高中数学第一章三角函数2角的概念的推广274.docx

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高中数学第一章三角函数2角的概念的推广274

§2　角的概念的推广

内容要求　1.理解正角、负角、零角与象限角的概念（重点）.2.掌握终边相同的角的表示方法（难点）．

知识点1　角的概念

（1）角的概念：

角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．

（2）按照角的旋转方向，分为如下三类：

类型

定义

正角

按逆时针方向旋转形成的角

负角

按顺时针方向旋转形成的角

零角

如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零角

【预习评价】　

（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）按逆时针方向旋转所成的角是正角（√）

（2）按顺时针方向旋转所成的角是负角（√）

（3）没有作任何旋转就没有角对应（×）

（4）终边和始边重合的角是零角（×）

（5）经过1小时时针转过30°（×）

知识点2　象限角

如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

【预习评价】

1．锐角属于第几象限角？

钝角又属于第几象限角？

提示　锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．

2．第二象限的角比第一象限的角大吗？

提示　不一定．如120°是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.

知识点3　终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．

【预习评价】　

（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）终边相同的角一定相等（×）

（2）相等的角终边一定相同（√）

（3）终边相同的角有无数多个（√）

（4）终边相同的角它们相差180°的整数倍（×）

题型一　角的概念的推广

【例1】　写出下图中的角α，β，γ的度数．

解　要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.

规律方法　1.理解角的概念的三个“明确”

2．表示角时的两个注意点

（1）字母表示时：

可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．

（2）用图示表示角时：

箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．

【训练1】　

（1）图中角α＝________，β＝________；

（2）经过10min，分针转了________．

解析　

（1）α＝－（180°－30°）＝－150°

β＝30°＋180°＝210°.

（2）分针按顺时针转过了周角的

，即－60°.

答案　

（1）－150°　210°　

（2）－60°

题型二　终边相同的角

【例2】　已知α＝－1910°.

（1）把α写成β＋k×360°（k∈Z,0°≤β＜360°）的形式，并指出它是第几象限角；

（2）求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.

解　

（1）－1910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋（－6）×360°，它是第三象限角．

（2）令θ＝250°＋k×360°（k∈Z），

取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，

即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.

所以θ为－110°，－470°.

规律方法　将任意角化为α＋k·360°（k∈Z，且0°≤α＜360°）的形式，关键是确定k.可用观察法（α的绝对值较小时适用），也可用除以360°的方法．要注意：

正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．

【训练2】　写出终边在阴影区域内（含边界）的角的集合．

解　终边在直线OM上的角的集合为M＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}

＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋（2k＋1）·180°，k∈Z}

＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．

同理可得终边在直线ON上的角的集合为{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}，

所以终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为

{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．

【探究1】　在四个角－20°，－400°，－2000°，1600°中，第四象限角的个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

解析　－20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个．

答案　C

【探究2】　写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．

解　根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可．

所以表示为：

第一象限角的集合：

S＝{β|β＝k·360°＋α，0°＜α＜90°，k∈Z}，或S＝{β|k·360°＜β＜k·360°＋90°，k∈Z}．

第二象限角的集合：

S＝{β|β＝k·360°＋α，90°＜α＜180°，k∈Z}，或S＝{β|k·360°＋90°＜β＜k·360°＋180°，k∈Z}．

【探究3】　已知α为第二象限角，那么2α，

分别是第几象限角？

解　∵α是第二象限角，

∴90＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，

180°＋2k×360°＜2α＜360°＋2k×360°，k∈Z.

∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角．

同理45°＋

×360°＜

＜90°＋

×360°，k∈Z.

当k为偶数时，不妨令k＝2n，n∈Z，则45°＋n×360°＜

＜90°＋n×360°，此时，

为第一象限角；

当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，则225°＋n×360°＜

＜270°＋n×360°，此时，

为第三象限角．

∴

为第一或第三象限角．

【探究4】　已知α为第一象限角，求180°－

是第几象限角．

解　∵α为第一象限角，

∴k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，

∴k·180°＜

＜k·180°＋45°，k∈Z，

∴－45°－k·180°＜－

＜－k·180°，k∈Z，

∴135°－k·180°＜180°－

＜180°－k·180°，k∈Z.

当k＝2n（n∈Z）时，135°－n·360°＜180°－

＜180°－n·360°，为第二象限角；

当k＝2n＋1（n∈Z）时，－45°－n·360°＜180°－

＜－n·360°，为第四象限角．

∴180°－

是第二或第四象限角．

规律方法　1.象限角的判定方法

（1）根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．

（2）将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．

2．α，2α，

等角的终边位置的确定方法

不等式法：

（1）利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围．

（2）利用不等式的性质，求出2α，

等角的范围．

（3）利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k×120°＜

＜k×120°＋30°，k∈Z，可画出0°＜

＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°（如图所示）．

易错警示　由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.

课堂达标

1．－361°的终边落在（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

解析　因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D.

答案　D

2．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是（　　）

A．A＝BB．B＝C

C．A＝CD．A＝D

解析　直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．

答案　D

3．将－885°化为α＋k·360°（0°≤α<360°，k∈Z）的形式是________________．

答案　195°＋（－3）×360°

4．与－1692°终边相同的最大负角是________．

解析　∵－1692°＝－5×360°＋108°，

∴与108°终边相同的最大负角为－252°.

答案　－252°

5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．

解　设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．

①{α|k·360°＋30°≤α

②{α|k·360°＋210°≤α

∴角α的集合应当是集合①与②的并集：

{α|k·360°＋30°≤α

∪{α|k·360°＋210°≤α

＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}

∪{α|（2k＋1）180°＋30°≤α<（2k＋1）180°＋105°，k∈Z}

＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或（2k＋1）·180°＋30°≤α<（2k＋1）180°＋105°，k∈Z}

＝{α|n·180°＋30°≤α

课堂小结

1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．

2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜

－180°＋k×360°，k∈Z}.

基础过关

1．下列各组角中，终边相同的是（　　）

A．495°和－495°B．1350°和90°

C．－220°和140°D．540°和－810°

解析　－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．

答案　C

2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有（　　）

A．BCAB．BAC

C．D（A∩C）D．C∩D＝B

解析　锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.

角

集合表示

锐角

B＝{α|0°<α<90°}

0°～90°的角

D＝{α|0°≤α<90°}

小于90°的角

A＝{α|α<90°}

第一象限角

C＝{α|k·360°<α

答案　D

3．若α是第四象限角，则180°－α是（　　）

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

解析　可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．

答案　C

4．已知角α＝－3000°，则与角α终边相同的最小正角是______．

解析　∵－3000°＝－9×360°＋240°，

∴与－3000°角终边相同的最小正角为240°.

答案　240°

5．在－180°～360°范围内，与2000°角终边相同的角是______．

解析　因为2000°＝200°＋5×360°，2000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2000°角终边相同的角有－160°，200°两个．

答案　－160°，200°

6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．

（1）－150°；

（2）650°；（3）－950°15′.

解　

（1）因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．

（2）因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．

（3）因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与

－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．

7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1080°≤β＜－360°的角β.

解　与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．

令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1055°，符合条件；

令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；

令k＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件．

故符合条件的角有－1055°，－695°.

能力提升

8．以下命题正确的是（　　）

A．第二象限角比第一象限角大

B．A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则AB

C．若k·360°<α

D．终边在x轴上的角可表示为k·360°（k∈Z）

解析　A不正确，如－210°<30°.

在B中，当k＝2n，k∈Z时，β＝n·180°，n∈Z.

∴AB，∴B正确．

又C中，α为第一或第二象限角或在y轴的非负半轴上，

∴C不正确．显然D不正确．

答案　B

9．集合M＝

，P＝

，则M、P之间的关系为（　　）

A．M＝PB．MP

C．MPD．M∩P＝∅

解析　对集合M来说，x＝（2k±1）·45°，即45°的奇数倍；对集合P来说，x＝（k±2）·45°，即45°的倍数．

答案　B

10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________．

解析　∵α、β终边相同，

∴α＝k·360°＋β（k∈Z）．

∴α－β＝k·360°，故α－β终边会落在x轴非负半轴上．

答案　x轴的非负半轴上

11．若α为第一象限角，则k·180°＋α（k∈Z）的终边所在的象限是第________象限．

解析　∵α是第一象限角，∴k为偶数时，k·180°＋α终边在第一象限；k为奇数时，k·180°＋α终边在第三象限．

答案　一或三

12．求终边在直线y＝x上的角的集合S.

解　因为直线y＝x是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S＝{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋225°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝（2k＋1）·180°＋45°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋45°，n∈Z}．

13．（选做题）已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式：

（1）α、β的终边关于原点对称；

（2）α、β的终边关于y轴对称．

解　

（1）由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍（如图1），于是α－β＝（2k－1）·180°（k∈Z）．

（2）在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y轴对称（如图2），则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k1·360°（k1∈Z），β＝90°＋θ＋k2·360°（k2∈Z）．

两式相加得α＋β＝（2k＋1）·180°（k∈Z）．