学年人教版八年级数学上册等腰三角形的性质练习含答案.docx

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学年人教版八年级数学上册等腰三角形的性质练习含答案

等腰三角形的性质

一、选择题

1．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于

AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（　　）

A．AB平分∠CADB．CD平分∠ACBC．AB⊥CDD．AB＝CD

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝（　　）

A．40°B．50°C．60°D．70°

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（　　）

A．50°B．40°C．30°D．20°

4．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（　　）

A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，BD＝BE，∠A＝100°，则∠DEC＝（　　）

A．90°B．100°C．105°D．110°

6．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（　　）

A．10B．5C．4D．3

7．如图，将一张长方形纸按图中虚线AD对折，再沿直线l剪开，再把它展开后得到△ABC，则下列结论错误的是（　　）

A．AD⊥BCB．BD＝CDC．∠B＝∠CD．AB＝CB

8．如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是（　　）

A．25°B．20°C．30°D．15°

9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝（　　）

A．40°B．50°C．60°D．80°

10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，它的顶角为（　　）

A．30°B．60°C．120°D．60°或120°

二、非选择题

11．已知：

如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝　　度．

12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．

（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；

（2）求证：

FB＝FE．

13．问题：

如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．

答案：

∠DAC＝45°．

思考：

（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？

说明理由．

（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．

14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．

（1）当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？

请加以证明．

（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？

请加以证明．

（3）若点D在底边BC的延长线上，

（2）中的结论还成立吗？

若不成立，又存在怎样的关系？

请说明理由．

15．如图，∠ACB＝90°，D、E在AB上，AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．

参考答案与试题解析

一、选择题

1．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于

AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（　　）

A．AB平分∠CADB．CD平分∠ACBC．AB⊥CDD．AB＝CD

【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：

菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案．

【解答】解：

由作图知AC＝AD＝BC＝BD，

∴四边形ACBD是菱形，

∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，

不能判断AB＝CD，

故选：

D．

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝（　　）

A．40°B．50°C．60°D．70°

【分析】根据等腰三角形的性质可求∠ACB，再根据平行线的性质可求∠BCD．

【解答】解：

∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，

∴∠ACB＝70°，

∵CD∥AB，

∴∠ACD＝180°﹣∠A＝140°，

∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝70°．

故选：

D．

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（　　）

A．50°B．40°C．30°D．20°

【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，

∴∠B＝40°，

∵BC＝BD，

∴∠BCD＝∠BDC＝

（180°﹣40°）＝70°，

∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，

故选：

D．

4．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（　　）

A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°

【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．

【解答】解：

①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，

②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2＝20°，

综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．

故选：

B．

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，BD＝BE，∠A＝100°，则∠DEC＝（　　）

A．90°B．100°C．105°D．110°

【分析】由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，根据等边对等角的性质，可求得∠ABC的度数，又由BD平分∠ABC，即可求得∠DBE的度数，又由等边对等角的性质，可求得∠BED的度数，根据平角的定义就可求出∠DEC的度数．

【解答】解：

∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，

∴∠ABC＝∠C＝40°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBE＝

∠ABC＝20°，

∴∠BDE＝∠BED＝80°，

∴∠DEC＝100°．

故选：

B．

6．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（　　）

A．10B．5C．4D．3

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．

【解答】解：

∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，

∴CD＝5．

故选：

B．

7．如图，将一张长方形纸按图中虚线AD对折，再沿直线l剪开，再把它展开后得到△ABC，则下列结论错误的是（　　）

A．AD⊥BCB．BD＝CDC．∠B＝∠CD．AB＝CB

【分析】由图中操作可知：

AD所在直线是△ABC的对称轴，即可得出结论．

【解答】解：

由图中操作可知：

AD所在直线是△ABC的对称轴，

∴AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，AB＝AC，

∴A，B，C正确，D错误，

故选：

D．

8．如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是（　　）

A．25°B．20°C．30°D．15°

【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC，再根据垂直平分线的性质求出∠ABD，从而可得结果．

【解答】解：

∵AB＝AC，∠C＝∠ABC＝65°，

∴∠A＝180°﹣65°×2＝50°，

∵MN垂直平分AB，

∴AD＝BD，

∴∠A＝∠ABD＝50°，

∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°，

故选：

D．

9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝（　　）

A．40°B．50°C．60°D．80°

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，求得∠C＝40°，然后根据直角三角形两锐角互余，即可求得∠D＝50°．

【解答】解：

∵AB＝AC，∠BAC＝100°，

∴∠C＝∠B＝40°，

∵DE⊥BC于点E，

∴∠D＝90°﹣∠C＝50°，

故选：

B．

10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，它的顶角为（　　）

A．30°B．60°C．120°D．60°或120°

【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而可分两种情况进行讨论．

【解答】解：

分两种情况：

①当高在三角形内部时（如图1），

∵∠ABD＝30°，∴顶角∠A＝90°﹣30°＝60°；

②当高在三角形外部时（如图2），

∵∠ABD＝30°，∴顶角∠CAB＝90°+30°＝120°．

故选：

D．

二、非选择题

11．已知：

如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝　40　度．

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．

【解答】解：

∵AD＝DC，

∴∠DAC＝∠C＝35°，

∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝70°．

∵AB＝AD，

∴∠B＝∠ADB＝70°，

∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．

故答案为：

40．

12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．

（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；

（2）求证：

FB＝FE．

【分析】

（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．

（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．

【解答】

（1）解：

∵AB＝AC，

∴∠C＝∠ABC，

∵∠C＝36°，

∴∠ABC＝36°，

∵BD＝CD，AB＝AC，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB＝90°，

∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．

（2）证明：

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE＝

∠ABC，

∵EF∥BC，

∴∠FEB＝∠CBE，

∴∠FBE＝∠FEB，

∴FB＝FE．

13．问题：

如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．

答案：

∠DAC＝45°．

思考：

（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？

说明理由．

（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．

【分析】

（1）根据三角形外角的性质得到∠AED＝2∠C，①求得∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到结论；

（2）设∠ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：

（1）∠DAC的度数不会改变；

∵EA＝EC，

∴∠EAC＝∠C，①，

∵BA＝BD，

∴∠BAD＝∠BDA，

∵∠BAE＝90°，

∴∠B＝90°﹣∠AED＝90°﹣2∠C，

∴∠BAD＝

（180°﹣∠B）＝

[180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C，

∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②

由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°﹣∠C+∠C＝45°；

（2）设∠ABC＝m°，

则∠BAD＝

（180°﹣m°）＝90°﹣

m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，

∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+

m°，

∵EA＝EC，

∴∠CAE＝

AEB＝90°﹣

n°﹣

m°，

∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+

m°+90°﹣

n°﹣

m°＝

n°．

14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．

（1）当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？

请加以证明．

（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？

请加以证明．

（3）若点D在底边BC的延长线上，

（2）中的结论还成立吗？

若不成立，又存在怎样的关系？

请说明理由．

【分析】

（1）当点D在BC的中点时，DE＝DF，根据AAS证△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质推出即可；

（2）连接AD，根据三角形ABC的面积＝三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；

（3）类似

（2）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积＝三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．

【解答】

（1）解：

当点D在BC的中点时，DE＝DF．

理由：

如图1中，连接AD．

∵D为BC的中点，

∴BD＝CD．

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠DEB＝∠DFC＝90°．

在△BED和△CFD中，

，

∴△BED≌△CFD（AAS），

∴DE＝DF．

（2）解：

DE+DF＝CG．证明如下：

如图2，连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACD，

即

AB•CG＝

AB•DE+

AC•DF．

∵AB＝AC，

∴DE+DF＝CG．

（3）解：

当点D在BC的延长线上时，

（2）中的结论不成立，但有DE﹣DF＝CG．理由如下：

如图3，延长BC至点D，连接AD，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F，

则S△ABD＝S△ABC+S△ACD，

即

AB•DE＝

AB•CG+

AC•DF．

∵AB＝AC，

∴DE＝CG+DF，即DE﹣DF＝CG．

15．如图，∠ACB＝90°，D、E在AB上，AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．

【分析】由AD＝AC，BC＝BE，根据等边对等角得出∠ACD＝∠ADC，∠BEC＝∠ECB，再利用三角形内角和定理得出∠A＝180°﹣2∠ADC，∠B＝180°﹣2∠DEC，而∠A+∠B＝90°，那么求出∠ADC+∠DEC＝135°，则∠DCE＝180°﹣（∠ADC+∠DEC）＝180°﹣135°＝45°．

【解答】解：

∵AD＝AC，

∴∠ADC＝∠ACD．

∵BE＝BC，

∴∠BEC＝∠ECB．

∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠B＝90°．

在△ACD中，∠A＝180°﹣2∠ADC，

在△BCE中，∠B＝180°﹣2∠DEC，

∴∠A+∠B＝180°﹣2∠ADC+180°﹣2∠DEC＝90°．

∴360°﹣2（∠ADC+∠DEC）＝90°．

∴∠ADC+∠DEC＝135°．

∴∠DCE＝180°﹣（∠ADC+∠DEC）＝180°﹣135°＝45°．