第三章 三角函数解三角形.docx
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第三章三角函数解三角形
任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．－870°的终边在第几象限
（ ）
A．一 B．二
C．三D．四
解析：
选C 因－870°＝－2×360°－150°.－150°是第三象限角．
4．若点P在角的终边上，且P的坐标为（－1，y），则y等于________．
解析：
因tan＝－＝－y，∴y＝.
答案：
1．
（1）给出下列四个命题：
①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四角限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有
（ ）
A．1个 B．2个
C．3个D．4个
（2）如果角α是第二象限角，则π－α角的终边在第________象限．
解析：
（1）－是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
（2）由已知＋2kπ<α<π＋2kπ（k∈Z），
则－π－2kπ<－α<－－2kπ（k∈Z），
即－π＋2kπ<－α<－＋2kπ（k∈Z），
故2kπ<π－α<＋2kπ（k∈Z），
所以π－α是第一象限角．
答案：
（1）C
（2）一
三角函数的定义
典题导入
[例2]
（1）已知角α的终边上有一点P（t，t2＋1）（t>0），则tanα的最小值为
（ ）
A．1 B．2
C.D.
（2）（2012·汕头模拟）已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为
（ ）
A.B.
C.D.
[自主解答]
（1）根据已知条件得tanα＝＝t＋≥2，当且仅当t＝1时，tanα取得最小值2.
（2）由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cosα＝sin＝，故α＝2kπ－（k∈Z），所以α的最小正值为.
[答案]
（1）B
（2）D
2．
（1）（2012·东莞调研）已知角α的终边与单位圆的交点P，则tanα＝
（ ）
A.B．±
C.D．±
解析：
（1）选B 由|OP|2＝x2＋＝1，
得x＝±，tanα＝±.
已知角α的终边过点P（－8m，－6sin30°），且cosα＝－，则m的值为
（ ）
A．－ B．－
C.D.
解析：
选C 由点P（－8m，－6sin30°）在角α的终边上且cosα＝－，知角α的终边在第三象限，则m>0，又cosα＝＝－，所以m＝.
3．已知角α和角β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－，则sinα＝
（ ）
A．－B.
C．－D.
解析：
选D 因为角α和角β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋（k∈Z），又β＝－，所以α＝2kπ＋（k∈Z），即得sinα＝.
6．已知sinθ－cosθ>1，则角θ的终边在
（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：
选B 由已知得（sinθ－cosθ）2>1,1－2sinθcosθ>1，sinθcosθ<0，且sinθ>cosθ，因此sinθ>0>cosθ，所以角θ的终边在第二象限．
8．若β的终边所在直线经过点P，则sinβ＝________，tanβ＝________.
解析：
因为β的终边所在直线经过点P，所以β的终边所在直线为y＝－x，则β在第二或第四象限．
所以sinβ＝或－，tanβ＝－1.
答案：
或－ －1
9.如图，角α的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1）交于第二象限的点A，则cosα－sinα＝________.
解析：
由题图知sinα＝，又点A在第二象限，故cosα＝－.∴cosα－sinα＝－.
答案：
－
12．
（1）设90°<α<180°，角α的终边上一点为P（x，），且cosα＝x，求sinα与tanα的值；
（2）已知角θ的终边上有一点P（x，－1）（x≠0），且tanθ＝－x，求sinθ，cosθ.
解：
（1）∵r＝，∴cosα＝，
从而x＝，
解得x＝0或x＝±.
∵90°<α<180°，
∴x<0，因此x＝－.
故r＝2，sinα＝＝，
tanα＝＝－.
（2）∵θ的终边过点（x，－1），
∴tanθ＝－，
又tanθ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.
当x＝1时，sinθ＝－，cosθ＝；
当x＝－1时，sinθ＝－，cosθ＝－.
2．（教材习题改编）已知sin（π＋θ）＝－cos（2π－θ），|θ|<，则θ等于
（ ）
A．－B．－
C.D.
解析：
选D ∵sin（π＋θ）＝－cos（2π－θ），
∴－sinθ＝－cosθ，∴tanθ＝.
∵|θ|<，∴θ＝.
4．（教材习题改编）如果sin（π＋A）＝，那么cos的值是________．
解析：
∵sin（π＋A）＝，∴－sinA＝.
∴cos＝－sinA＝.
答案：
5．已知α是第二象限角，tanα＝－，则cosα＝________.
解析：
由题意知cosα<0，又sin2α＋cos2α＝1，
tanα＝＝－.∴cosα＝－.
答案：
－
1．
（1）（2012·韶关模拟）若角α的终边落在第三象限，则＋的值为
（ ）
A．3B．－3
C．1D．－1
（2）（2013·肇庆期中）若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝________.
解析：
（1）由角α的终边落在第三象限得sinα<0，cosα<0，
故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.
（2）由
将①代入②得（sinα＋2）2＝0，
∴sinα＝－，cosα＝－.∴tanα＝2.
答案：
（1）B
（2）2
典题导入
[例3] 在△ABC中，若sin（2π－A）＝－sin（π－B），cosA＝－cos（π－B），求△ABC的三个内角．
[自主解答] 由已知得sinA＝sinB，cosA＝cosB两式平方相加得2cos2A＝1，
即cosA＝或cosA＝－.
（1）当cosA＝时，cosB＝，又角A、B是三角形的内角，
∴A＝，B＝，∴C＝π－（A＋B）＝.
（2）当cosA＝－时，cosB＝－，
又角A、B是三角形的内角，∴A＝，B＝，不合题意．
综上知，A＝，B＝，C＝.
3．在三角形ABC中，
（1）求证：
cos2＋cos2＝1；
（2）若cossintan（C－π）<0，求证：
三角形ABC为钝角三角形．
证明：
（1）在△ABC中，A＋B＝π－C，则＝－，
所以cos＝cos＝sin，
故cos2＋cos2＝1.
（2）若cossintan（C－π）<0，
则（－sinA）（－cosB）tanC<0，
即sinAcosBtanC<0，
∵在△ABC中，0∴sinA>0，或
∴B为钝角或C为钝角，故△ABC为钝角三角形．
已知sinθ、cosθ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两根，则a＝________.
解析：
由题意知，原方程判别式Δ≥0，
即（－a）2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.
∵
又（sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ，
∴a2－2a－1＝0，
∴a＝1－或a＝1＋（舍去）．
答案：
1－
1．已知sin（θ＋π）<0，cos（θ－π）>0，则下列不等关系中必定成立的是
（ ）
A．sinθ<0，cosθ>0 B．sinθ>0，cosθ<0
C．sinθ>0，cosθ>0D．sinθ<0，cosθ<0
解析：
选B sin（θ＋π）<0，∴－sinθ<0，sinθ>0.
∵cos（θ－π）>0，∴－cosθ>0.∴cosθ<0.
2．（2012·广东名校模拟）已知tanx＝2，则sin2x＋1＝
（ ）
A．0B.
C.D.
解析：
选B sin2x＋1＝＝＝.
4．（2013·茂名模拟）已知sin2α＝－，α∈，则sinα＋cosα＝
（ ）
A．－B.
C．－D.
解析：
选B （sinα＋cosα）2＝1＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝，
又α∈，sinα＋cosα>0，
所以sinα＋cosα＝.
5．已知cos＝，且|φ|<，则tanφ＝
（ ）
A．－B.
C．－D.
解析：
选D cos＝sinφ＝，
又|φ|<，则cosφ＝，所以tanφ＝.
6．已知2tanα·sinα＝3，－＜α＜0，则sinα＝
（ ）
A.B．－
C.D．－
解析：
选B 由2tanα·sinα＝3得，＝3，
即2cos2α＋3cosα－2＝0，又－＜α＜0，
解得cosα＝（cosα＝－2舍去），
故sinα＝－.
8．若＝2，则sin（θ－5π）sin＝________.
解析：
由＝2，得sinθ＋cosθ＝2（sinθ－cosθ），两边平方得：
1＋2sinθcosθ＝4（1－2sinθcosθ），
故sinθcosθ＝，
∴sin（θ－5π）sin＝sinθcosθ＝.
答案：
9．（2013·中山模拟）已知cos＝，则sin＝________.
解析：
sin＝sin
＝－sin＝－cos＝－.
答案：
－
10．求值：
sin（－1200°）·cos1290°＋cos（－1020°）·sin（－1050°）＋tan945°.
解：
原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·（－sin1050°）＋tan945°
＝－sin120°·cos210°＋cos300°·（－sin330°）＋tan225°
＝（－sin60°）·（－cos30°）＋cos60°·sin30°＋tan45°
＝×＋×＋1＝2.
11．已知cos（π＋α）＝－，且α是第四象限角，计算：
（1）sin（2π－α）；
（2）（n∈Z）．
解：
∵cos（π＋α）＝－，∴－cosα＝－，cosα＝.
又∵α是第四象限角，
∴sinα＝－＝－.
（1）sin（2π－α）＝sin[2π＋（－α）]＝sin（－α）
＝－sinα＝；
（2）
＝
＝
＝
＝
＝－＝－4.
12．（2012·信阳模拟）已知角α的终边经过点P.
（1）求sinα的值；
（2）求·的值．
解：
（1）∵|OP|＝1，
∴点P在单位圆上．
由正弦函数的定义得sinα＝－.
（2）原式＝·
＝＝，
由余弦函数的定义得cosα＝.故所求式子的值为.
1．（2012·珠海诊断）已知＝－，那么的值是
（ ）
A.B．－
C．2D．－2
解析：
选A 由于·＝＝－1，故＝.
2．若角α的终边上有一点P（－4，a），且sinα·cosα＝，则a的值为
（ ）
A．4B．±4
C．－4或－D.
解析：
选C 依题意可知角α的终边在第三象限，点P（－4，a）在其终边上且sinα·cosα＝易得tanα＝或，则a＝－4或－.
3．已知A、B、C是三角形的内角，sinA，－cosA是方程x2－x＋2a＝0的两根．
（1）求角A；
（2）若＝－3，求tanB.
解：
（1）由已知可得，sinA－cosA＝1.①
又sin2A＋cos2A＝1，
所以sin2A＋（sinA－1）2＝1，
即4sin2A－2sinA＝0，
得sinA＝0（舍去）或sinA＝，
则A＝或，
将A＝或代入①知A＝时不成立，
故A＝.
（2）由＝－3，
得sin2B－sinBcosB－2cos2B＝0，
∵cosB≠0，∴tan2B－tanB－2＝0，
∴tanB＝2或tanB＝－1.
∵tanB＝－1使cos2B－sin2B＝0，舍去，
故tanB＝2.
1．函数y＝tan的定义域是
（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
选D ∵x－≠kπ＋，∴x≠kπ＋，k∈Z.
3．函数y＝|sinx|的一个单调增区间是
（ ）
A. B.
C.D.
解析：
选C 作出函数y＝|sinx|的图象观察可知，函数y＝|sinx|在上递增．
4．比较大小，sin________sin.
解析：
因为y＝sinx在上为增函数且－>－，故sin>sin.
答案：
>
5．（教材习题改编）y＝2－3cos的最大值为________．此时x＝________.
解析：
当cos＝－1时，函数y＝2－3cos取得最大值5，此时x＋＝π＋2kπ，从而x＝π＋2kπ，k∈Z.
答案：
5 π＋2kπ，k∈Z
典题导入
[例1]
（1）（2013·湛江调研）函数y＝lg（sinx）＋的定义域为________．
（2）函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为
（ ）
A．[－1,1] B.
C.D.
[自主解答]
（1）要使函数有意义必须有
即
解得（k∈Z），
∴2kπ∴函数的定义域为
.
（2）y＝sin2x＋sinx－1，令sinx＝t，则有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t＝－及t＝1时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1可得y∈.
[答案]
（1）
（2）C
若本例
（2）中x∈，试求其值域．
解：
令t＝sinx，则t∈[0,1]．
∴y＝t2＋t－1＝2－.
∴y∈[－1,1]．
∴函数的值域为[－1,1]．
1．
（1）函数y＝＋的定义域为________．
（2）（2012·广东考前适应性训练）函数f（x）＝3sin在区间上的值域为
（ ）
A.B.
C.D.
解析：
（1）要使函数有意义
则⇒
利用数轴可得
函数的定义域是
.
（2）当x∈时，2x－∈，sin∈，
故3sin∈即此时函数f（x）的值域是.
答案：
（1）
（2）B
[例2] （2012·华南师大附中模拟）已知函数y＝sin，求：
（1）函数的周期；
（2）求函数在[－π，0]上的单调递减区间．
[自主解答] 由y＝sin可化为y＝－sin.
（1）周期T＝＝＝π.
（2）令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以x∈R时，y＝sin的减区间为
，k∈Z.
从而x∈[－π，0]时，y＝sin的减区间为
，.
由题悟法
以题试法2．
（1）函数y＝|tanx|的增区间为________．
（2）已知函数f（x）＝sinx＋cosx，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是
（ ）
A．aC．b解析：
（1）作出y＝|tanx|的图象，观察图象可知，y＝|tanx|的增区间是，k∈Z.
（2）f（x）＝sinx＋cosx＝2sin，因为函数f（x）在上单调递增，所以f所以c答案：
（1），k∈Z
（2）B
三角函数的周期性与奇偶性
典题导入
3．
（2）（2012·遵义模拟）若函数f（x）＝sinax＋cosax（a>0）的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为
（ ）
A.B．（0,0）
C.D.
解析
（2）选C 由条件得f（x）＝sin，又函数的最小正周期为1，故＝1，∴a＝2π，故f（x）＝sin.将x＝－代入得函数值为0.
1．根据三角函数的单调性求解参数
[典例1] 已知函数f（x）＝sin（ω>0）的单调递增区间为（k∈Z），单调递减区间为（k∈Z），则ω的值为________．
[解析] 由题意，得－＝π，即函数f（x）的周期为π，则ω＝2.
[答案] 2
[题后悟道] 解答此类问题时要注意单调区间的给出方式，如“函数f（x）在（k∈Z）上单调递增”与“函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）”，二者是不相同的．
针对训练
1．（2012·荆州模拟）若函数y＝2cosωx在区间上递减，且有最小值1，则ω的值可以是
（ ）
A．2 B.
C．3D.
解析：
选B 由y＝2cosωx在上是递减的，且有最小值为1，则有f＝1，即2×cos＝1，
即cos＝，检验各选项，得出B项符合．
2．根据三角函数的奇偶性求解参数
[典例2]
[题后悟道] 注意根据三角函数的奇偶性求解参数：
函数y＝Acos（ωx＋φ）＋B（A≠0）为奇函数⇔φ＝kπ＋（k∈Z）且B＝0，若其为偶函数⇔φ＝kπ（k∈Z）．
针对训练
1．函数y＝的定义域为
（ ）
A.
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D．R
解析：
选C ∵cosx－≥0，得cosx≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
2．已知函数f（x）＝sin（x∈R），下面结论错误的是
（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．函数f（x）在区间上是增函数
C．函数f（x）的图象关于直线x＝0对称
D．函数f（x）是奇函数
解析：
选D ∵y＝sin＝－cosx，∴T＝2π，在上是增函数，图象关于y轴对称，为偶函数．
5．已知函数f（x）＝－2sin（2x＋φ）（|φ|<π），若f＝－2，则f（x）的一个单调递减区间是
（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选C 由f＝－2，得f＝－2sin＝－2sin＝－2，所以sin＝1.因为|φ|<π，所以φ＝.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
6．已知函数f（x）＝2sinωx（ω>0）在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于
（ ）
A.B.
C．2D．3
解析：
选B ∵x∈，则ωx∈，要使函数f（x）在上取得最小值－2，则－ω≤－或ω≥，得ω≥，故ω的最小值为.
7．函数y＝cos的单调减区间为________．
解析：
由y＝cos＝cos得
2kπ≤2x－≤2kπ＋π（k∈Z），
故kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z）．
所以函数的单调减区间为（k∈Z）
答案：
（k∈Z）
8．（2012·广州联考）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈时，f（x）＝sinx，则f的值为________．
解析：
f＝f＝f＝sin＝.
答案：
9．如果函数y＝3cos（2x＋φ）的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为________．
解析：
∵y＝cosx的对称中心为（k∈Z），
∴由2×＋φ＝kπ＋（k∈Z），得φ＝kπ－（k∈Z）．
∴当k＝2时，|φ|min＝.
答案：
10．设f（x）＝.
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）的值域及取最大值时x的值．
解：
（1）由1－2sinx≥0，根据正弦函数图象知：
定义域为.
（2）∵－1≤sinx≤1，∴－1≤1－2sinx≤3，
∵1－2sinx≥0，∴0≤1－2sinx≤3，
∴f（x）的值域为[0，]，当x＝2kπ＋，k∈Z时，f（x）取得最大值．
11．（2012·佛山期中）已知函数f（x）＝2sin（π－x）cosx.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
解：
（1）∵f（x）＝2sin（π－x）cosx＝2sinxcosx＝sin2x，
∴函数f（x）的最小正周期为π.
（2）∵－≤x≤，
∴－≤2x≤π，则－≤sin2x≤1.
所以f（x）在区间上的最大值为1，最小值为－.
12．（
2．（2012·温州模拟）已知函数y＝2sin（ωx＋φ）（ω>0）为偶函数（0<φ<π），其图象与直线y＝2某两个交点的横坐标分别为x1，x2，若|x2－x1|的最小值为π，则该函数的一个递增区间可以是
（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选A 由函数为偶函数知φ＝＋kπ（k∈Z），又因为0<φ<π所以φ＝，从而y＝2cosωx.又由条件知函数的最小正周期为π，故ω＝2，因此y＝2cos2x.经验证知A满足条件．
3．设函数f（x）＝sin（ωx＋φ），给出以下四个论断：
①它的最小正周期为π；
②它的图象关于直线x＝成轴对称图形；
③它的图象关于点成中心对称图形；
④在区间上是增函数．
以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________（用序号表示即可）．
答案：
①②⇒③④（或①③⇒②④）
4．已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的最小正周期为π.
（1）求当f（x）为偶函数时φ的值；
（2）若f（x）的图象过点，求f（x）的单调递增区间．
解：
∵由f（x）的最小正周期为π，则T＝＝π，∴ω＝2.
∴f（x）＝sin（2x＋φ）．
（1）当f（x）为偶函数时，f（－x）＝f（x）．
∴sin（2x＋φ）＝sin（－2x＋φ），展开整理得sin2xcosφ＝0，
由已知上式对∀x∈R都成立，
∴cosφ＝0，∵0<φ<，∴φ＝.
（2）f（x）的图象过点时，sin＝，即sin＝.
又∵0<φ<，∴<＋φ<π.
∴＋φ＝，φ＝.
∴f（x）＝sin.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f（x）的递增区间为，k∈Z.
1．函数y＝sin的图象的一条对称轴的方程是
（ ）
A．x＝0 B．x＝
C．x＝πD．x＝2π
解析：
选C 由＝＋kπ得x＝π＋2kπ（k∈Z）．故x＝π是函数y＝sin的一条对称轴．
2．（2012·广东模拟）函数y＝sinsin－coscos在一个周期内的图象是
（ ）
解析：
选A y＝sinsin－coscos＝
－cos.∴T＝＝4π，当x＝－时，
y＝－cos＝0；当x＝0时，
y＝－cos＝－<0.∴A选项正确．
4．（教材习题改编）已知简谐运动f（x）＝2sin的图象经过点（0,1），则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为________．
解析：
最小正周期为T＝＝6；
由2sinφ＝1，得sinφ＝，φ＝.
答案：
T＝6，φ＝
答案：
3
典题导入
[例1] 已知函数f（x）＝3sin，x∈R.
（1）画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；
（2）将函数y＝sinx的图象作怎样的变换可得到f（x）的图象？
[自主解答]
（1）列表取值：
x
π
π
π
π
x－
0
π
π
2π
f（x）
0
3
0
－3
0
描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．
（2）先把y＝sinx的图象向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f（x）的图象．
1．（2012·江西省重点中学联考）把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为
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