河南省信阳市学年高二上学期期末数学文试题.docx

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河南省信阳市学年高二上学期期末数学文试题

河南省信阳市2020.2021学年高二上学期期末数学（文）试

题

学校:

姓名：

班级：

考号：

一、单选题

1.

设命题〃：

Vx>0,log2x<2x-3,则力为（）

《孙子算经》是我国占代的数学名著，书中有如下问题：

“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问：

五人各得几何？

”其意思为：

有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最

多的人所得的橘子个数是（）

若双曲线c：

*一*=1（。

>08>0）的实轴长是虚轴长的2倍，则其渐近线方程

5.

己知函数/（%）="/—mx,则其单调增区间是（）

A,

V2

B.2

D.3

7.设广（X）是函数/（X）的导函数，广（力的图象如图所示，则/（X）的图象最有可

能的是（

y

8.已知△A6C的三个内角分别为A,B,C,

“cosA>cosB>cosC”的（）

A.充分不必要条件

则"A<8

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

C.充分必要条件9.已知函数〃x）=lnx+2r（-l）x—1,则函数的图象在点（I,/。

））处的切线

方程为（）

C.x+y+2=0

]I7

10.设,若―+1丁之/一2k恒成立，则k的取值范围为（）2m1-2/n

A.[-2,0）=（0,4]B.[—4,0）U（0,2]c.[-4,2]D.[-2,4]

11.已知椭圆G:

工+匚=1（。

>〃〉0）的右焦点为尸（3,0）,过点F的直线交椭圆于A.Bcrb-

两点.若A8的中点坐标为（1,-1）,则G的方程为（）

A.E+£=lB.E+£=lC.二+£=1D.二+£=1

453636272718189

12.定义：

如果函数y=f（x）在区间上存在大户2（。

〈演:

W满足

/'（X,）J（"）_/⑷,则称函数>=/（X）是在区间［。

力］b-a~b-a

6n

上的一个双中值函数，已知函数/

（1）=炉-1炉是区间［01］上的双中值函数，则实数f的取值范围是（）

［36、（26\（23、6\

A.二，=B.—C.—D.1,—

（55）（5*13*I*

二、填空题

（x-y>0

13.若X,）满足约束条件

y>0

14.已知命题P：

实数。

满足不等式2"W1；命题9：

函数〃力=:

X3+£/+工有极值点.若“〃八4”是真命题，则实数。

的取值范围为.

15.如图，某校一角读书亭MN的高为（30-10的/〃，在该读书亭的正东方向有一个装饰灯塔尸2,在它们之间的地面点A（M、4、P三点共线）处测得读书亭顶部N与灯塔顶部。

的仰角分别是15°和60°,在读书亭顶部N测得灯塔顶部。

的仰角为30°，则灯塔尸。

的高为〃?

.

16.设〃，N是抛物线C：

），2=4%上任意两点，点£1的坐标为（一九0乂;1之0）,若

EM-EN的最小值为0,则实数4的值为.

三、解答题

17.己知小为实常数.命题pTxe（l,2）,r+x-m=0;命题纭函数/（M=hix-mx

在区间［1,2］上是单调递增函数.

（1）若命题〃为真命题，求实数〃，的取值范围;

（2）若命题“〃或4”为真命题，命题“〃且9”为假命题，求实数机的取值范围.

18.在平面四边形45co中，ZADC=90NA=45°，45=2，BD=5.

（1）cosZADB；

（2）若。

C=2无，求6C.

19.己知s”是单调递减等比数列｛%｝的前〃项和，生=；，且S4+%、邑+4、S5+/成等差数列.

（1）求数列包｝的通项公式;

（2）若数歹ij｛"｝满足"=—log?

q,—y,数歹—“勺前〃项和为。

，求证:

20.某厂家拟在新年举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为X万元时，销售

2

量/万件满足，=5——-（其中。

工工工。

？

—3々+3,。

为正常数）.现假定生产量与销x+1

售量相等，己知生产该产品，万件还需投入成本（10+2，）万元（不含促销费用），产品

的销售价格定为（4+万元/万件.

（1）将该产品的利润）'万元表示为促销费用x万元的函数；

（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.

21.已知直线1的方程为y=JJx—2",又直线1过椭圆C=十二=1（a>b>0）（Tb-

的右焦点，且椭圆的离心率为它.

3

（I）求椭圆C的方程；

（H）过点D（0,1）的直线与椭圆C交于点A,B,求△AOB的面枳的最大值.

22.已知函数=,函数g（x）=l+丘一Inx.

（1）讨论函数g（x）的极值;

（2）己知函数尸（x）=mm｛/（x）,g（x）｝,若函数尸（无）在0,+oo上恰有三个零点,

求实数k的取值范围.

参考答案

1.B

【分析】

根据全称命题的否定为特称命题，即可得到答案.

【详解】

解：

根据全称命题的否定为特称命题，则命题Vx>0,log[x<2x+3,则力为玉>0,

log.,

故选：

B.

【点睛】

本题考查全称命题的否定，属于基础题.

2.C

【解析】

试题分析：

因为「一'-6>0=（/_1）>0

x-1

即a—3）（x+2）a—i）>o,

利用数轴穿根法解得-2VXV1或x>3,

故选C.

考点：

分式不等式的解法.

3.C

【解析】

分析：

首先根据题意，先确定其为一个等差数列的问题，已知公差、项数与和，求某项的问题，在求解的过程中，经分析，先确定首项，之后根据其和建立等量关系式，最后再利用通项公式求得第五项，从而求得结果.

详解：

设第一个人分到的橘子个数为外,

5x4

由题意得S5=54+—x3=60,解得[=6,

则%=《+（5—1）x3=6+12=18,故选C.

点睛：

该题所考查的是有关等差数列的有关问题，在求解的过程中，注意分析题的条件，己知的量为公差、项数与和、而对于等差数列中，这五个量是知三求二的，所以应用相应的公式求得对应的量即可.

4.A

【分析】

由双曲线实轴长是虚轴长的2倍，可得2的值，进而可求得双曲线的渐近线方程.

a

【详解】

X2y-b

由题意，双曲线二一二=1的渐近线方程为y=±—X,

crb-a

又双曲线。

的实轴长为2。

，虚轴长为2b,则2。

=助，即9=2，

a2

所以双曲线的渐近线方程为y=土;x.

故选：

A.

【点睛】

本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.

5.D

【解析】

/（x）=I%2-Znx,定义域为（0,+00）

令/（%）=x_:

>0

X

解得1

故函数f（%）=#2一如单调增区间是（1,+8）

故选0

6.B

【解析】

【分析】

根据题意，分析可得等比数列｛为｝的公比。

±±1,进而由等比数列的通项公式可得）=9x《°-q）,解可得夕=2,又由$5=""-'）=314=62,解可得可

l-ql-q\-q

的值，即可得答案.

【详解】

根据题意，等比数列｛q｝中，若Sg=9S3,则。

±±1,

若§6=9S3,则［（if）=9，“】（j），解可得寸=8,则9=2,l-ql-q

又由Ss=62,则有J’1"—、）=3皿=62,解可得q=2；i-q

故选B.

【点睛】

本题考查等比数列的前〃项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前〃项和的性质.

7.C

【分析】

根据/'（X）的图象，由/'（X）的符号，确定原函数/（X）的单调性，确定/（X）的图象.

【详解】

从/'（X）的图象可以看出当X£（—8,O）,r（x）>0,/（X）在（一8,0）上为增函数；当

xe（0,2）时，

f,（x）<0ff（x）在（0,2）上为减函数;当xe（2,。

）时,f（x）>0,f（x）在

（2,+8）上为增函数，符合的图象是C.

故选：

C.

【点睛】

本题考查了导函数图象与原函数图象间的关系，属于容易题.

8.C

【分析】

结合余弦函数在（0,兀）上的单调性，分别判断充分性与必要性，可得出答案.

【详解】

先来判断充分性：

△A6C的三个内角分别为A,B,C,由可得

0

因为函数y=cosx在（0、兀）上单调递减，所以cosA>cos5>cosC,故充分性成立;

再来判断必要性：

△A6C的三个内角分别为A,B,C,且0<4<兀，0<6<兀,

0<。

<兀，

因为函数y=cosx在（0、兀）上单调递减，且cosA>cos6>cosC,所以

0<4<8<。

<兀，即A<6

所以"A<6cos5>cosC”的充分必要条件.

故选：

C.

【点睛】

本题考查命题的充分性与必要性，考查余弦函数单调性的应用，考查学生的推理论证能力,属于基础题.

9.A

【分析】

对函数求导，可得x的表达式，令％=—1,可得了‘（—1）的值，进而可求得了。

）、r⑴的值，即可得到切点及切线斜率，进而可求得切线方程.

【详解】

由题意，/,（^）=-+2/（-1）,则/‘（-1）=—1+2/'（一1）,解得r（-1）=1,

所以/（x）=lnx+2x-l,/r（x）=-+2,

x

则/⑴=lnl+2-1=1,⑴=1+2=3,

故切点为（1,1），切线斜率为3,所以切线方程为y-l=3（x—1）,即3x—3，—2=0.

故选：

A.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

10.D

【解析】

12、2o

由于0<,则!

+2=加（1-2/7/）2〃7（1—2〃?

）一（（2团+1_2m『］

2tn1-2m:

当2m=l-2m即m=-时取等号；

4

1919

所以士+之女2一2女恒成立，转化为上+^^的最小值大于等于6—2k，即

m1-2mm1-2m

k2-2k<8/.-2<^<4

故选D

11.D

【分析】

设出45两点的坐标，利用点差法求得。

力的关系式，结合标=//+/求得进而

求得椭圆E的方程.

【详解】

设A（X，yJ,B（孙必），则

£+二=1

XTy/,cr占+尤士一二

一+黄=1--

l!

nb2—10—（—1）1b21-».■»

即—-=—x=—=>=—=>〃-=2b.,

a213-12a-2

由于/=炉+。

2且c=3,由此可解得/=18,/=9,

22

故椭圆E的方程为二+二=1.

189

故选：

D.

【点睛】

本小题主要考查点差法解决椭圆中的中点弦问题，属于基础题.

12.A

【详解】

v/（A）=X3-|x2,.-.f\x）=3x2-yX,

•・•函数〃x）=f-+2是区间［0"］上的双中值函数，

，区间［0j］上存在占，x2（Q

满足/'（工）=/'（&）=JU）/

・•・方程3£工=产一2在区间［Oj］有两个不相等的解,令•.,g（x）=3x?

—5x-F+qf,（0

・•・实数f的取值范围是（2,，

故选:

A.

13.0

【分析】

作出约束条件对应的可行域，当目标函数过点。

时，z取得最小值，求解即可.

【详解】

目标函数可化为y=2x—Z,当目标函数过点。

时，Z取得最小值，即Za=0.

故答案为：

0.

【点睛】

本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想的应用，考杳学生的计算求解能力，属于基础题.

14.（一叫一2）

【分析】

由是真命题，可得〃、q都是真命题，结合命题〃、q,分别求出对应。

的范围，进而可得到答案.

【详解】

对于命题〃，2"W1,解得。

<0：

对于命题q,对函数求导，可得rw=/+ov+i,由/*）有极值点，可得二次函数

+"+1有两个不同的零点，则△=标一4>0,即。

>2或。

V一2.

\a<0

又因为“〃八夕”是真命题，所以〃、q都是真命题，则<，或《.，解得〃<—2.

[。

>2[a<-2

故答案为：

（—8,—2）.

【点睛】

本题考查利用复合命题的真假求参数，考查指数不等式的解法，考查函数的极值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

15.60

【分析】

YMN

设|PQ|=x，可得|4。

|二一7^,AN=r，在.AN。

中，由正弦定理可得，

sm60sin15

卫竺=」丝［,进而可求出X的值.

sin30sin45

【详解】

由题意，设|PQ|=x,

在直角"4。

中'/"P=6°。

，则|他卜黑=裔=今'在aANQ中，N0M4=3O°+15°=45°,NNA°=180°—15°—60°=105°,则NN°A=30’,

_\AN\\AQ\4（30-10>/32i2,,

由正弦定理，J一L=_U，即」12x2=—x—^解得x=60.

sin30sm45V6-V2小V2

故答案为：

60.

【点睛】

本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

16.1

【分析】

丽和瓯的夹角最大为从点石向抛物线引两条切线，切点分别为M，N,此时两和丽的夹角最大，从而可得到直线EM的方程，与抛物线方程联立，则△=（），可求出4

的值.

【详解】

由题意，丽和瓯的夹角最大为从点£■向抛物线引两条切线，切点分别为A7,N,

此时E/W和丽的夹角最大，且直线的斜率〃=tan==l，方程为y=x+2，

4

v~=4x）

联立厂,消去x可得寸―4>+44=0,则△=（-4）-—4x44=0,解得2=1.y=X+A

故答案为：

L

【点睛】

本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查平面向量数量积的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

【分析】

（i）由命题的真假可得p:

九e（1,2）,』+x—加=0;再由方程有解问题求解即可；

（2）由更合命题的真假，结合不等式恒成立问题最值法,列不等式组求解即可得解.

【详解】

解：

（1）当命题〃为真命题时，即立e（l,2）,W+x—m=0,

r/（i）2

因为函数y=/（x）在（1,2）为增函数，则《八，则《右

1/

（2）>0［m<6

故2<〃？

v6,

（2）当命题9为真时，即函数/（x）=lnx一尔在区间［1,2］上是单调递增函数.

即/@）=,一〃7之。

在区间［1,2］恒成立，x

.11

即/

（2）=——rn>0,BP/«<—,

22

又命题“〃或q”为真命题，命题“〃且q”为假命题，

则命题p,q一真一假，

f2

①当〃为真，q为假时,

（

〃7<2或〃7>6

1，则团4，

m<-2

2

综上可得实数〃？

的取值范围为U（2,6）.

【点睛】

本题考查了命题的真假及不等式有解与恒成立问题，属中档题.

18.

（1）立1；

（2）5.

【分析】

（1）根据正弦定理可以得到一R=—―一，根据题设条件，求得sin/AOB=巫,sinZAsmZADB5

结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得cos/AD6=

（2）根据题设条件以及第一问的结论可以求得cos/8QC=sinNAQ5=22,之后在，一

MCD中，用余弦定理得到3C所满足的关系，从而求得结果.

【详解】

rnar

（1）在中，由正弦定理得一^=.八二一sinZAsmZADB

由题设知，——=--一，所以sinNAD6=Y2.

siii45sinZADB5

（2）由题设及

（1）知，cqsABDC=smZADB=—.5

在A5CD中，由余弦定理得

BC2=BD2+DC2-2BD-DCcosZBDC=25+S-2x5x2>/2x^.=25.

5

所以8c=5.

【点睛】

该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范闱所满足的关系，从而正确求得结果.

fiVI

19.

（1）an=-；

（2）见解析

【分析】

（1）由邑+凡、§6+/、S5+45成等差数列，可建立等式关系，整理可得4。

=力，结合

｛"〃｝的单调性，可求得公比9,进而可求得｛《,｝的通项公式；

（2）由｛对｝的通项公式，可得+进而可得/厂=«£•一白）利用裂项相消求和法可求得7；,进而可证明结论.

【详解】

（1）设数列｛q｝的公比为4,

由§4+。

4、S

6、S5+。

5成等差数列，可得2（5.+々6）=S4+。

4+S5+。

5，则（S6-S5）+（S6-S4）+2/=。

4+。

5，即4a6=4，所以炉=；.

因为｛为｝是单调递减数列，所以q=；，

11F•••4

久也”也“也匕也”

所以净

【点睛】本题考查等差中项的应用，考查等比数列通项公式的求法，考查利用裂项相消求和法求数列的前〃项和，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

20.

（1）y=20-（-^-+x（0

（2）见解析

【分析】

（1）由利润=销售额-投入成本-促销费用，列出式子即可;

（4

（2）由

（1）可得y=20---+x,利用基本不等式可得x=l时，取得最大值，再lx+17

结合0-3。

+3,分1-3。

+3和这一3。

+3<1两种情况讨论，可求得答案.

【详解】

（20（20）

-3。

+3）.

（1）由题意知，该产品售价为4+7万元，y=4+7/一（10+2。

—文,

整理得了=20——^―+%|（0

（4

（2）由y=20-+%

X+L

44

因为x+l>0，所以——+x=——+（%+1）-1>2x+lx+l'7

4

=X+1,即x=l时，等号成立,X+1

若1K标—34+3,则。

之2或0<〃《1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;

（4、厂n

故）,=20r+x在。

，标-3〃+3］上单调递增,

\x+lJl」

（4、

所以在x=q2-3白+3时，>=20--+x取得最大值.（X+1）

即促销费用投入x=/—3。

+3万元时，厂家的利润最大.

综上所述，当。

之2或0<〃工1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;

当1＜。

＜2时，促销费用投入x=/—3。

+3万元时，厂家的利润最大.

【点睛】

本题考查函数模型的应用，考查利用基本不等式求最值，考查利用单调性求最值，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.

21.（I）—+—=1；（II）662

【详解】

试题分析：

（【）通过分析可知直线/与工轴的交点为（2,0）,得c=2,又e=±=见,得

a3

a=瓜利用〃、标―。

2=2,可得加二2.即可求得椭圆方程为工+t=1；（H）可62

设直线45方程为「=心.+1，

y=kx+\

为此可联立｛/y2，整理得（3/+l）V+6&—3=0,利用韦达定理，求出—+--=1

62

-6k

令，="TT?

7，则=2f=（f-1）-+］，［科当,即女二0时，^AAOB的

3K+1

试题解析：

（I），，椭圆的焦点为直线/与x轴的交点,;直线/与x轴的交点为（2,0）,.,•椭圆的焦点为（2,0）,•••c=2,

又・・・e=£=亚，・・・〃=木,・・・尸=/一^=2a3

.••椭圆方程为:

十二=1.62

（H）直线45的斜率显然存在，设直线A5方程为），=丘+1

y=kx+l

设Aa，y）6（x,,y,）,由｛/俨,得（3/+1优+6履—3=0,

—+--=1

62

_6k3

显然』＞0,占+尤=K--,x^=—

3k"+1-3K+1

SSOB=^AAOD+S、bod=力叫…」=

3席…=生

_S12（3K+1）-1_/T21

7X（3/+1尸一7何二T（34+「

令f=7T，则f£（O』，Sg0B="产+2”国一（一＞+1，

3K+1

・・・/=1,即k=0时，的最大值为

考点：

I、椭圆的标准方程；2、直线与曲线相交问题.

22.

（1）见解析；

（2）（0,e-2）

【分析】

（1）对g（x）求导，分kV0和女>0两种情况，分别讨论g'（x）的正负性，可得到g（x）的单调性，进而可求得极值；

（2）易知/（x）有且仅有一个零点x=l,且xwl时/（无）>0,从而可知g（x）有两个零

点，结合

（1）知kMO不符合题意，人>0时，讨论且（工）的极值，并结合零点存在性定理

可求出答案.

【详解】

（1）g（x）的定义域为0,+oo,gf（^x）=k--,X

当时，g，xV。

在0.+OO恒成立，•••g（x）在0,+oo单调递减，故g（x）无极值,当k>0时，由/（X）=氏一2=0得x=+

当xe0,-i时，grx<0,则g（x）单调递减：

当时，grx>0,则g（x）

单调递增，

1/1A

.•・g（x）在x=7处取得极小值，g7=2+lnk,g（x）无极大值.

综上，当攵（0时，g（x）无极值；当攵>0时，g（x）有极小值2+ln〃，无极大值.

g（x）的零点,

①当AV0时，由

（1）知g（x）在0,+oo单调递减，至多只有一个零点，此时尸（x）至多只有两个零点，不合题意，舍去；

/1\/1\

②当攵>0时，由

（1）知g（x）在0,-单调递减，在展,+S单调递增，则

、K）K1

零点，不合题意，舍去;

（1、

11）当2+ln〃<0即00,

由零点存在性定理知为£（1,皆使得ga）=o.

令9（x）=lnx-x,^（