各种等腰三角形难题.docx
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各种等腰三角形难题
各类等腰三角形难题
例1.在⊿ABC中,AB=AC,且∠A=20°,在为AB上
一点,AD=BC,连接CD.
试求:
∠BDC的度数.
分析:
题中出现相等的线段,以此为突破口,构造全等三角形.
解:
作∠DAE=∠B=80°,使AE=BA,（点D,E在AC两侧）
连接DE,CE.
∵AE=BA;AD=BC;∠DAE=∠B.
∴⊿DAE≌⊿CBA（SAS）,DE=AE;∠DEA=∠BAC=20°.
∠CAE=∠BAE-∠BAC=60°,又AE=AB=AC.
∴⊿AEC为等边三角形,DE=CE;∠DEC=∠AEC-∠DEA=40°.
则:
∠CDE=70°;又∠ADE=80°.故∠ADC=150°,∠BDC=30°.
例2.已知,如图:
⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°.
点D和E分别在AB,AC上,且∠BCD=50°,∠CBE=60°.
试求∠DEB的度数.
本题貌似简单,其实不然.
解:
过点E作BC的平行线,交AB于F,连接CF交BE于点
G,连接DG.易知⊿GEF,⊿GBC均为等边三角形.
∴∠FEG=∠EFG=60°;∠AFG=140°,∠DFG=40°;
∵∠BCG=50°;∠CBD=60°.
∴∠BDC=50°=∠BCD,则BD=BC=BG;又∠ABE=20°.
故∠BGD=80°,∠DGF=180°-∠BGD∠-FGE=40°.
即∠DGF=∠DFG,DF=DG;又EG=EF;DE=DE.
∴⊿DGE≌⊿DFE（SSS）,得:
∠DEG=∠DEF=30°.
所以,∠DEB=30°.
例3.已知,等腰⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°,D和E分别
为
AB和AC上的点,且∠ABE=10°,∠ACD=20°.
试求:
∠DEB的度数.
本题相对于上面两道来说,难度又增加了许多.且看我下面的解答.
解:
在CA上截取CM=CB,连接BM,DM,则∠CMB=∠CBM=50°.
作DG∥BC,交AC于G,连接BG,交CD于F,连接FM.
易知⊿BCF和⊿DGF为等边三角形,CM=CB=CF.
∴∠CMF=∠CFM=80°,∠GMF=100°.
∠GFM=∠GFC-∠CFM=40°;∠FGM=∠A+∠ABG=40°.
即∠GFM=∠FGM;FM=GM;又∠DF=DG,DM=DM.
则⊿DMF≌⊿DMG,∠DMG=∠DMF=50°.
故∠DMC=130°=∠EMB;又∠DCM=∠EBM=20°.
∴⊿DMC∽⊿EMB,DM/MC=EM/MB;又∠DME=∠BMC=50°.
∴⊿DME∽⊿CMB,∠DEM=∠CBM=50°.
又∠BEC=∠ABE+∠A=30°.
所以,∠DEB=∠DEG∠-BEC=50°-30°=20°.
例4.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。
求证：
M是BE的中点。
思路点拨：
欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证BD
＝ED。
因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝∠ABC，而由CE＝CD，又可证∠E＝∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。
证明：
因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点所以∠1＝∠ABC
又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E
所以∠ACB＝2∠E
即∠1＝∠E
所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M
所以M是BE的中点（等腰三角形三线合一定理）
例5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C
作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，求证：
BD=2CE．
思路点拨：
根据已知条件，易证△BFE≌△BCE，所以BF=BC，所以∠F=∠BCE，根据等腰三角形三线合一这一性质，CE=FE，再证明△ABD≌△ACF，证得BD=CF，从而证得BD=2CE．
证明：
∵∠ABC的平分线交AC于D，
∴∠FBE=∠CBE，
又BE=BE，∵BE⊥CF，
∴∠BEF=∠BEC，
∴△BFE≌△BCE（ASA），
∴CE=EF，
∴CF=2CE，
∵∠BAC=90°，且AB=AC，
∴∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠FBE=∠CBE=22.5°，
∴∠F=∠ADB=67.5°，
又AB=AC，
∴△ABD≌△ACF（AAS），
∴BD=CF，
∴BD=2CE．
例6.如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE过O且平行于BC，已知△ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，求△ABC的周长
思路点拨根据题意先证明△BDO和△CEO是等腰三角形，再结合等腰三角形的性质得BD=OD，CE=EO，根据已知△ADE的周长为10cm，再加上BC的长即可得△ABC的周长．
解：
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，
∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，
∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，
∴BD=OD，CE=EO（等角对等边）
∵AD+DE+AE=10cm，
∴AD+BD+CE+EA=10cm，
又BC的长为5cm，所以△ABC的周长是：
AD+BD+CE+EA+BC=10+5=15cm．
例7.三角形ABC，AB=AC，边BC的中点为D
（1）画图：
作一个等边三角形DEF，使顶点E,F分别在边AB和AC上
（2）你所作的等边三角形DEF的边EF与BC平行吗？
理由是什么？
（3）是否可能作一个等边三角形DEF，使它的边EF与BC不平行？
如有可能，指出角
A的度数；如不可能，说出理由解：
⑴见图
作法：
在三角形ABC内部作∠BDE＝∠CDF＝60度，角的两边分别交AB、AC于E、F，连接EF
则三角形DEF就是所要求作的等边三角形
⑵平行。
理由：
因为AB＝AC
所以∠B＝∠C
因为D是BC中点
所以BD＝CD
因为∠BDE＝∠CDF＝60度
所以△BDE≌△CDF（ASA），∠EDF＝60度所以DE＝DF
所以三角形DEF是等边三角形
所以∠BDE＝∠DEF＝60度
所以EF//BC
⑶可能。
∠A＝120度
证明要点：
因为EF与BC不平行，
所以AE≠AF，不妨设AE＞AF
过F作FG//BC，交AB于G，连接DG
容易证明△BDG≌△CDF
所以DG＝DF＝DE，∠BGD＝∠CFD
由DE＝DG得∠DEG＝∠DGE
所以∠DEG＝∠CFD
所以A、E、D、F四点共圆
所以∠A＋∠EDF＝180度
所以∠A＝120度
例8.三角形ABC中，AB=AC,D在AC上,E在AB上，连结DE，已知顶角等于20°,∠CBD=60°,∠ECB=50°.求∠ADE的度数
解：
以B为圆心，BC为半径画弧，交AC于G，连接DG，则：
BG=BC，∠BGC=∠ACB；已知：
AB=AC，∠A=20°，
则：
∠ABC=∠ACB=80°，
∠BGC=∠ACB=80°，
∠GBC=20°，
∠ABG=60°；已知：
∠CBD=60°，
则：
∠ABD=20°，∠DBG=40°，
∠BDG=∠BGC-∠DBG=40°，BG=DG；
已知：
∠ECB=50°，
则：
∠BRC=180°-∠ABC-∠ECB=50°；
已知：
圆孤，∠ABG=60°，
则：
BE=BC=BG=DG，△BGE为正三角形，
EG=BE=BC=BG=DG，∠EGB=60°，
∠DGE=180°-∠BGC-∠EGB=40°；已知：
EG=DG,
则：
∠GED=∠EDG=（180°-∠DGE）/2=70°，
∠ADE=180°-∠EDG=110°。
例9.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。
求证：
M是
BE的中点。
A
D
1
BMCE
分析：
欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证BD＝ED。
因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝1∠ABC，而由
2
CE＝CD，又可证∠E＝1∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。
2
证明：
因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点所以∠1＝1∠ABC
2
又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E
所以∠ACB＝2∠E
即∠1＝∠E
所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M
所以
M是
BE
的中点
（等腰三角形三线合一定理）
例
10.如图，已知：
ABC中，
AB
AC，D
是
BC
上一点，且
ADDB，DCCA，求BAC的度数。
A
B
D
C
分析：
题中所要求的
BAC在ABC中，但仅靠AB
AC是无法求
出来的。
因此需要考虑AD
DB和DC
CA在题目中的作用。
此时图
形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系。
因此可利用等腰三角形
的性质和三角形的内外角关系定理来求。
解：
因为AB
AC，所以BC
因为AD
DB，所以B
DAB
C；
因为CA
CD，所以CAD
CDA（等边对等角）
而
ADC
B
DAB
所以
ADC
2B，DAC
2B
所以BAC
3B
又因为
B
C
BAC180
即B
C3B
180
所以B
36
即求得BAC108
说明1.等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥
梁。
把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。
本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。
2.注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。
3.此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类
题目的常用方法。
例11.已知：
如图，ABC中，ABAC，CDAB于D。
求证：
BAC2DCB。
A
12
D
3
BC
E
分析：
欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，BAC是
等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与DCB的关系。
证明：
过点A作AEBC于E，ABAC
所以
因为
121BAC（等腰三角形的三线合一性质）
2
1B90
又CDAB，所以CDB90
所以3B90（直角三角形两锐角互余）
所以13（同角的余角相等）
即BAC2DCB
说明：
1.作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。
因此添加底边的高是一条常用的辅助线；
2.对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”
等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或
构造“倍”。
因此，本题还可以有其它的证法，如构造出DCB的等角等。
例12．已知：
如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE
⊥AB，DF⊥AC，E、F分别是垂足。
求证：
AE＝AF。
A
EF
BDC
证明：
因为ABAC，所以BC
又因为DEAB，DFAC
所以BEDCFD90
又D是BC的中点，所以DBDC
所以DEBCFD（AAS）
所以BECF，所以AEAF
说明：
证法二：
连结AD，通过AED
AFD证明即可
例13.如图，ABC中，AB
AC，A
100，BD平分ABC。
求证：
ADBD
BC。
A
D
1
B
2
E
FC
分析一：
从要证明的结论出发，在
BC上截取BFBD，只需证
明CFAD，考虑到
1
2，想到在BC上截取BEBA，连结DE，
易得，则有ADFD，只需证明DECF，这就要从条件出发，通过角
度计算可以得出
CF
DF
DE。
证明一：
在
BC
上截取
BE
BA，BF
BD，连结
DE、DF
在
ABD
和
EBD
中，BA
BE，
1
2，BD
BD
ABD
EBD（SAS）
AD
DE，
BED
A100
DEF
80
又ABAC，A100
ABC
C
1（180
100）
40
1
2
1
2
40
20
2
而BD
BF
BFD
BDF
1
（180
2）
1
20）
80
2
（180
2
DEF
DFE
80
DE
DF
DFE
80，
C
40
FDC
DFE
C
80
40
40
FDC
C
DF
FC
AD
DE
DFFC
BCBF
FC
BD
AD
即ADBDBC
例题14：
如图，可以考虑延长BD到E，使DE＝AD，这样BD＋AD=BD+DE=BE，只需证明BE＝BC，由于220，只需证明
EBCE80
A
3
D
E
6
1
4
5
B2
FC
易证
EDC
ADB
180
10020
60，
BDC
120，故作
BDC
的角平分线，则有
ABD
FBD
，进而证明
DEC
DFC，从而可证
出
E
80。
证明二：
延长BD到E，使DE＝AD，连结CE，作DF平分BDC
交BC于F。
由证明一知：
1
220
，A
100
则
有
3180100
20
60，6
3
60，BDC
180
60120
DF平分BDC
4
5
60
3
4
5
6
60，在ABD和FBD中
1
2，BD
BD，3
4
ABD
FBD（ASA）
AD
FD，BFD
A100，而AD
DE，DF
DE
在DEC和DFC中，DE
DF，
5
6，DC
DC
DEC
DFC（SAS）
E
DFC
180
BFD
180
100
80
在BCE中，220，380
BCE
80，
E
BCE
BC
BE，
AD
BD
BC
说明：
“一题多证”在几何证明中经常遇到，它是培养思维能力提高解题水平的有效途径，读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会，进一步提高自身的解题能力。
例15.如图，ABC是等边三角形，CBD90，BDBC，则1的
度数是________。
A
2
C
1
3D
B
分析：
结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。
解：
因为
ABC是等边三角形
所以AB
BC，ABC
60
因为BD
BC，所以AB
BD
所以3
2
在ABD中，因为
CBD
90，ABC60
所以ABD
150，所以
215
所以1
2
ABC
75
例16.求证：
等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.
已知：
如图，在ABC中，ABAC，D、E分别为AC、AB边中点，BD、CE交于O点。
求证：
点O在BC的垂直平分线上。
分析：
欲证本题结论，实际上就是证明OBOC。
而OB、OC在
ABC中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么问题就转化为
证含有1、2的两个三角形全等。
证明：
因为在ABC中，ABAC
所以ABCACB（等边对等角）
又因为D、E分别为AC、AB的中点，所以DCEB（中线定义）
在BCD和CBE中，
DCEB（已证）
DCBEBC（已证）
BCCB（公共边）
所以BCDCBE（SAS）
所以12（全等三角形对应角相等）。
所以OBOC（等角对等边）。
即点O在BC的垂直平分线上。
说明：
（1）正确地理解题意，并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步。
特别是把“在
底边的垂直平分线上”正确地理解成“OB＝OC”是关键的一点。
（2）实际上，本题也可改成开放题：
“△ABC中，AB＝AC，D、
E分别为AC、AB上的中点，BD、CE交于O。
连结AO后，试判断
AO与BC的关系，并证明你的结论”其解决方法是和此题解法差不
多的。
例17.ABC中，ABAC，A120，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求证：
DE1BC。
2
分析：
此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。
题目中是
求线段的倍半关系，观察图形，考虑取BC的中点。
证明：
过点A作BC边的垂线AF，垂足为F。
E
A
3
2
D
1
B
F
C
在ABC中，ABAC，BAC
120
所以
B
C
30
3
1
所以
1
2
60，BF
1BC（等腰三角形三线合一性质）。
2
所以
3
60（邻补角定义）。
所以1
3
又因为ED垂直平分AB，所以E
30（直角三角形两锐角互余）。
AD
1AB（线段垂直平分线定义）。
2
1
AB（直角三角形中
角所对的边等于斜边的一
又因为AF
2
半）。
所以AD
AF
在RtABF和RtAED中，
13（已证）AFAD（已证）
AFBADE90
所以RtABFRtAED（ASA）
所以EDBF
即ED1BC。
2
例18：
如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，
取AB的中点E，连接CD和CE.求证：
CD=2CE
分析：
（ⅰ）折半法：
取CD中点F，连接BF，再证CEB≌ΔCFB.这里
注意利用BF是ACD中位线这个条件。
证明：
取CD中点F，连接BF
1
∴BF=2AC,且BF∥AC（三角形中位线定理）
∴∠ACB＝∠2（两直线平行内错角相等）
又∵AB=AC
∴∠ACB＝∠3（等边对等角）
∴∠3＝∠2
在CEB与CFB中，
BF=BE
∠3＝∠2CB=CB
∴CEB≌ΔCFB（SAS）
1
∴CE=CF=2CD（全等三角形对应边相等）
即CD=2CE
（ⅱ）加倍法
证明：
延长CE到F，使
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