学用杯数学竞赛卷及答案.docx

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学用杯数学竞赛卷及答案

学用杯数学竞赛卷及答案．

2013年长沙市中学数学“学用杯”应用与创新能力大赛

八年级决赛试题

（2013年3月17日9:

30---11:

30时量：

120分钟满分：

150分）

一、选择题（本题有10小题，每小题5分，共50分）

（请将惟一正确的选项代号填在下面的答题卡内）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

8）（x?

1）（x?

的值为零，则1．已知式子的值为x

|x?

1|（）

A、8或-1B、8C、-1D、1

2．若，那么的值一定是（））a）（1?

（a1?

a01?

?

a?

A、正数B、非负数C、负数D、正负数不能确定

，3．定义：

，例如，）2（?

3,）,）,（））?

m（）,（gmn?

?

n,（fab?

ba（f23版）21版（共2八年级决赛试题·第

g（?

1,?

4）），则等于（））5,6g（f（?

）?

（1,4、DA、B、C、）5（65（?

?

6）5（?

6,）,?

）6（?

5,等则，4．已知且，22210?

c?

ab?

5?

bac?

?

cbc?

ab?

ab?

于（）、C、B100A、10550

D、75．有面额为壹元、贰元、伍元的人民币共5元的护10张，欲用来购买一盏价值为18眼灯，要求三种面额都用上，则不同的付）款方式有（

、C7A、8种B、种、3种4种D已知一个直角三角形的两直角边上的中线6．

，那么这个三角形的斜5和长分别为102（）

边长为B、C、A、1010413、D132，ACB=90°AC7．如图，在△ABC中，=BC，∠AD⊥AD平分∠BAC，BE

，垂足的延长线于点交FAC为E，则下面结论：

③=AF；BF；①②BFAD?

；AB?

?

ACCD⑤；④AD=2BE．CF?

BE）其中正确的个数是（、2C、4A、B3、D1

版）21版（共3八年级决赛试题·第

，B经过不同三点A，8．如果一直线）b（a,b）,a（l），那么直线C经过（）aa（?

b,b?

l、BA、第二、四象限第一、三象限、DC、第二、三、四象限第一、三、四象限这三个数作为三角，，9．能使m201?

?

52m?

4m）形三边长的整数共有（mC、6个18个B、12个A、AD、2个10．如图，在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的DE中线，并且BD⊥CE，BD＝4，CE=6，那么△ABC的CB面积等于（）

A、12B、14C、16D、18二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）的平方11．已知，则2b）（ac0?

b?

2c?

（b?

4）?

a?

?

|a2|.根是

，和、、满足．若12ca2001c?

4a?

10b?

a3?

7b?

c?

1ba?

b?

c的值为．则分式ba?

313．方程的解为.5?

2x1x|?

|?

|?

|14．甲，乙，丙三管齐开，12分钟可注满全池；乙，丙、丁三管齐开，15分钟可注满全池；甲、丁两管齐开，20分钟注满全池．如果四管齐开，需要分钟可以注满全池．

版）21版（共4八年级决赛试题·第

（成次体育测试中的成绩甲、乙两人在515．分）如下表：

绩为整数，满分为100第1第2第3第4第5

次

次

次

次

次

甲

90

88

87

93

92

乙其中乙的第

84

875次成绩的个位数字被

85

98

9

污损，则乙的平均成绩高于甲的平均成绩的概率是.

16．从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则B

这个等边三角形的边长为．M．17．代数式的最小值是22153?

?

4?

x?

24xx、=90°，MRt△ABC中，∠BAC18．如图，在NBC

N是，如果=NC边上的两点，且BM=MNAC，=3AM=4，AN．则MN=

分，小题，每小题15（本大题共三、解答题4共60分）

19、今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了2和B种板材种板材48000mA生产2的任务.

24000m⑴如果该厂安排210人生产这两2m60每人每天能生产种板材，A种板材版）21版（共5八年级决赛试题·第

2应分别安排多请问：

m，或B种板材40种板材，才能确种板材和BA少人生产保同时完成各自的生产任务？

某灾民安置点计划用该厂生产⑵

的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房间，已知建设一间甲型板房和一共400间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示：

种板材BA种板材安置人数板房22m）（m）（12

61108甲型

问1051156乙型这400间板房最多能安置多少灾民？

版）21版（共6八年级决赛试题·第

20、小明家今年种植的樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，小明对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量（单位：

千克）与上市时y间（单位：

天）的函数关系如图1所示，x樱桃价格（单位：

元/千克）与上市时z间（单位：

天）的函数关系如图2所示.

x

⑴观察图象，直接写出日销售量的最大值；

⑵求小明家樱桃的日销售量与上y市时间的函数解析式；x⑶试比较第10天与第12天的销售版）21版（共7八年级决赛试题·第

金额哪天多？

版）21版（共8八年级决赛试题·第

21、如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．

⑴求证：

四边形AECF为平行四边形；

⑵当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB:

AE的值．

版）21版（共9八年级决赛试题·第

版）21版（共10八年级决赛试题·第

22、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，、FE2.上，AP=点BC=6，点P在AB、PB以每P出发，分别沿PA同时从点、B匀速个单位长度的速度向点A秒1运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停、F运动过.也随之停止在点EE止，点版）21版（共11八年级决赛试题·第

，使EFGHEF为边作正方形程中，以、FE的同侧，它与△ABC在线段AB设EFGH，正方形t秒（t＞0）运动的时间为.与△ABC重叠部分面积为S的边长EFGH当t=1时，正方形⑴是；当t=3时，正方形EFGH的边长是；

⑵当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；

⑶在整个运动过程中，当t为何值．．．．．．．时S最大？

最大面积是多少？

版）21版（共12八年级决赛试题·第

2013年长沙市中学数学“学用杯”应用与创新能力大赛

八年级决赛试题参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题12345678910

号版）21版（共13八年级决赛试题·第

答C

ADCACBDBB案分，8小题，每小题二、填空题（本大题共540分）共13999．1311．；12．；?

?

3x?

2000410；14．或；2?

x?

3；．1615．.3610．．13；18．175分，15小题，每小题三、解答题（本大题共4分）共60A种板材，则有设有人生产19、解：

⑴x板材，根据题意列方程：

人生产-）B（210x2400048000……………………………?

）x60x40（210?

3………………………………………………分6=8（210-）xx…………………………………=120.x分……………………………………4版）21版（共14八年级决赛试题·第

经检验=120是原方程的x解．10-=210-120=90.……………x…………………………6分

⑵设生产甲型板房间，则生产乙型板房为m（400-）间．根据题意得：

m108m?

156（400?

m）?

48000?

………………………?

24000）?

51（400?

m61m?

?

分9…………………………………………得：

解．…………………………………360300?

m?

………………………………………11分

设400间板房能居住的人数为W．则W=12+10（400-m）mW=2+4000.………………13分m=360∵k当时∴=2>0,

，m．…………………………（人）W=2?

360+4000=4720最大值………15分

20、解⑴：

120千克；…………………………………………………………………………2分

版）21版（共15八年级决赛试题·第

⑵当0≤≤12时，函数图象过原点和（12,120）x两点，设日销售量y与上市时间的函数解析x式为=k,由待定系数法得，yx120=12k,∴k=10,即日销售量与上市时间yx的函数解析式为=10；……………………5分yx当12≤≤20时，函数图象过（20,0）和（12,120）x两点，设日销售量与上市时间的函数解析yx式为=k+b,由待定系数法得，,解得120?

?

b12k?

yx?

20k?

b?

0?

，15-k?

?

?

300b?

?

即日销售量与上市时间的函数解析式为yx=-15+300；………………………………yx……8分

⑶由函数图象2可得，第10天和第12天在第5天和第15天之间，当5＜≤15时，直线x过（5,32），（15,12）两点，设樱桃价格与上z市时间的函数解析式为z=k+b,由待定系数xx与上法得，，解得，即樱桃价格325k?

?

b-2k?

?

?

z?

?

b?

4215k?

b?

12?

?

版）21版（共16八年级决赛试题·第

市时间的函数解析式为x=-2+42，……………………12分xz∴当=10时，日销售量=100千克，樱桃价yx格=22元，销售金额为22×100=2200元；z当=12时，日销售量=120千克，樱桃价格yx=18元，销售金额为18×120=2160元；z∵2200＞2160，∴第10天的销售金额多.………………………………………………………15分

21、解答：

⑴证明：

∵AE⊥BC，∴∠AMB=90°，

∵CN⊥AD，∴∠CNA=90°，

又∵BC∥AD，∴∠BCN=90°，∴AE∥CF，

………………………………………………3分

又由平行得∠ADE=∠CBD,AD=BC.

所以△ADE≌△BCF，∴AE=CF.……………………………………………………5分

版）21版（共17八年级决赛试题·第

∵AE∥CF，AE=CF，∴四边形AECF为平行四边形.……………………………………7分

⑵当平行四边形AECF为菱形时，连结AC交BF于点O，则AC与EF互相垂直平分，

又OB=OD,∴AC与BD互相垂直平分，…………………………………………………8分

∴四边形ABCD为菱形，∴AB=BC.…………………………………………………9分

∵M是BC的中点，AM⊥BC，∴10.AB=AC…≌△CAM，∴△ABM分角边三△ABC为等∴………………………………………形，

分……11.，∠∴∠ABC=60°CBD=30°

CF:

BC=得易BCF中，求△在RT

版）21版（共18八年级决赛试题·第

313,………………………………分3又所AB=BC,

以AE=CF,

15………………………………:

AE=.AB3分

；222、解：

⑴………………………………………6；

…………2分6的函时（如图），tS与当⑵0＜t≤C11数关系式是：

GH22t=

（2）=4t；S=ABPEFSEFGH矩形3分…………

66与t的函数关系式是：

＜当t≤时（如图），S511SS=-

△HMN

SEFGH矩形22134）]（2=4t-××[2t--t432225311t+t=-；?

2224……………5分

版）21版（共19八年级决赛试题·第

6的函数关t与≤2S当时（如图），＜t

5系式是：

-=S231（2+tS×S=）△△AQEARF42-213分.……………7=×（2-t）3t42⑶由⑵知：

66最大，其最大值S时若0＜t≤，则当t=1111144S=分；……8121666最大，其最大值时St＜≤t=，则当若551118分；……S=956最大，其最大值时S，则当若＜t≤2t=25106.S=…………分的正方形沿当时则相当于一个边长为42

333分……S=10.11

版）21版（共20八年级决赛试题·第

3101125，则当t＝≤5时，5时，其若＜t2?

ts?

?

t?

362833512分……最大值S=.

24143731252522时，，则当t若5＜t≤时，＝2?

?

tt?

s?

25366241102分.……其最大值S=13

7522202222其t则当＝时，若＜t≤8时，，2?

?

t?

ts?

333331014分…….S=最大值12

27

143最大，最大面积是t=综上所述，当S时

251102分15.…………………………………

75

版）21版（共21八年级决赛试题·第