_例4：
已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：
BD=CE
证明:
作EM平行AB,交BC的延长线于M,则:
∠EMC=∠B;
∵AB=AC.
∴∠B=∠ACB=∠ECM.
∴∠EMC=∠ECM,得EM=EC.
∵EM∥AB.
∴∠BDF=∠MEF;
又DF=EF,∠BFD=∠MFE.
∴⊿BDF≌⊿MEF（ASA）,BD=EM=CE
_练习：
已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：
AF=EF
证明：
延长AD到G,使AD=DG
连结BG
得:
△DGB
在△ADC,△GDB中
DC=DB（点D为中点）
∠ADC=∠GDB（_HYPERLINK"\t"_blank"_对顶角_）
AD=GD
∴△ADC≌△GDB（SAS）
∴∠ACD=∠GBD
∴AC‖GB（_HYPERLINK"\t"_blank"_内错角_相等,两直线平行）
∴∠DAC=∠DGB（_HYPERLINK"\t"_blank"_内错角_）
∵AC=BG=BE
∴∠DGB=∠DEB（_HYPERLINK"\t"_blank"_等边对等角_）
而∠DEB=∠FEA（_HYPERLINK"\t"_blank"_对顶角_）
∴∠DGB=∠DEB=∠FEA=∠FAE（_HYPERLINK"\t"_blank"_等量代换_）
∴FA=FE（_HYPERLINK"\t"_blank"_等角对等边_）
_例5：
已知：
如图，在_EMBEDEquation.3___中，_EMBEDEquation.3___，D、E在BC上，且DE=EC，过D作_EMBEDEquation.3___交AE于点F，DF=AC.
求证：
AE平分_EMBEDEquation.3___
_
练习：
已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：
∠C=∠BAE
_
证明：
∵∠BDA=∠BAD
∴AB=BD
又∵CD=AB
∴AB:
BC=1:
2
∵E是中点
∴BE:
BD=BE:
AB=1:
2
三角形ABE和三角形ABC中
角B相同，2边成比例，2三角形相似
∴∠C=∠BAE
作业：
1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论
_结论：
AB=AF+CF
证明：
分别延长AE,DF交于点M
∵E是BC中点
∴BE=CE
∵AB//CD
∴∠BAE=∠M
在△ABE与△MCE中
∠BAE=∠M
∠AEB=∠MEC
BE=CE
∴△ABE≌△MCE（AAS）
∴AB=MC
∵∠BAE=∠EAF
∴∠M=∠EAF
∴MF=AF
∵MC=MF+CE
∴AB=AF+CF
2、已知：
如图，（ABC中，（C=90（，CM（AB于M，AT平分（BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：
CT=BE.
_
_3：
已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：
AF=EF
4：
已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：
∠C=∠BAE
_
5、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论
_
（二）截长补短法_
已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.
求证：
∠BAD+∠BCD=180°.
_分析：
因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.
证明：
过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，如图1-2
∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，
在Rt△ADE与Rt△CDF中，
_EMBEDEquation.3___
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）,∴∠DAE=∠DCF.
又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°，
即∠BAD+∠BCD=180°
如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.
_求证：
CD=AD+BC.
已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD.
求证：
∠BAP+∠BCP=180°.
_
已知：
如图4-1，在?
ABC中，?
C＝2?
B，?
1＝?
2.
_求证：
AB=AC+CD.
作业：
1、已知：
如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：
BE+DF=AE.
_
2、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：
AD平分∠CDE
_
（三）其它几种常见的形式：
1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。
_例：
如图1：
已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：
BE＋CF＞EF。
2、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。
例：
：
如图2：
AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：
BE＋CF＞EF
_
练习：
已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4，求证EF＝2AD。
_
_3、延长已知边构造三角形：
例如：
如图6：
已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，
求证：
AD＝BC
4、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
_例如：
如图7：
AB∥CD，AD∥BC求证：
AB=CD。
5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
_例如：
如图8：
在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E。
求证：
BD＝2CE
_
6连接已知点，构造全等三角形。
例如：
已知：
如图9；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：
∠A＝∠D。
_
7、取线段中点构造全等三有形。
例如：
如图10：
AB＝DC，∠A＝∠D求证：
∠ABC＝∠DCB。
_
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