概率统计实验复习过程.docx
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概率统计实验复习过程
§13.6概率统计实验
[学习目标]
1．会用Mathematica求概率、均值与方差；
2．能进行常用分布的计算；
3．会用Mathematica进行期望和方差的区间估计；
4．会用Mathematica进行回归分析。
概率统计是最需要使用计算机的领域，过去依靠计算器进行统计计算，由于计算机的普及得以升级换代。
本节介绍Mathematica自带的统计程序包，其中有实现常用统计计算的各种外部函数。
一、样本的数字特征
1.一元的情况
Mathematica的内部没有数理统计方面的功能，但是带有功能强大的数理统计外部程序，由多个程序文件组成。
它们在标准扩展程序包集的Statistic程序包子集中，位于目录
D：
\Mathematica\4.0\AddOns\StandardPackages\Statistics
下。
通过查看Help，可以找到包含所需外部函数的程序文件名。
在程序文件DescriptiveStatistics.m中，含有实现一元数理统计基本计算的函数，常用的有：
SampleRange[data]求表data中数据的极差（最大数减最小数）。
Median[data]求中值。
Mean[data]求平均值
。
Variance[data]求方差（无偏估计）
。
StandardDeviation[data]求标准差（无偏估计）
。
VarianceMLE[data]求方差
。
StandardDeviationMLE[data]求标准差
。
实际上程序文件中的函数很多，这里只列出了最常用的函数，其它计算函数可以通过Help浏览。
例1给出一组样本值：
6.5，3.8，6.6，5.7，6.0，6.4，5.3，计算样本个数、最大值、最小值、均值、方差、标准差等。
解：
In[1]：
=<In[2]：
=data={6.5，3.8，6.6，5.7，6.0，6.4，5.3}；
In[3]：
=Length[data]
Out[3]=7
In[4]：
=Min[data]
Out[4]=3.8
In[5]：
=Max[data]
Out[5]=6.6
In[6]：
=SampleRange[data]
Out[6]=2.8
In[7]：
=Median[data]
Out[7]=6.
In[8]：
=Mean[data]
Out[8]=5.75714
In[9]：
=Variance[data]
Out[9]=0.962857
In[10]：
=StandardDeviation[data]
Out[10]=0.981253
In[11]：
=VarianceMLE[data]
Out[11]=0.825306
In[12]：
=StandardDeviationMLE[data]
Out[12]=0.908464
说明：
在上例中，In[1]首先调入程序文件，求数据个数、最大值和最小值使用内部函数。
2.多元的情况
在程序文件MultiDescriptiveStatistics.m中，含有实现多元数理统计基本计算的函数，常用的有：
SampleRange[data]求表data中数据的极差。
Median[data]求中值。
Mean[data]求平均值。
Variance[data]求方差（无偏估计）。
StandardDeviation[data]求标准差（无偏估计）。
VarianceMLE[data]求方差。
StandardDeviationMLE[data]求标准差。
Covariance[xlist，ylist]求x，y的协方差（无偏估计）
。
CovarianceMLE[xlist，ylist]求x，y的协方差
。
Correlation[xlist，ylist]求x，y的相关系数
。
实际上程序文件中的函数很多，这里只列出了最常用的函数，其它计算函数可以通过Help浏览。
例2给出4个样本值：
{1.1，2.0，3.2}，{1.3，2.2，3.1}，{1.15，2.05，3.35}，{1.22，2.31，3.33}，计算样本个数、均值、方差、标准差等。
解：
In[1]：
=<In[2]：
=data={{1.1，2.0，3.2}，{1.3，2.2，3.1}，
{1.15，2.05，3.35}，{1.22，2.31，3.33}}；
Length[data]
Out[3]=4
In[4]：
=SampleRange[data]
Out[4]={0.2，0.31，0.25}
In[5]：
=Median[data]
Out[5]={1.185，2.125，3.265}
In[6]：
=Mean[data]
Out[6]={1.1925，2.14，3.245}
In[7]：
=Variance[data]
Out[7]={0.00755833，0.0200667，0.0137667}
In[8]：
=VarianceMLE[data]
Out[8]={0.00566875，0.01505，0.010325}
In[9]：
=CentralMoment[data，2]
Out[9]={0.00566875，0.01505，0.010325}
In[10]：
=x=data[[All，1]]；y=data[[All，2]]；
z=data[[All，3]]；
In[11]：
=Covariance[x，y]
Out[11]=0.0093
In[12]：
=Covariance[z，z]
Out[12]=0.0137667
In[13]：
=CovarianceMLE[y，y]
Out[13]=0.01505
In[14]：
=Correlation[y，z]
Out[14]=0.0521435
In[15]：
=Correlation[x，x]
Out[15]=1.
二、常用分布的计算
在计算机出现以前，统计计算总是依赖一堆函数表。
使用本节介绍的函数可以取代查表，为实现各种统计计算的自动化做好了底层准备工作。
1.离散分布
程序文件DiscreteDistributions.m中，含有用于离散分布计算的函数。
其中常用的离散分布有：
BernoulliDistribution[p]贝努利分布。
BinomialDistribution[n，p]二项分布。
GeometricDistribution[p]几何分布。
HypergeometricDistribution[n，M，N]超几何分布。
PoissonDistribution[λ]泊松分布。
DiscreteUniformDistribution[n]离散的均匀分布。
NegativeBinomialDistribution[n，p]负二项分布。
以上函数中的参数，既可以是数值的，也可以是符号的。
使用这些函数只能按用户给出的参数建立一个表达式，并不能返回任何其它结果。
真正进行计算的是下面的求值函数，它们使用以上的分布表达式作为一个参数。
常用的求值函数有：
Domain[dist]求dist的定义域。
PDF[dist，x]求点x处的分布dist的密度值。
CDF[dist，x]求点x处的分布函数值。
Quantile[dist，q]求x，使CDF[dist，x]达到q。
Mean[dist]求分布dist的期望。
Variance[dist]求方差。
StandardDeviation[dist]求标准差。
ExpectedValue[f，dist，x]求Ef（x）。
CharacteristicFunction[dist，t]求特征函数φ（t）。
Random[dist]求具有分布dist的伪随机数。
RandomArray[dist，dims]求维数为dims的伪随机数的数组。
例3观察下面二项分布的各种基本计算。
In[1]：
=<In[2]：
=b=BinomialDistribution[n，p]
Out[2]=BinomialDistribution[n，p]
In[3]：
=Mean[b]
Out[3]=np
In[4]：
=Variance[b]
Out[4]=n（1-p）p
In[5]：
=CharacteristicFunction[b，t]
Out[5]=（1-p+eitp）n
In[6]：
=b=BinomialDistribution[10，0.3]
Out[6]=BinomialDistribution[10，0.3]
In[7]：
=Domain[b]
Out[7]={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}
In[8]：
=PDF[b，4]
Out[8]=0.200121
In[9]：
=CDF[b，3.9]
Out[9]=0.649611
In[10]：
=CDF[b，4]
Out[10]=0.849732
In[11]：
=Variance[b]
Out[11]=2.1
说明：
在上例中，首先调入程序文件。
In[2]用b表示具有符号参数的二项分布，这一步只是为了后面输入时方便，并非必需的，也可以使用嵌套省略这一步。
In[3]~In[5]进行的是符号运算，可以得到期望、方差等的一般公式。
这是本程序与一般统计软件的不同之处，充分体现了Mathematica的特色。
接下来给出具体的参数值，进行数值计算，这些计算取代了查表。
以下是一些更广泛、深入的例子。
例4观察下面离散分布的各种计算。
In[1]：
=<In[2]：
=h=HypergeometricDistribution[n，M，N]；
Mean[h]
Out[3]=
In[4]：
=Variance[h]
Out[4]=
In[5]：
=p=PoissonDistribution[5]；
PDF[p，2]
Out[6]=
In[7]：
=N[%]
Out[7]=0.0842243
In[8]：
=PDF[p，20]//N
Out[8]=2.64121×10-7
In[9]：
=N[CDF[p，20]，20]
Out[9]=0.99999991890749540112
In[10]：
=ExpectedValue[x^2，p，x]
Out[10]=30
In[11]：
=RandomArray[p，{2，10}]
Out[11]={{3，4，6，10，2，5，7，2，5，5}，
{4，3，2，11，5，4，2，2，4，6}}
说明：
在上例中表明，超几何分布的参数按我国教科书的习惯来表示，这里求出的期望和方差公式就与教科书上的相同了。
In[5]中给出的参数是准确数5，Mathematica在下面进行的仍是符号计算，得到准确结果。
如果参数改为5.0，则计算结果就都是近似值了。
In[10]是求Eξ2，ExpectedValue是一个很有用的函数，务必注意。
除了以上介绍的内容外，还有些不常用的函数本书没有列出，有兴趣的读者可以浏览Help。
2.连续分布
程序文件ContinuousDistributions.m中，含有用于连续分布计算的函数。
其中常见的连续分布有：
NormalDistribution[μ，σ]正态分布。
UniformDistribution[min，max]均匀分布。
ExponentialDistribution[λ]指数分布。
StudentTDistribution[n]t分布。
ChiSquareDistribution[n]χ2分布。
常用的求值函数与离散分布相同，这里不再列出。
例5计算：
（1）ξ~N（0，1），求：
P（ξ≤1.96），P（ξ≤-1.96），P（-1<ξ≤2）。
（2）ξ~N（8，0.5），求：
P（ξ≤10），P（7<ξ≤9）。
解：
In[1]：
=<In[2]：
=n=NormalDistribution[0，1]；
In[3]：
=CDF[n，1.96]
Out[3]=0.975002
In[4]：
=CDF[n，-1.96]
Out[4]=0.0249979
In[5]：
=CDF[n，2.]-CDF[n，-1.]
Out[5]=0.818595
In[6]：
=n=NormalDistribution[8，0.5]；
In[7]：
=CDF[n，10]
Out[7]=0.999968
In[8]：
=CDF[n，9]-CDF[n，7]
Out[8]=0.9545
说明：
在上例中，由于In[2]没有使用小数点，这时在In[5]中需要使用小数点才能得到近似值，否则得到符号解。
反之，由于In[6]使用了小数点，后面的计算则不必再使用小数点了。
如果使用人工查表的方法求In[7]，还需要首先转换成标准正态分布，这里就显得方便了。
例6绘制χ2分布在n分别为1，5，15时的分布密度函数图。
解：
In[1]：
=<In[2]：
=Plot[{PDF[ChiSquareDistribution[1]，x]，
PDF[ChiSquareDistribution[5]，x]，
PDF[ChiSquareDistribution[15]，x]}，{x，0，30}，
PlotRange→{0，0.2}]
得到如图13-46所示的函数图形。
图13-46χ2分布的分布密度图
说明：
上例中的绘图语句使用了函数嵌套，其中的函数名较长，最好自制统计函数模板。
因为这些统计计算都可以是符号的，所以能用于查询各种公式。
以下是一个实例：
In[1]：
=<In[2]：
=PDF[NormalDistribution[0，1]，x]
Out[2]=
In[3]：
=n=NormalDistribution[μ，σ]；
Mean[n]
Out[4]=μ
In[5]：
=Variance[n]
Out[5]=σ2
In[6]：
=e=ExponentialDistribution[λ]；
Mean[e]
Out[7]=
In[8]：
=Variance[e]
Out[8]=
In[9]：
=ExpectedValue[x^2，e，x]
Out[9]=
三、区间估计
1.总体数学期望的区间估计
程序文件ConfidenceIntervals.m中，含有用于总体参数区间估计的函数。
其中用于总体数学期望的区间估计的函数是：
MeanCI[data，KnownVariance→var]已知方差var，由数据表data求总体数学期望的置信区间（基于正态分布）。
MeanCI[data]由数据表data求总体数学期望的置信区间（方差未知、基于t分布）。
其中参数KnownVariance也可以改为KnownStandardDeviation，即已知标准差。
以上两个函数由样本数据表data直接求置信区间。
但有时已知的是样本平均值
，这时改用以下函数：
NormalCI[mean，sd]标准差σ已知，且sd=
，由样本平均值mean求总体数学期望的置信区间（基于正态分布）。
StudentTCI[mean，se，dof]用于方差未知，由样本平均值mean求总体数学期望的置信区间（基于t分布），其中，se=
，而dof是自由度（等于n-1）。
以上函数都有可选参数：
ConfidenceLevel置信度，默认值为0.95。
例7已知某炼铁厂的铁水含碳量（%）服从正态分布，现测得5炉铁水的含碳量分别是：
4.28，4.4，4.42，4.35，4.37。
如果已知标准差为σ=0.108，求铁水平均含碳量的置信区间（置信度为0.95）。
解：
In[1]：
=<In[2]：
=data={4.28，4.4，4.42，4.35，4.37}；
MeanCI[data，KnownVariance→0.108^2]
Out[3]={4.26934，4.45866}
例8假定新生男婴的体重服从正态分布，随机抽取12名男婴，测得体重分别是（单位：
g）：
3100，2520，3000，3000，3600，3160，3560，3320，2880，2600，3400，2540。
试求新生男婴平均体重的置信区间（置信度为0.95）。
解：
In[4]：
=data={3100，2520，3000，3000，3600，3160，3560，3320，
2880，2600，3400，2540}；
MeanCI[data]
Out[5]={2818.2，3295.13}
例9在例7中如果改为已知测得9炉铁水的含碳量的平均值是4.484，其余条件不变，再求铁水平均含碳量的置信区间（置信度为0.95）。
解：
In[6]：
=NormalCI[4.484，0.108/
]
Out[6]={4.41344，4.55456}
例10铅的比重测量值服从正态分布，测量16次算出
=2.705，S=0.029。
试求铅的比重的置信区间（置信度为0.95）。
解：
In[7]：
=StudentTCI[2.705，0.029/Sqrt[16]，15]
Out[7]={2.68955，2.72045}
当调入程序文件ConfidenceIntervals.m时，为了计算各种统计量，这个程序会自动调入程序文件DescriptiveStatistics.m。
因此，也可以首先由数据计算函数StudentTCI的各个参数，如下所示：
In[1]：
=<In[2]：
=data={2.1，1.2，0.7，1.0，1.1，3.2，3.2，3.3，2.1，0.3}；
m=Mean[data]
Out[3]=1.82
In[4]：
=se=StandardErrorOfSampleMean[data]
Out[4]=0.354275
In[5]：
=StudentTCI[m，se，Length[data]-1，ConfidenceLevel→0.9]
Out[5]={1.17057，2.46943}
说明：
上例中，In[4]利用数据直接求出se，而不是像教科书上先求S，In[5]示范了设置置信度为0.9的方法。
2.总体方差的区间估计
对总体的方差进行区间估计的函数是：
VarianceCI[data]由数据表data求总体方差的置信区间（基于χ2分布）。
ChiSquareCI[variance，dof]由无偏估计样本方差variance，求总体方差的置信区间，其中dof是自由度（等于n-1）。
例11试求例8的新生男婴体重方差的置信区间（置信度为0.95）。
解：
In[1]：
=<In[2]：
=VarianceCI[{3100，2520，3000，3000，3600，3160，3560，
3320，2880，2600，3400，2540}]
Out[2]={70687.2，406072.}
例12设炮弹速度服从正态分布，取9发炮弹测得无偏估计样本方差S2=11（m/s）2，求炮弹速度方差的置信区间（置信度为0.9）。
解：
In[3]：
=ChiSquareCI[11，8，ConfidenceLevel→0.9]
Out[3]={5.67474，32.2033}
四、回归分析
对于线性回归，如果只想得到回归方程，只要使用函数Fit就行了。
例13已知某种商品的价格与日销售量的数据：
价格（元）1.02.02.02.32.52.62.83.03.33.5
销量（斤）5.03.53.02.72.42.52.01.51.21.2
试求线性回归方程，再求价格为4时的日销售量。
解：
In[1]：
=data{{1.0，5.0}，{2.0，3.5}，{2.0，3.0}，{2.3，2.7}，
{2.5，2.4}，{2.6，2.5}，{2.8，2.0}，{3.0，1.5}，
{3.3，1.2}，{3.5，1.2}}；
Fit[data，{1，x}，x]
Out[2]=6.43828-1.57531x
In[3]：
=%2/.x→4
Out[3]=0.137029
以上函数虽然能用最小二乘法求出回归方程，但是没有相关性检验。
程序文件LinearRegression.m中，含有实现多元线性回归的专用函数，具体调用格式如下：
Regress[data，funs，vars]由表data的数据，求由基函数表funs中函数的线性组合构成的回归方程，其中funs中函数的自变量由表vars给出。
其中表data的一般形式为{{x11，x21，…，y1}，{x12，x22，…，y2}，…}，表funs的一般形式为{f1，f2，…}，而表vars的一般形式为{x1，x2，…}，其实这里的表示法与函数Fit相同，具体表示式的例子可以参看前面的例子，这里不再重复。
例14使用Regress重解例13。
解：
数据已经在解例13时输入，这里使用Regress继续求解。
In[4]：
=<In[5]：
=Regress[data，{1，x}，x]
Out[5]={ParameterTable→
EstimateSETStatPValue
16.438280.23649427.22393.57135×10-9
x-1.575310.0911754-17.27781.28217×10-7
RSquared→0.973901，AdjustedRSquared→0.970639
8、你是如何得志DIY手工艺制品的？
EstimatedVariance→0.0397359，ANOVATable→
DFSumOfSqMeanSqFRatioPValue
附件
（二）：
调查问卷设计Model111.862111.8621298.5241.28217×
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