确的
答案：
B
（二）填空题：
1.如果等腰三角形的一个角是80°，那么另外两个角是____________度。
答案：
50°，50°或80°，20°
2.等腰三角形底角15°，则等腰三角形的顶角、腰上的高与底边的夹角分别是__________。
答案：
150°，75°
3.在△ABC和△ADC中，下列论断：
①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC，把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：
____________。
答案：
在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC。
4.如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知：
AB=8cm，BC=10cm，则△EFC的周长=____________cm。
答案：
12cm
（三）作图题：
已知：
如图，△ABC中，AB=AC。
（1）按照下列要求画出图形：
①作∠BAC的平分线交BC于点D；
②过D作DE⊥AB，垂足为点E；
③过D作DF⊥AC，垂足为点F。
（2）根据上面所画的图形，求证：
EB=FC。
答：
①②③略
（2）证：
（四）阅读下题及其证明过程：
已知：
如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：
∠BAE=∠CAE。
证明：
在△AEB和△AEC中，
∴△AEB≌△AEC（第一步）
∴∠BAE=∠CAE（第二步）
问：
上面证明过程是否正确？
若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪？
答：
错无SSA
（五）解答题：
1.已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=10cm，求△ODE的周长；
解：
△DOE的周长为10cm，提示：
证OD=BD，OE=EC
2.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。
（1）已知CD=4cm，求AC的长；
（2）求证：
AB=AC+CD。
解：
（1）先证DE=EB，
（2）证△ACD≌△AED，即得AC=AE，∴AB=AC+CD
3.已知：
如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF。
（1）当D点在什么位置时，DE=DF？
并加以证明。
（2）探索DE、DF与等腰△ABC的高的关系。
解：
（1）D为BC中点时，DE=DF，证明略。
（2）DE+EF＝等腰△ABC腰上的高
4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。
求证：
AD垂直平分EF。
证：
5.如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，直线AN，MB交于点F。
图1图2
（1）求证：
AN=BM；
（2）求证：
△CEF为等边三角形；
（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第
（1）、
（2）两小题的结论是否仍然成立。
（不要求证明）
解：
（1）证△ACN≌△BCM
（2）
（3）
（1）成立；
（2）不成立
单元试题
（一）
一．选择题（本题共5小题，每题3分，共15分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选项的字母写在题目后面的括号里．
1．在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则∠B的度数为（）
A．20°B．70°C．70°或20°D．无法确定
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=14，BD平分∠ABC，交AC于D，AD∶DC=5∶2，则点D到AB的距离为（）A．10B．4C．7D．6
3．如图，△ABC中，AB=AC=BD，AD=DC，则∠BAC的度数为（ ）
A．120°B．108°C．100°D．135°
4．如图，△ABC中，∠B，∠C的角平分线相交于点O，过O作DE∥BC，若BD+CE=5，则DE等于（ ）A．7B．6C．5D．4
5．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=a，则
等于（ ）
A
A．
B．2 C．
D．
二．填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）请把下列各题的正确答案填写在横线上．
6．等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则其他两边长为________________
7．等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则等腰三角形的顶角为
8．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，
，AB=18cm，BC=12cm，则DE=cm．
9．如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，BE与AD相交于点O，若BC=8，EO=3，则CD=
10．如图，△ABC中，BC=5，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，则△ADE的周长是．
第8题
第9题
第10题
三．解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
11．（2008中考·广东）如图，在ΔABC中，
．用尺规作图作BC边上的中线AD（保留作图痕迹，不要求写作法、证明），并求AD的长．
12．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD
是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。
（1）若CD=5，求AC的长。
（2）求证：
AB=AC+CD
13．在△ABC中，AB=BC=12，∠ABC=80°，BD是∠ABC的角平分线，
DE∥BC。
（1）求∠EDB的度数；
（2）求DE的长。
14．如图，已知在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线D
胶AC于点E，CE的垂直平分线正好经过点B，与A相交于点F，
求∠A的度数。
15．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处。
（1）求EF的长；
（2）求梯形ABCE的面积。
单元试题
（二）
一、选择题
1、已知：
如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是（）
（A）30°（B）36°（C）45°（D）54°
2、如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）
A.45°B.55°C.60°D.75°
3、如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF．②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
4、如图，以点A和点B为两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出（）
A.2个B.4个C.6个D.8个
5、如图，△ABC中，AB=BD=AC，AD=CD，则∠ADB的度数是（）
A.36°B.45°C.60°D.72°
6、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD、BE是△ABC的角平分线，CD、BE相交于点O，则图中等腰三角形有（）A.6个B.7个C.8个D.9个
7、已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（）
A.36°B.45°C.60°D.72°
8、等腰直角三角形的斜边长为a，则其斜边上的高为（）
A.
B.
C.
D.
9、下列两个三角形中，一定全等的是（）
（A）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形（B）两个等边三角形
（C）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形
（D）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形
二、填空题
1．在△ABC中，∠A－∠C＝25°，∠B－∠A＝10°，则∠B＝；
2．如果三角形有两边的长分别为5a，3a，则第三边x必须满足的条件是；
3．等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是；
4．在△ABC中，已知AB＝AC，AD是中线，∠B＝70°，BC＝15cm，则∠BAC＝，∠DAC＝，BD＝cm；
5．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，AB＝3，AC＝4，则AD＝；
6．在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝5cm，作AB的垂直平分线交另一腰AC于D，连结BD，如果△BCD的周长是17cm，则△ABC的腰长为.
7、如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是或.
8、已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=10cm，则△ODE的周长.
9、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB相交于D点，则∠BCD的度数是.
10、如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为.
11、如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=
∠DAB；④△ABC是正三角形。
请写出正确结论的序号（把你认为正确结论的序号都填上）。
三、证明题
1、已知D是Rt△ABC斜边AC的中点，DE⊥AC交BC于E，且∠EAB∶∠BAC＝2∶5，求∠ACB的度数.
2、已知：
如图，AB＝AC，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，求证：
BD＝CE.
3、已知：
如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：
BD＝DE．
4、已知：
如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE＝CD，连 结AD、BE交于点P，作BQ⊥AD，垂足为Q．求证：
BP＝2PQ.
5、如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，
求AD、CD的长.
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