学年高中数学第一章三角函数1周期现象2角的.docx

学年高中数学第一章三角函数1周期现象2角的.docx

《学年高中数学第一章三角函数1周期现象2角的.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学年高中数学第一章三角函数1周期现象2角的.docx（21页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

学年高中数学第一章三角函数1周期现象2角的

§1　周期现象2　角的概念的推广

学习目标

　1.了解现实生活中的周期现象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握终边相同的角的含义及其表示.

知识点一　周期现象

思考　“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周.”这样的现象，具有怎样的属性？

答案　周而复始，重复出现.

梳理　

（1）以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象.

（2）要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会重复出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象.

知识点二　角的相关概念

思考1　将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？

答案　有顺时针和逆时针两种旋转方向.

思考2　如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？

答案　不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角.若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角.

梳理　

（1）角的概念：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.

（2）角的分类：

按旋转方向可将角分为如下三类：

类型

定义

图示

正角

按逆时针方向旋转形成的角

负角

按顺时针方向旋转形成的角

零角

一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角

知识点三　象限角

思考　把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边（除端点外）可能落在什么位置？

答案　终边可能落在坐标轴上或四个象限内.

梳理　在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.

象限角：

终边在第几象限就是第几象限角；

轴线角：

终边落在坐标轴上的角.

知识点四　终边相同的角

思考1　假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？

答案　它们的终边相同.－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相隔了2个周角和1个周角.

思考2　如何表示与60°终边相同的角？

答案　60°＋k·360°（k∈Z）.

梳理　终边相同角的表示

一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，

即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和.

1.终边与始边重合的角是零角.（　×　）

提示　终边与始边重合的角是k·360°（k∈Z）.

2.小于90°的角是锐角.（　×　）

提示　锐角是指大于0°且小于90°的角.

3.钝角是第二象限角.（　√　）

4.第二象限角是钝角.（　×　）

提示　第二象限角不一定是钝角.

类型一　周期现象的应用

例1　水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？

考点　周期现象

题点　周期现象的应用

解　因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，

所以1小时内水车转12圈.

又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，

所以每转一圈，最多盛水16×10＝160（升），

所以水车1小时内最多盛水160×12＝1920（升）.

反思与感悟　

（1）应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的.

（2）只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决.

跟踪训练1　利用例1中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？

考点　周期现象

题点　周期现象的应用

解　设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160（升），

所以y＝

·160＝32x，为使水车盛800升的水，

则有32x≥800，所以x≥25，

即水车盛800升的水至少需要25分钟.

类型二　象限角的判定

例2　在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.

（1）－150°；

（2）650°；（3）－950°15′.

考点　象限角、轴线角

题点　象限角

解　

（1）因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角.

（2）因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.

（3）因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.

反思与感悟　判断象限角的步骤

（1）当0°≤α<360°时，直接写出结果.

（2）当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β（k∈Z，0°≤β<360°），转化为判断角β所属的象限.

跟踪训练2　

（1）判断下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范围内终边相同的角.

①549°；②－60°；③－503°36′.

（2）若α是第二象限角，试确定2α，

是第几象限角.

考点　象限角、轴线角

题点　象限角

解　

（1）①∵549°＝189°＋360°，∴549°角为第三象限的角，与189°角终边相同.

②∵－60°＝300°－360°，∴－60°角为第四象限的角，与300°角终边相同.

③∵－503°36′＝216°24′－2×360°，∴－503°36′角为第三象限的角，与216°24′角终边相同.

（2）由题意得90°＋k·360°<α<180°＋k·360°（k∈Z），①

所以180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°（k∈Z）.

故2α是第三或第四象限角或终边落在y轴负半轴上的角.

由①得45°＋k·180°<

<90°＋k·180°（k∈Z），

当k为偶数时，令k＝2n（n∈Z），

得45°＋n·360°<

<90°＋n·360°（n∈Z），

故

是第一象限角.

当k为奇数时，令k＝2n＋1（n∈Z），得45°＋180°＋n·360°<

<90°＋180°＋n·360°（n∈Z），

即225°＋n·360°<

<270°＋n·360°（n∈Z），

故

为第三象限角.

综上可知，

为第一或第三象限角.

类型三　终边相同的角

例3　在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角.

（1）最大的负角；

（2）最小的正角；（3）[360°，720°）的角.

考点　终边相同的角

题点　终边相同的角

解　与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10030°（k∈Z）.

（1）由－360°＜k·360°＋10030°＜0°，得－10390°＜k·360°＜－10030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.

（2）由0°＜k·360°＋10030°＜360°，得－10030°＜k·360°＜－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.

（3）由360°≤k·360°＋10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜－9310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.

反思与感悟　求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.

跟踪训练3　写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来.

考点　终边相同的角

题点　终边相同的角

解　由终边相同的角的表示知，

与角α＝－1910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}.

∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1910°＜360°（k∈Z），

∴3

≤k＜6

（k∈Z），故取k＝4，5，6.

当k＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°；

当k＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°；

当k＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.

例4　写出终边在直线y＝－

x上的角的集合.

考点　终边相同的角

题点　终边相同的角

解　终边在y＝－

x（x<0）上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；

终边在y＝－

x（x≥0）上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}.

因此，终边在直线y＝－

x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，

即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋（2k＋1）·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.

故终边在直线y＝－

x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.

反思与感悟　求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并.

跟踪训练4　写出终边在直线y＝

x上的角的集合.

考点　终边相同的角

题点　终边相同的角

解　终边在y＝

x（x≥0）上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；

终边在y＝

x（x<0）上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}.

因此，终边在直线y＝

x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，

即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋（2k＋1）·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.

故终边在直线y＝

x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.

1.下列是周期现象的为（　　）

①闰年每四年一次；

②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；

③某超市每天的营业额；

④某地每年6月份的平均降雨量.

A.①②④B.③④

C.①②D.①②③

考点　周期现象

题点　周期现象的判定

答案　C

解析　①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的平均降雨量也是随机的，不是周期现象.

2.与－457°角终边相同的角的集合是（　　）

A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}

B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}

C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}

D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}

考点　终边相同的角

题点　终边相同的角

答案　C

解析　－457°＝－2×360°＋263°，故选C.

3.2018°是（　　）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

考点　象限角、轴线角

题点　象限角

答案　C

解析　2018°＝5×360°＋218°，故2018°是第三象限角.

4.一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M点用了0.3s，又经过0.2s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间是s.

考点　周期现象

题点　周期现象的应用

答案　1.4

解析　如图，质点从O点向左运动，O→M用了0.3s，M→A→M用了0.2s，由于M→O与O→M用时相同，因此质点运动半周期

＝0.2＋0.3×2＝0.8（s），从而当质点第三次经过M时还要经过的时间应为M→O→B→O→M所用时间，为0.3×2＋0.8＝1.4（s）.

5.已知，如图所示.

（1）写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；

（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.

考点　终边相同的角

题点　区域角的表示

解　

（1）终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.

终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.

（2）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.

1.判断是否为周期现象，关键是看在相同的间隔内，图像是否重复出现.

2.由于角的概念推广了，那么终边相同的角有无数个，这无数个终边相同的角构成一个集合.与α角终边相同的角可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，要领会好k∈Z的含义.

3.熟记终边在坐标轴上的各角的度数，才能正确快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的终边随整数k的改变而改变时，要对k分类讨论.

一、选择题

1.（2017·甘肃兰州一中期末）下列命题正确的是（　　）

A.终边在x轴非正半轴上的角是零角

B.第二象限角一定是钝角

C.第四象限角一定是负角

D.若β＝α＋k·360°（k∈Z），则α与β终边相同

考点　终边相同的角

题点　任意角的综合应用

答案　D

解析　终边在x轴非正半轴上的角为k·360°＋180°，k∈Z，零角为0°，所以A错误；480°角为第二象限角，但不是钝角，所以B错误；285°角为第四象限角，但不是负角，所以C错误，故选D.

2.设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是（　　）

A.A＝BB.B＝CC.A＝CD.A＝D

考点　任意角的概念

题点　对任意角概念的理解

答案　D

3.探索如图所呈现的规律，判断2017至2018箭头的方向是（　　）

考点　周期现象

题点　周期现象的应用

答案　B

4.若α是第四象限角，则180°－α是（　　）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

考点　象限角、轴线角

题点　象限角

答案　C

解析　可以给α赋一特殊值－60°，

则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角.

5.四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在①，②，③，④号位置上（如图），第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位，…这样交替进行下去，那么第2017次互换座位后，小兔的位置对应的是（　　）

①猴

②兔

③猫

④鼠

开始

①猫

②鼠

③猴

④兔

第1次

①鼠

②猫

③兔

④猴

第2次

①兔

②猴

③鼠

④猫

第3次

A.编号①B.编号②

C.编号③D.编号④

考点　周期现象

题点　周期现象的应用

答案　D

6.角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为（　　）

A.α＋β＝k·360°，k∈Z

B.α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z

C.α－β＝k·360°＋180°，k∈Z

D.α－β＝k·360°，k∈Z

考点　终边相同的角

题点　终边相同的角

答案　B

解析　特殊值法：

令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.直接法：

∵角α与角β的终边关于y轴对称，∴β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.

二、填空题

7.如图所示，变量y与时间t（s）的图像如图所示，则时间t至少隔s时y＝1会重复出现1次.

考点　周期现象

题点　周期现象的应用

答案　2

8.已知角α＝－3000°，则与α终边相同的最小正角是.

考点　终边相同的角

题点　终边相同的角

答案　240°

解析　与α＝－3000°终边相同的角的集合为{θ|θ＝－3000°＋k·360°，k∈Z}，

令－3000°＋k·360°>0°，解得k>

，

故当k＝9时，θ＝240°满足条件.

9.如图，终边落在OA的位置上的角的集合是；终边落在OB的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是.

考点　终边相同的角

题点　任意角的综合应用

答案　{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}　{315°，－45°}　{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}

解析　终边落在OA的位置上的角的集合是{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}.

终边落在OB的位置上的角的集合是{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}，

取k＝0，－1得α＝315°，－45°.

故终边落在OB的位置上，

且在－360°～360°内的角的集合是{315°，－45°}.

终边落在阴影部分的角的集合是{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}.

10.若α＝k·360°＋45°，k∈Z，则

是第象限角.

考点　象限角、轴线角

题点　象限角

答案　一或三

解析　∵α＝k·360°＋45°，k∈Z，

∴

＝k·180°＋22.5°，k∈Z.

当k为偶数，即k＝2n，n∈Z时，

＝n·360°＋22.5°，n∈Z，∴

为第一象限角；

当k为奇数，即k＝2n＋1，n∈Z时，

＝n·360°＋202.5°，n∈Z，∴

为第三象限角.

综上，

是第一或第三象限角.

三、解答题

11.已知角β的终边在直线

x－y＝0上.

（1）写出角β的集合S；

（2）写出集合S中适合不等式－360°<β<720°的元素.

考点　终边相同的角

题点　终边相同的角

解　

（1）如图，直线

x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为

S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，

S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，

所以角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}

＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋（2k＋1）·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}.

（2）由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n·180°<720°，n∈Z.

解得－

，n∈Z，所以n＝－2，－1，0，1，2，3.

所以集合S中适合不等式－360°<β<720°的元素为

60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；

60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；

60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.

12.游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：

（1）你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？

（2）转四圈需要多少时间？

（3）你第四次距地面最高需要多少时间？

（4）转60分钟时，你距离地面是多少？

考点　周期现象

题点　周期现象的应用

解　

（1）是周期现象，周期12分钟.

（2）转四圈需要时间为4×12＝48（分钟）.

（3）第一次距离地面最高需

＝6（分钟），而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42（分钟）.

（4）因为60÷12＝5，所以转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5（米）.

13.已知－180°<α<180°，且角α的终边与其7倍角的终边重合，求角α.

考点　终边相同的角

题点　终边相同的角

解　∵角α的终边与它的7倍角的终边重合.

∴7α＝k·360°＋α（k∈Z），

∴α＝k·60°（k∈Z）.

又∵－180°<α<180°，

∴－3

∴当k分别取－2，－1，0，1，2时，对应的α为－120°，－60°，0°，60°，120°.

四、探究与拓展

14.设集合A＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，则（　　）

A.A∩B＝∅B.AB

C.BAD.A＝B

考点　终边相同的角

题点　终边相同的角

答案　D

解析　对于集合A，

α＝45°＋k·180°＝45°＋2k·90°

或α＝135°＋k·180°＝45°＋90°＋2k·90°＝45°＋（2k＋1）·90°.

∵k∈Z，

∴2k表示所有的偶数，2k＋1表示所有的奇数，

∴集合A＝{α|α＝45°＋n·90°，n∈Z}，

又集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，

∴A＝B.故选D.

15.（2017·山西平遥一中月考）一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆（半径为1的圆）上爬动，两只蚂蚁均从点A（1，0）同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0°<α<β<180°），如果两只蚂蚁都在第14s时回到A点，并且在第2s时均位于第二象限，求α，β的值.

考点　终边相同的角

题点　任意角的综合应用

解　根据题意，可知14α，14β均为360°的整数倍，

故可设14α＝m·360°，m∈Z，14β＝n·360°，n∈Z，

则α＝

·180°，m∈Z，β＝

·180°，n∈Z.

由两只蚂蚁在第2s时均位于第二象限，知2α，2β均为第二象限角.

因为0°<α<β<180°，所以0°<2α<2β<360°，

因为2α，2β均为钝角，即90°<2α<2β<180°，

所以45°<α<90°，45°<β<90°.

所以45°<

·180°<90°，45°<

·180°<90°，

即

，

，m，n∈Z，

又α<β，所以m

即α＝

，β＝

.