最新高考数学解题方法分类讨论思想在解题中的应用优秀名师资料.docx
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最新高考数学解题方法分类讨论思想在解题中的应用优秀名师资料
高考数学解题方法-分类讨论思想在解题中的应用
第6讲分类讨论思想在解题中的应用一、知识整合
1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。
2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
3.分类原则:
分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。
4.分类方法:
明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类;
逐类进行讨论，获取阶段性成果;归纳小结，综合出结论。
5.含参数问题的分类讨论是常见题型。
6.注意简化或避免分类讨论。
二、例题分析
例1.一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为（）
A.B.250xy,,xy，,,70
C.D.xyxy，,,,,70250或xyyx，，,,,70250或
分析:
设该直线在x轴，y轴上的截距均为a,2
当a=0时，直线过原点，此时直线方程为yxxy,,,，即250;
5xy当时，设直线方程为，方程为。
xy，,,70a,015，,,17，则求得a
aa例2（,ABCABC中，已知，，求sincoscos,,
分析:
由于CAB,,，,（）？
,，,,,,coscos（）coscossinsinCABABAB,,
213因此，只要根据已知条件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。
但是由sinA求cosA时，是一解还是两解,这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。
对
52角A进行分类。
12
,？
0,,,cosBBABC，且为的一个内角,解:
？
,,4590BB，且sin13
13,若为锐角，由，得，此时AAAAsincos,,,30132
221
1,,若为钝角，由，得，此时AAAABsin,,，,1501802
这与三角形的内角和为180?
相矛盾。
可见A,150
？
,，,,，coscos（）cos（）CABAB,,,，，351121253,
,,,,coscossinsinABAB,,,,,,,,,,
2132132622，，例3.已知圆x+y=4，求经过点P（2，4），且与圆相切的直线方程。
分析:
容易想到设出直线的点斜式方程y-4=k（x-2）再利用直线与圆相切的充要条件:
“圆心到切线的距离等于圆的半径”，待定斜率k，从而得到所求直线方程，但要注意到:
过点P的直线中，有斜率不存在的情形，这种情形的直线是否也满足题意呢,
1因此本题对过点P的直线分两种情形:
（1）斜率存在时，„
（2）斜率不存在„
解（略）:
所求直线方程为3x-4y+10=0或x=21,,1
例4.解关于的不等式:
xlog（）ax
分析:
解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式。
而对数函数的单调性因底数a的取值不同而不同，故需对a进行分类11
讨论。
1,解:
若，则原不等式等价于a>11,,,a,,x0
1,,0
1,x
x1,a若，则原不等式等价于01,,a,,,1x,1,,11,a
1,,a综上所述，当时，原不等式的解集为;ax,1,,x0,1,,,,x,
当时，原不等式的解集为011,,,,axx1,a,,
,
2例5.解不等式54,,,xxx1,a,,分析:
解无理不等式，需要将两边平方后去根号，以化为有理不等式，而根据不等式的性质可知，只有在不等式两边同时为正时，才不改变不等号方向，因此应根据x,0,
运算需求分类讨论，对x分类。
x,0,,
2原不等式等价于或540,,,xx解:
,
2540,,,xx,,22254,,,xxx,
x,0
x,0,,
,,,51x或,,
,,51x,,
1414,,,,,,，1x114,1422,
,,,，,,,01xx或50,,,,,，51x,,142,,2
？
,,,，原不等式的解集为xx51,,
22,,例6.解关于的不等式:
xaxax,，，,（）110,,
分析:
这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗,不一定，故首先对二次项系数a分类:
（1）a?
0
（2）a=0，对于
（2），不等式易解;对于
（1），又需再次分类:
a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的;不等式的解是在两
1根之外，还是在两根之间。
而确定这一点之后，又会遇到1与谁大谁小的问题，因a
而又需作一次分类讨论。
故而解题时，需要作三级分类。
1解:
（）当时，原不等式化为10101axx,,，,？
（）当时，原不等式化为201aaxx,,,,（）（）01
?
若，则原不等式化为axx,,,,01（）（）0a111
？
？
01？
,不等式解为或xx11a
aaa
?
若，则原不等式化为axx,,,,01（）（）011
（）当时，，不等式解为ia,,,,11x1a1
（）iia当时，，不等式解为,,,,11xaa
11a（）iiia当时，，不等式解为01,,,,,11xaa
综上所述，得原不等式的解集为1,,
当时，解集为axx,,01|;;当时，解集为或axx,,,0x1,,,,
a,,
3
1,,;;当时，解集为a,,1当时，解集为011,,,,axx,,a,,1,,
。
当时，解集为ax,,,1x1,,
a,,SS例7.已知等比数列的前n项之和为，前n+1项之和为，公比q>0，令nn，1
Snn。
T,，求limTnn，1n,,Snaq（）1,1分析:
对于等比数列的前n项和S的计算，需根据q是否为1分为两种情形:
n
当时，;当时，q=1SnaqS,,,1nn1
n另外，由于当时，，而已知条件中||limq,100qq,,1,q
故还需对q再次分类讨论。
nn，n1
n,,1解:
当时，，qSnaSna,,,，11（）？
limlimT,,nnn111，aq1,aq1,1nn,,n,,S,qn，n（）（）111，当时，，qS,,1S,？
,Tnn，nn1，S,qn111当时，;01lim1,,,qTn1,q1,qn,,
11,n1q当时，qT,,,1limlimnnn,,,,1q,q101,,,nq，（）q
1,综上所述，知limTn,,,1n，（）q，,,14xy,
22,例8.设，问方程表示什么曲线,kRkxkykk,,，,,,,（）（）（）（）8484q
22
容易想到把方程变形为，但这种变形需要，且k分析:
48,
kkkk,,,,,,，,848，而且与的正负会引起曲线类型的不同，因此对，（）要进行分类:
，，，，，，，，又注意到kkkkk,,,,,,,，,（）（）（）444888
kkkkkkkk,,,,,,,,,,,480484080与且表示的曲线是不一样的，因此（）还应有一个“分界点”，即，故恰当的分类为，，，，，，k,,,644466（）（）
（，），，（，）6888，,
2解:
（1）当k=4时，方程变为4x=0，即x=0，表示直线;
2
（2）当k=8时，方程变为4y=0，即y=0，表示直线;
4
xy
22
（）当且时，原方程变为348kk,,，,1
（i）当k<4时，方程表示双曲线;（ii）当4k,48,k（iii）当k=6时，方程表示圆;（iv）当6（v）当k>8时，方程表示双曲线。
例9.某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工，钳工各3人，问有多少种选派方案,
3分析:
如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有C种选法，但此时不清楚选出的6
钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选。
同样，如果先22考虑车工也会遇到同样的问题。
因此需对全能工人进行分类:
（1）选出的6人中不含全能工人;
（2）选出的6人中含有一名全能工人;（3）选
33212212出的6人中含2名全能工人;（4）选出的6人中含有3名全能工人。
3312321333
解:
CCCCCCCCCCCCCCCCP,，,,，,,，,,，,,，,,43
，，，,,，,,,CCCCCCC30934343334
或:
CCCCCCCCCC,，,,，,,，,,3093733633534
三、总结提炼
分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。
但可以在解题时不断地总结经验。
如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立。
这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。
常见的“个别”情形略举以下几例:
22
（1）“方程有实数解”转化为时忽略了了个别情axbxc，，,0“”,,,,bac40
形:
当a=0时，方程有解不能转化为?
?
0;
naq
（1）,n,11S,aq
（2）等比数列的前项和公式中有个别情形:
时，公nq,1,,n11,q
式不再成立，而是S=na。
n1
设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但有个别情形:
当直线与x轴垂直（3）
时，直线无斜率，应另行考虑。
xy，,1，（4）若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为，但有个别情形:
a=0aa
时，再不能如此设，应另行考虑。
四、强化练习:
见优化设计。
5
【模拟试题】
一.选择题:
321.若的大小关系aapaaqaapq,,,，，,，，0111，且，，，则、log（）log（）aa
为（）
A.pq,B.pq,
apq,,1时，01,,,apq时，C.pq,D.;
2，AxxpxxR,，，，,,|（）210，AR:
,2.若，且，则实数中的取值范围是,,
6
（）
A.B.p,,2p,,2
C.D.p,2p,,4
3.设A=（）xxaBxaxABBa||,,,,,,010，，且，则实数的值为:
,,,
A.1B.,1C.D.11或,110，或,
2364.设的值为（）,,,,,是的次方根，则„,,,，，，，，
A.1B.0C.7D.0或7
5.一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为（）
A.xy，,,70
B.250xy,,
C.xyxy，,,,,70250或
D.xyyx，，,,,70250或
nn6.若（）sincossincos（）xxxxnN，,，,1，则的值为
1A.1B.C.D.不能确定11或,
7.已知圆锥的母线为l，轴截面顶角为，则过此圆锥的顶点的截面面积的最大值,
为（）
1122A.l,sin,B.l22
2C.D.以上均不对lsin,
28.函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则fxmxmx（）（）,，,，31
实数m的取值范围为（）
A.0，，,B.,,，1，，,,
01，C.D.（，）01，,
二.填空题
9.若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积是______________。
2log10.若，则a的取值范围为________________。
1a3
2211.与圆xy，,,（）21相切，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________。
12.在50件产品中有4件是次品，从中任抽取5件，至少有3件次品的抽法共有______________种（用数字作答）
7
13.不等式的解集为_____________。
322101loglog（）xxaa,,,,,且aa
三.解答题:
14.已知椭圆的中心在原点，集点在坐标轴上，焦距为，另一双曲线与此椭圆23
有公共焦点，且其实轴比椭圆的长轴小8，两曲线的离心率之比为3:
7，求此椭圆、双曲线的方程。
2215.设a>0且，试求使方程有解的k的取值范围。
a,1log（）log（）xakxa,,,2aa
8
【试题答案】
一.选择题
1.C2.D3.D4.D5.C6.A7.D
8.B
32提示:
1.欲比较p、q的大小，只需先比较的大小，再利用aaaa，，，，11与
32对数函数的单调性。
而决定的大小的a值的分界点为使aaaa，，，，11与
3（）aa，，,1
22的a值:
a=1，（）（）aaaa，，,,,110
3232当a>1时，此时aaaa，，,，，11，log（）log（）aaaa，，,，，11，aa
即pq,.
3232当即011111,,，，,，，，，,，，aaaaaaaaa时，，此时log（）log（）aa
。
pq,
可见，不论a>1还是0q。
,02，,2.若，即A,,,,，,,,,,,,（）ppAR24040，时，;:
，若A,,，则时，,,,,pAR0:
p，2,
,0，,可见当都有AR:
,，故选（D）,,,,400pp或时，
2,3.若BABBa,,,,，则，此时:
01,,
11？
B，由知ABBBA:
,若，则，a,0B,,,,
a,,？
？
,,,,,A，，解得或，故，或aaa011011
71,,74.由是1的7次方根，可得,,1;显然，1是1的7次方根，故可能;,,,1
aa26若，则,,,,,，，，，,11，则„，若,,01,
26111117，，，，,，，，，,,,,„„
1,,故选（D）
5.设该直线在x轴，y轴上的截距均为a,2
yxxy,,,，即250当a=0时，直线过原点，此时直线方程为;
5xy当时，设直线方程为，方程为xy，,,70a,0
，,,17，则求得a
aa9
26.由sincos（sincos）sincosxxxxxx，,，,,,110，得，即
当时，;当时，，sincoscossinxxxx,,,,0101
nn于是总有，故选（A）sincosxx，,1
12,7.当时，最大截面就是轴截面，其面积为;lsin,,,902
1,2,当时，最大截面是两母线夹角为90的截面，其面积为l,,902
1122可见，最大截面积为，故选（D）ll或sin,1
22
m,08.当时，满足题意fxxx（）,,，31，其图象与轴交点为（，）0
当时，再分，两种情形，由题意得mmm,,,000
3
m,0m,0,
或解得或,,
12,0010,,,mm1,,
xx,,0,,m,3m,m,1综上可知，mmm,,,,0001或或，,,,0
故选（B）2m,
二.填空题
849.或,,
282（提示:
若长为4的边作为圆柱底面圆周的展开图，，则;若V,，,,,）柱2
,
142长为2的边作为圆柱底面圆周的展开图，则V,，,,,））柱4
,2
10.0,,,aa或1
3
011,,,aa与（提示:
对a分:
两种情况讨论）
11.yxyxxyxy,,,，,，,，,,,33220220或或或（）（）
（提示:
分截距相等均不为0与截距相等均为0两种情形）
12.4186种
（提示:
对抽取5件产品中的次品分类讨论:
（1）抽取的5件产品中恰好有3件3241次品;
（2）抽取的5件产品中恰好有4件次品，于是列式如下:
CCCC,，,=4140+46446446
10
=4186）
,23,,
13.若a,1，则解集为xaxaxa,,,或,,34
,,,,,,,32
若01,,a，则解集为xaxaxa,,,,或0,,43
,,,（提示:
设logxttt,,,,，则原不等式可简化为3221a
2323解之得或，即或loglogaa
23,,,,,,ttxx11
对a分类:
a,1时，axaxa,,,或;3423
）010,,,,,,aaxaxa时，或3434
34
三.解答题
14.解:
（1）若椭圆与双曲线的焦点在x轴上，可设它们方程分别为
2222xyxy，依题意，,,,,,,,10100（），，（''）
abab,cc,,'13,''a,7,,222abc,，,,2222b,6,,abab222acb''',,,,,a',3,,282aa'，,,,b',2,cc',,37:
:
aa',
2222xyxy？
，,,,11两曲线方程分别为，493694
22yx,,,,10（）
（2）若焦点在y轴上，则可设椭圆方程为ab
2222abyx,,,,100（''），双曲线方程为，依题意有
ab
''22ab
11
cc,,'13,
a,7,,222cab,,,,b,6,,222cab',，,,,a',3,,282aa'，,,,b',2,cc',,37:
:
yxyx11,aa',
2222
？
，,,,椭圆方程为，双曲线方程为493694
222215.解:
原方程可化为log（）logxakxaxakxa,,,,,,,aa
2222令fxxakgxxaxakxa（）（）（）,,,,,,,,，且00
则对原方程的解的研究，可转化为对函数图象的交点的研究fxgx（）（）、
下图画出了gx（）的图象，由图象可看出
y
g（x）f（x）
g（x）
a
AAx12
-aOa
-a
（1）当直线fxxakAaAa（）（）（）,,,过点，，，00时，与双曲线无交点，此时12
k,,1k,,1即当时，原方程无解;
（2）当直线fxxakOfx（）（）,,过原点（，）时，00图象与双曲线渐近线重合，
显然直线与双曲线无交点，即当k=0时，原方程无解;
01,,k（3）当直线fxxak（）,,的纵截距满足,,,,,,aakaka0或，即
或k,,31时，直线与双曲线总有交点，原方程有解。
综上所述，当k,,,,（），（，）时，原方程有解。
101:
12
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