福建省厦门市五缘实验中学学年八年级上学期期中考试数学试题.docx
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福建省厦门市五缘实验中学学年八年级上学期期中考试数学试题
2019-2020五缘实验中学八年级上期中数学考试
一、选择题（共10题，每题4分，共40分）
1．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2B．3（a+b）＝3a+3b
C．ax﹣ay＝a（x﹣y）D．
3．月亮的平均亮度只有太阳的0.00000215倍，0.00000215用科学记数法可表示为（ ）
A．2.15×10﹣5B．2.15×10﹣6C．2.15×10﹣7D．21.5×10﹣6
4．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（ ）
A．76°B．62°C．42°D．76°、62°或42°都可以
5．9.72变形正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
6．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：
以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：
以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：
连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是（ ）
A．BH垂直平分线段ADB．AC平分∠BAD
C．S△ABC＝BC•AHD．AB＝AD
7．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，则AB＝AC，CD＝DE．若∠A＝40°，∠ABD：
∠DBC＝3：
4，则∠BDE＝（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
8．若（x+1）（2x2﹣ax+1）的运算结果中，x2的系数为﹣6，那么a的值是（ ）
A．4B．﹣4C．8D．﹣8
9．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为（ ）
A．2aB．2.5aC．3aD．4a
10．如图，AD是△ABC的外角平分线，下列一定结论正确的是（ ）
A．AD+BC＝AB+CDB．AB+AC＝DB+DC
C．AD+BC＜AB+CDD．AB+AC＜DB+DC
二、填空题（共6题，11题，每空2分。
其余各4分，共28分）
11.计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
12．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是 ．
13.若
，
，则
．
14．已知某个正多边形的每个内角都是120°，这个正多边形的内角和为 °．
15．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为 ．
16．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 度．
三、解答题（共9题，共82分）
17（8分）计算下列各题：
（1）
（2）
18（8分）把下列各式分解因式：
（1）
（2）
19．（8分）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE相交于点O，请判断△OEF的形状，并说明理由．
20．（8分）如图：
小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了100步．
（1）根据题意，画出示意图；
（2）如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由．
21．（9分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB＝2AE．求证：
∠B+∠ADC＝180°．
22．（9分）已知，如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，其中∠ABC＝90°，∠DBE＝90°．
（1）求证：
AD＝CE；
（2）求证：
AD和CE垂直．
23．（11分）如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数；
（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．
24．（10分）阅读下列材料解决问题
两个多位数整数，若它们各数位上的数字之和相等，则称这两个多位数互为“调和数”，例如37和82，它们各数位上的数字之和分别为3+7和8+2，显然3+7＝8+2＝10故37和82互为“调和数”．
（1）下列说法错误的是
A.123和51互为调和数”
B.345和513互为“调和数
C.2018和8120互为“调和数”
D．两位数
和
互为“调和数”
（2）若A、B是两个不等的两位数，A＝
，B＝
，A和B互为“调和数”，且A与B之和是B与A之差的3倍，求满足条件的两位数A．
25．（11分）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．
（1）如图1，若A（0，1），B（2，0），求C点的坐标．
（2）如图2，当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：
∠ADB＝∠CDE．
（3）如图3，M为y轴上一点，连接CM，以CM为直角边向右作等腰Rt△CMN，其中CM＝MN，连接NB，若AM＝7，求五边形ACMNB的面积．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】P8：
利用轴对称设计图案．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：
A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项正确；
故选：
D．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的概念．
2．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2B．3（a+b）＝3a+3b
C．ax﹣ay＝a（x﹣y）D．
【考点】51：
因式分解的意义．
【专题】512：
整式．
【分析】直接利用因式分解的意义分析得出答案．
【解答】解：
A、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，是整式的乘法运算，故此选项错误；
B、3（a+b）＝3a+3b，是整式的乘法运算，故此选项错误；
C、ax﹣ay＝a（x﹣y），是因式分解，故此选项正确；
D、2a2﹣2a＝2a（a﹣1），故此选项错误．
故选：
C．
【点评】此题主要考查了因式分解，正确掌握因式分解的定义是解题关键．
3．月亮的平均亮度只有太阳的0.00000215倍，0.00000215用科学记数法可表示为（ ）
A．2.15×10﹣5B．2.15×10﹣6C．2.15×10﹣7D．21.5×10﹣6
【考点】1J：
科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：
0.00000215＝2.15×10﹣6；
故选：
B．
【点评】此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（ ）
A．76°B．62°
C．42°D．76°、62°或42°都可以
【考点】KA：
全等三角形的性质．
【专题】17：
推理填空题．
【分析】根据全等三角形的对应角相等解答．
【解答】解：
∵两个三角形全等，
∴∠1＝62°，
故选：
B．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
5．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：
以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：
以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：
连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是（ ）
A．BH垂直平分线段ADB．AC平分∠BAD
C．S△ABC＝BC•AHD．AB＝AD
【考点】KG：
线段垂直平分线的性质；N2：
作图—基本作图．
【分析】根据已知条件可知直线BC是线段AD的垂直平分线，由此一一判定即可．
【解答】解：
A、正确．如图连接CD、BD，
∵CA＝CD，BA＝BD，
∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，
∴直线BC是线段AD的垂直平分线，
故A正确．
B、错误．CA不一定平分∠BDA．
C、错误．应该是S△ABC＝
•BC•AH．
D、错误．根据条件AB不一定等于AD．
故选：
A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握证明线段垂直平分线的证明方法，属于基础题，中考常考题型．
6．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，则AB＝AC，CD＝DE．若∠A＝40°，∠ABD：
∠DBC＝3：
4，则∠BDE＝（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【考点】KH：
等腰三角形的性质．
【分析】根据已知及等腰三角形的性质可求得两底角的度数，再根据∠ABD：
∠DBC＝3：
4，列方程求解即可求出∠BDE的度数．
【解答】解：
∵AB＝AC，CD＝DE
∴∠C＝∠DEC＝∠ABC
∴AB∥DE
∵∠A＝40°
∴∠C＝∠DEC＝∠ABC＝
＝70°
∵∠ABD：
∠DBC＝3：
4
∴设∠ABD为3x，∠DBC为4x
∴3x+4x＝70°
∴x＝10°
∵AB∥DE
∴∠BDE＝∠ABD＝30°
故选：
B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质：
等边对等角和三角形内角和定理求解．
7．若（x+1）（2x2﹣ax+1）的运算结果中，x2的系数为﹣6，那么a的值是（ ）
A．4B．﹣4C．8D．﹣8
【考点】42：
单项式；4B：
多项式乘多项式．
【专题】512：
整式；66：
运算能力．
【分析】先运用多项式的乘法法则进行计算，再根据运算结果中x2的系数是﹣6，列出关于a的等式求解即可．
【解答】解：
（x+1）（2x2﹣ax+1）
＝2x3﹣ax2+x+2x2﹣ax+1
＝2x3+（﹣a+2）x2+（1﹣a）x+1；
∵运算结果中x2的系数是﹣6，
∴﹣a+2＝﹣6，
解得a＝8，
故选：
C．
【点评】本题考查了多项式的乘法，解题的关键是运用运算结果中x2的系数是﹣6，列方程求解．
8．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为（ ）
A．2aB．2.5aC．3aD．4a
【考点】PB：
翻折变换（折叠问题）．
【专题】554：
等腰三角形与直角三角形；558：
平移、旋转与对称．
【分析】由折叠的性质可得∠B＝∠EDB＝30°，∠FDC＝∠C＝90°，可求∠FED＝60°，∠EFD＝60°，可证△DEF是等边三角形，即可求△DEF的周长．
【解答】解：
∵折叠
∴∠B＝∠EDB＝30°，∠FDC＝∠C＝90°，
∴∠FED＝60°，∠EFD＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DE＝EF＝DF＝a，
∴△DEF的周长为3a，
故选：
C．
【点评】本题考查了翻折变换，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
9．如图，AD是△ABC的外角平分线，下列一定结论正确的是（ ）
A．AD+BC＝AB+CDB．AB+AC＝DB+DC
C．AD+BC＜AB+CDD．AB+AC＜DB+DC
【考点】K6：
三角形三边关系；KD：
全等三角形的判定与性质．
【专题】552：
三角形．
【分析】在AP上截取AF＝AC．首先证明△DAF≌△DAC（SAS），再根据三角形的三边关系即可解决问题；
【解答】解：
在AP上截取AF＝AC．
∵AF＝AC，∠DAF＝∠DAC，AD＝AD，
∴△DAF≌△DAC（SAS），
∴DF＝DC，
∴BD+DF＞BF，
∴BD+DC＞AB+AC．
故选：
D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
10．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为（ ）
A．45°B．α﹣45°C．
αD．90°﹣
α
【考点】P2：
轴对称的性质．
【专题】558：
平移、旋转与对称．
【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE＝
∠BAD＝
，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣
．
【解答】解：
如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB＝AB'，
∴∠BAC＝∠B'AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE＝
∠BAD＝
，
又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，
∴四边形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣
，
∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣
﹣90°＝90°﹣
，
∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣
，
故选：
D．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB'E，解题时注意：
如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
二、填空题
11．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是 （﹣2，﹣3） ．
【考点】P5：
关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】两点关于x轴对称，那么横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【解答】解：
点P（﹣2，3）关于x轴的对称，即横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．
故答案为：
（﹣2，﹣3）．
【点评】本题考查关于x轴对称的点的坐标的特点，可记住要点或画图得到．
12．已知某个正多边形的每个内角都是120°，这个正多边形的内角和为 720 °．
【考点】L3：
多边形内角与外角．
【专题】555：
多边形与平行四边形．
【分析】设所求正多边形边数为n，根据内角与外角互为邻补角，可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，由60°•n＝360°，求解即可．
【解答】解：
设所求正多边形边数为n，
∵正n边形的每个内角都等于120°，
∴正n边形的每个外角都等于180°﹣120°＝60°．
又因为多边形的外角和为360°，
即60°•n＝360°，
∴n＝6．
所以这个正多边形是正六边形．
则内角和是：
（6﹣2）×180＝720°．
故答案为：
720．
【点评】本题考查了多边形内角和外角的知识，解答本题的关键在于熟练掌握任何多边形的外角和都是360°并根据外角和求出正多边形的边数．
13．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 60°或10 度．
【考点】K7：
三角形内角和定理；K8：
三角形的外角性质．
【专题】552：
三角形．
【分析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：
∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理可得结论．
【解答】解：
分两种情况：
①如图1，当∠ADC＝90°时，
∵∠B＝30°，
∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；
②如图2，当∠ACD＝90°时，
∵∠A＝50°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，
综上，则∠BCD的度数为60°或10°；
故答案为：
60°或10；
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，分情况讨论是本题的关键．
三、解答题
14．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE相交于点O，请判断△OEF的形状，并说明理由．
【考点】KD：
全等三角形的判定与性质．
【专题】553：
图形的全等．
【分析】根据BE＝CF得到BF＝CE，又AB＝DC，∠B＝∠C，所以△ABF≌△DCE，根据三角形全等得∠AFB＝∠DEC，所以是等腰三角形．
【解答】解：
△OEF的形状为等腰三角形．
理由如下：
∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．
在△ABF与△DCE中，
．
∴△ABF≌△DCE（SAS）．
∴∠AFB＝∠DEC．
∴OE＝OF，即△OEF的形状为等腰三角形．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形对应角相等的性质及等腰三角形的判定；根据BE＝CF得到BF＝CE是证明三角形全等的关键．
15．如图：
小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了100步．
（1）根据题意，画出示意图；
（2）如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由．
【考点】KE：
全等三角形的应用．
【专题】12：
应用题．
【分析】
（1）根据题意所述画出示意图即可．
（2）根据AAS可得出△ABC≌△DEC，即求出DE的长度也就得出了AB之间的距离．
【解答】解：
（1）所画示意图如下：
（2）在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE，
又∵小刚共走了100步，其中AD走了40步，
∴走完DE用了60步，
步大约50厘米，即DE＝60×0.5米＝30米．
答：
小刚在点A处时他与电线塔的距离为30米．
【点评】本题考查全等三角形的应用，像此类应用类得题目，一定要仔细审题，根据题意建立数学模型，难度一般不大，细心求解即可．
16．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB＝2AE．求证：
∠B+∠ADC＝180°．
【考点】KD：
全等三角形的判定与性质．
【专题】14：
证明题．
【分析】延长AD过C作CF垂直AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由条件AD+AB＝2AE可证BE＝DF，所以△CDF≌△CEB，有全等的性质可得∠ABC＝∠CDF，问题可得解．
【解答】证明：
过C作CF垂直AD于F，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC＝∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠DFC＝∠CEB＝90°，
∴△AFC≌△AEC，
∴AF＝AE，CF＝CE，
∵2AE＝AB+AD，
又∵AD＝AF﹣DF，AB＝AE+BE，AF＝AE，
∴2AE＝AE+BE+AE﹣DF，
∴BE＝DF，
∵∠DFC＝∠CEB＝90°，CF＝CE，
∴△CDF≌△CEB，
∴∠ABC＝∠CDF，
∵∠ADC+∠CDF＝180°，
∴∠B+∠ADC＝180°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，属于基础题，解题的关键是牢记三角形全等的判定定理．
17．已知，如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，其中∠ABC＝90°，∠DBE＝90°．
（1）求证：
AD＝CE；
（2）求证：
AD和CE垂直．
【考点】KD：
全等三角形的判定与性质．
【专题】14：
证明题．
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质得出AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，得出∠ABD＝CBE，证出△ABD≌△CBE（SAS），得出AD＝CE；
（2）△ABD≌△CBE得出∠BAD＝∠BCE，再由∠BAD+∠ABC∠∠BGA＝∠BCE+∠AFC+∠CGF＝180°，得出∠AFC＝∠ABC＝90°，证出结论．
【解答】
（1）证明：
∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，
即∠ABD＝CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE；
（2）证明：
延长AD分别交BC和CE于G和F，如图所示：
∵△ABD≌△CBE，
∴∠BAD＝∠BCE，
∵∠BAD+∠ABC∠∠BGA＝∠BCE+∠AFC+∠CGF＝180°，
又∵∠BGA＝∠CGF，
∵∠BAD+∠ABC+∠BGA＝∠BCE+∠AFC+∠CGF＝180°，
∴∠AFC＝∠ABC＝90°，
∴AD⊥CE．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
18．如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数；
（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．
【考点】KK：
等边三角形的性质；P7：
作图﹣轴对称变换．
【专题】552：
三角形．
【分析】
（1）根据要求画出图象即可；
（2）根据∠AEB＝∠D+∠PAD，只要求出∠D，∠DAE即可；
（3）结论：
CE+AE＝BE．在BE上取点M使ME＝AE，只要证明△AEC≌△AMB即可解决问题；
【解答】解：
（1）图象如图所示；
（2）在等边△ABC中，
AC＝AB，∠BAC＝60°，
由对称可知：
AC＝AD，∠PAC＝∠PAD，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠D，
∵∠PAC＝20°，
∴∠PAD＝20°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠PAC+∠PAD＝100°，
∴
，
∴∠AEB＝∠D+∠PAD＝60°．
（3）结论：
CE+AE＝BE．
理由：
在BE上取点M使ME＝AE，
在等边△ABC中，
AC＝AB，∠BAC＝60°
由对称可知：
AC＝AD，∠EAC＝∠EAD，
设∠EAC＝∠DAE＝x．
∵AD＝AC＝AB，
∴
，
∴∠AEB＝60﹣x+x＝60°．
∴△AME为等边三角形，
易证：
△AEC≌△AMB，
∴CE＝BM，
∴CE+AE＝BE．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，
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