高中数学第一章三角函数18函数yAsinωx+φ的.docx
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高中数学第一章三角函数18函数yAsinωx+φ的
1.8函数y=Asin（3x+©）的图像
问题导学
1.用"五点法”作正弦函数y=Asin（3x+0）的图像
S3活动与探究1
用“五点法”作出函数y=2sin2x+n3的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率、
初相和单调区间.
S3迁移与应用
用“五点法”作出函数y=3sin的图像，并指出它的振幅、周期、频率、初相、
幺4/
相位.
<5g悻«
“五点法”作图，要抓住要害，即要抓住五个关键点，使函数式中的3x+0分别取0,3n
2,n,—,2n，然后求出相应的x,y值，作出图像.
2.图像变换
S3活动与探究2
用两种方法将函数y=sinx的图像变换为y=2sini3x+才的图像.
=3活动与探究3
11
将函数y=f（x）的图像上每一点的纵坐标变为原来的q，再将横坐标变为原来的刁最后
将整个图像向左平移专个单位，可得y=sinx的图像,=3迁移与应用
函数y=2-sinj2x——
个单位得到.
—的图像可以看作把函数
求函数
1
y=2sin2
f（x）的解析式.
x的图像向
平移
名1孑❺津
的图像的关系；
k,0变化时，函数图像的和k确定图像与坐标轴的
函数y=Asin（3x+0）（A>0,3>0）的图像与y=sinx
（1）函数y=Asin（3x+0）+k（A>0,3>0）中的A,3,形状和位置会相应地发生变化，其中A和3确定图像的形状，
相对位置关系，图像的基本变换有以下几种：
a.
振幅变换：
由
A的变化引起.
b.
周期变换：
由
3的变化引起
c.
相位变化：
由
0的变化引起
d.
上下变化：
由
k的变化引起.
⑵
图像变换的两种途径的差异：
①
y=
sinx
a.先相位变换后周期变换;
换.
b.先周期变换后相位变
0>0,图像左移0个单位
|0|个单位
0<0,图像右移
.横坐折缩短为原来的丄倍
to
sin（x+
3x+0）
-橫坐标忡长到眾来的丄倍
0）"y=sin（
A>1,纵坐标伸长到原来的A倍八
0②y=sinx
1*横坐标縮短到原来的丄倍
>■横坐标伸长到原来的丄倍
护>0.图像左移王个单位tt?
乎V0*图像右移卫个单位
my
y=sin
A>1,纵坐标伸长到原来的A倍「、
0）0该函数的解析式.
sin（3x+
）的图像，由图中条件写出
=3迁移与应用
1.函数f（x）=Asin（3x+0）（0<^<2n,A>0,«>0）的部分图像如图所示，则f（0）的值是.
0
/
、7兀
\辽才
0
x
-J2
求函数表达式.
2.函数f（x）=Asin（3
由图像确定函数y=Asin（3x+0）的解析式，主要从以下三个方面来考虑:
（1）A的确定：
根据图像的“最高点，最低点”确定A;
2n
（2）3的确定：
结合图像先求周期T,然后由T=（3>0）确定3;
3
（3）0的确定：
常用的方法有：
①代入法：
把图像上的一个已知点或图像与x轴的交点代入（此时，A,3已知）求解.（此
时要注意交点在上升区间还是在下降区间上）
为3X+0=2n.
3x+0）+b的性质及综合应用=3活动与探究5
3
x+0—nn+1（0<00）为偶函数，且函数y=f（x）
n
nn的值；
（2）将函数y=f（x）的图像向右平移卡个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长
6
为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图像，求g（x）的单调递减区间.
=3迁移与应用
2n
有最大值为2，当x=~3时，y有最小值为—2.
（1）求函数f（x）表达式；
（2）若g（x）=f（—x），求g（x）的单调递减区间.
（1）函数y=Asin（3x+0）（A>0,3>0）为偶函数？
0=kn+?
k€Z）;为奇函数？
0=kn（k€Z）.同理，函数y=Acos（3x+0）（A>0,3>0）为偶函数？
0=kn（k€Z）;
n
为奇函数？
0=kn+—（k€Z）.
（2）求y=Asin（3x+0）或y=Acos（3x+0）的单调区间时，首先把x的系数化为正的，
再利用整体代换，即把3x+0代入相应不等式中，求解相应的变量x的范围.
当堂检测
1.函数y=2sinjx+于丿的周期、振幅各是（）.
A.4n,——2B.4n,2
C.n,2D.n,——2
要得到y=sin）2x—-3的图像，只要将y=sin2x的图像（）.
C.
n
=2，0=—6
5.
已知函数f（x）=Asin（3x+0）（A>0,3>0,|0|<专）上的最高点为（2,2）,该最高点到相邻的最低点间曲线与x轴交于一点（6,0），求函数解析式，并求函数在x€［—
6,0］上的值域.
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1.0,2，
预习交流
3
最大值
2n1
3T=
71
2.值域
周期T=
3n
亍,2n
2nn4n7n
，3，3，3
最小值振幅
10n
，3
初相3x+0
预习交流2—5,
2n1
35
预习交流3D
2n
4.R[—A,A]kn
1o1
n_n_n_
2kn+2kn+2kn
222
预习交流4略
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1解：
（1）列表：
n
列表时2x+—取值分别为0,
3
+2,k€Z
3n
+
co
2kn
3n
—,2n,再求出相应的x值和y值.
x
n
n
n
7n
5n
—6
12
3
12
6
n
2x+e
0
n
"2"
n
3n
2
2n
y
0
2
0
—2
0
'，12,2，寸，0，77，—2，善，0.
n
石，0,”
（3）连线：
用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如下图所示.
（2）描点：
在直角坐标系中描出点
肿
2
0—
/
|\3
兀/
:
\/氏5ti
6/
iy126r
O
JL\；）
12\[/
-2
利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到
2sin2x+才,x€R的简图（图略）.
这个函数的振幅是2,周期是=n，频率是f=〒：
7n1
kn+p（k€Z）.
12,kn+話（k€Z）.
函数的递减区间为
71
同理，递增区间为kn
1-，初相是专
n3
1
迁移与应用图略振幅为3,周期是4n,频率为47,
n1n
初相为——，相位是--^.
活动与探究2解：
方法一：
（先平移后伸缩）y=sinx的图像
横坐标缩短为原来的+
向左平移千个单位
4
sin3x+n
-y=sinx+4的图像
横坐标不变
纵坐标不变
横坐标不变In
I勺图像纵坐标伸长为原来苗2倍y=2sin?
x+T丿的图像.
横坐标缩短为原来的+
方法二：
（先伸缩后平移）y=sinx的图像
向左平移令个单位
纵坐标不变
y=sin
3x的图像
y=sinj3x+*的图像
纵坐标伸长为原来的横坐标不变
2sinj3x+；
【勺图像.
n
活动与探究3解：
将y=sinx的图像向右平移y个单位得到
把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的
sini[x的图像上所有点的纵坐标变为原来的
23
y=sinix—-3的图像，冷的图像，再把y=
3
2倍得到y=2sini[x-£的图像.
v?
3丿
2倍得到y=sinjlx
•••f（x）的解析式为f（x）=2sini
n
8，
1n
•••由y=£Sin2x的图像向右平移号个单位便得到
28
y=qsin|2x—-4的图像.
活动与探究4解：
由图像知，A=3.
T5nnn十
•「_=——=—,•T=n.
2632'
2n
•w=~r~=2.
•-y=3sin（2x+0）.
下面求0.
方法一：
（单调性法）
•••点才,0在递减的区间上，
2n
•
T+0*
■./口2n
+0=0,得+$=n+2kn,k€Z,丿3
n
•-0=2kn+—,k€Z.
3
冗
又•••|0|vn,•0=亍
方法二：
（最值点法）将最高点坐标12,3代入y=3sin（2x+0），得3sin2X令+0
•-0+n=n+2kn,k€乙
62
n
0=2kn+—,k€Z.
n
又•••|0|方法三：
（起始点法）函数y=Asin（3x+0）的图像一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由3x+0=0解得的，故只要找出起始点的横坐标x,就可以迅速求得初
相0.
由图像求得xo=-^.
6
丄匚「n\n
故0=—3Xo=-2XI——=—.
n
方法四：
（平移法）由图像知，将y=3sin2x的图像沿x轴向左平移~6个单位，就得到
本题图像，故0=2X=+
63
迁移与应用1•¥
nx+n
2.f（x）=4sin
Ux+4丿
活动与探究5解：
（1）•••f（x）为偶函数,
6=kn+-2（k€Z）,
=kn+牛，k€Z.
横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到
rxn卄2n8n_,、/、十
当2knW—~3W2kn+n（k€Z），即4kn+~^WxW4kn+丁（k€Z）时，g（x）单调
递减.
因此g（x）的单调递减区间是
（k€Z）.
2n
~3~，
4kn+
8n
迁移与应用⑴f（x）=2sin
1.B2.D3.
.n
（2）|-g+kn,
【当堂检测】
C4•仔気
]1212
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