沪科版数学八年级上册第13章整合提升试题及答案.docx
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沪科版数学八年级上册第13章整合提升试题及答案
沪科版数学八年级上册第13章专训一：
三角形中的计数问题
名师点金：
在复杂的图形中数三角形个数的常见方法有：
按顺序计数法、按基本图形计数法、由特殊到一般计数法．计数的原则是做到不重复、不遗漏．
按顺序计数
1．如图，在△ABG中，D，E，F都是BG上的点，则图中共有________个三角形，它们分别是_____________________________________________________________________
____________________________________________________________________.
（第1题）
（第2题）
2．如图，图中三角形的个数为（ ）
A．2 B．18 C．19 D．20
按基本图形计数
3．如图，在△ABC中，M，N，P，Q，E为BC边上的点，连接AM，AN，AP，AQ，AE，数一数图中共有多少个三角形？
并说明你是怎样数的．
（第3题）
由特殊到一般计数
4．
（1）如图①，当△ABC内部有1条线段（AD）时，共有________个三角形；
（2）如图②，当△ABC内部有2条线段（AD，AE）时，共有________个三角形；
（第4题）
（3）如图③，当△ABC内部有3条线段（AD，AE，AF）时，共有________个三角形；
（4）当△ABC内部有4条这样的线段时，共有________个三角形；
（5）当△ABC内部有n条这样的线段时，共有________个三角形．
5．阅读材料，并填表：
在△ABC中，有一点P，当P，A，B，C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图），当△ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？
（第5题）
完成下表：
△ABC内点的个数
1
2
3
…
1007
构成不重叠的小三角形的个数
3
5
…
6.根据表中三角形叠加的规律，探求三角形叠加的层数与内部不再含三角形的三角形个数之间的关系，写出相应的关系式．（用含n的式子表示）
三角形
层数
个数
1
1＝12
2
1＋3＝22
3
1＋3＋5＝32
4
…
…
…
n
专训二：
几种热门考点
名师点金：
本章在学习三角形的基础知识中主要涉及与三角形有关的线段，命题与证明，和三角形内角、外角相关的知识，一般考查的题型包括三角形的三边关系，三角形的中线、高线、角平分线，命题与证明，以及与三角形内角和外角性质相关的角度的计算等．
三角形的三边关系
1．现有长度分别为3cm，4cm，7cm，9cm的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．9B．12
C．9或12D．5
3．三角形的一边长是8，另一边长是1，第三边长如果是整数，则第三边长是________，这个三角形是________三角形．
4．已知等腰三角形的周长是10，且三边长都是整数，求三边长．
三角形的三种特殊线段
（第5题）
5．如图，AD是BC边上的中线，如果AB＝3厘米，AC＝4厘米，则△ACD与△ABD的周长差、面积差分别为（ ）
A．1厘米，0厘米2B．2厘米，1厘米2
C．3厘米，6厘米2D．无法确定
6．以下说法错误的是（ ）
A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点
D．三角形的三条高可能相交于三角形外部一点
7．如图，CD平分∠ACB，BF是△ABC的高，BF与CD交于点M，若∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠BMC的度数．
（第7题）
命题与证明
8．下列语句中，不是命题的是（ ）
A．过一点作已知直线的垂线
B．两点确定一条直线
C．钝角大于90°
D．两个锐角的和是钝角
9．举反例说明命题“一个角的补角大于这个角”是假命题．反例：
________________________________________________________________________.
10．命题“a，b是有理数，若a＞b，则a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题．请你写出一种改法：
________________________________________________________________________.
三角形的内角和定理及推论的应用
11．△ABC三个内角之间的关系为∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶8，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
12．（2015·资阳）如图，已知AB∥CD，∠C＝70°，∠F＝30°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
（第12题）
（第13题）
13．（2014·泰安）如图，把一直尺放置在一个三角形纸片上，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＋∠6>180° B．∠2＋∠5<180°
C．∠3＋∠4<180°D．∠3＋∠7>180°
14．如图，在△ABC中，∠A＝∠ACB，CD平分∠ACB交AB于点D，∠ADC＝150°，则∠B等于（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
（第14题）
（第15题）
15．（2015·南充）如图，点D在△ABC的边BC延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是________度．
16．满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？
（1）∠A＝30°，∠C＝∠B；
（2）三个内角的度数比为1∶2∶3.
17．如图，已知D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，DF交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．
（第17题）
18．如图，BC平分∠ABE，DC平分∠ADE.求证：
∠E＋∠A＝2∠C.
（第18题）
数学思想方法的应用
a．方程思想
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，BD是∠ABC的平分线，求∠A的度数．
（第19题）
b．分类讨论思想
20．已知等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于9，求这个三角形的周长．
c．整体思想
21．如图，∠DBC＝2∠ABD，∠DCB＝2∠ACD，试说明∠A与∠D之间的关系．
（第21题）
答案
专训一
1．10；△ABD，△ABE，△ABF，△ABG，△ADE，△ADF，△ADG，△AEF，△AEG，△AFG
点拨：
图中的三角形都有一个公共顶点A，只需在BG上找出所有的线段即可，BG上共有10条线段：
BD，BE，BF，BG，DE，DF，DG，EF，EG，FG，运用这种有序化的思路来找，便可找出所有的三角形．
2．D
3．解：
图中共有21个三角形．我们可以按基本图形计数，以1个三角形为基本图形，则有6个三角形，分别为△ABM，△AMN，△ANP，△APQ，△AQE，△AEC；以2个三角形为基本图形，则有5个三角形，分别为△ABN，△AMP，△ANQ，△APE，△AQC；以3个三角形为基本图形，则有4个三角形，分别为△ABP，△AMQ，△ANE，△APC；以4个三角形为基本图形，则有3个三角形，分别为△ABQ，△AME，△ANC；以5个三角形为基本图形，则有2个三角形，分别为△ABE，△AMC；以6个三角形为基本图形，则有1个三角形，它是△ABC.所以图中共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（个）三角形．
4．
（1）3
（2）6 （3）10 （4）15 （5）
点拨：
本题利用了由特殊到一般的思想．当三角形内部有n条线段时，三角形的个数为（n＋1）＋n＋（n－1）＋…＋3＋2＋1.设S＝（n＋1）＋n＋（n－1）＋…＋3＋2＋1 ①，S＝1＋2＋3＋…＋（n－1）＋n＋（n＋1） ②，①＋②，得2S＝（n＋2）＋（n＋2）＋…＋（n＋2）,\s\do4（（n＋1）个））．
所以S＝
.
5．解：
填表如下：
△ABC内
点的个数
1
2
3
…
1007
构成不重
叠的小三
角形的个数
3
5
7
…
2015
点拨：
当△ABC内有1个点时，构成互不重叠的小三角形的个数是3＝1×2＋1；当△ABC内有2个点时，构成互不重叠的小三角形的个数是5＝2×2＋1；当△ABC内有3个点时，构成互不重叠的小三角形的个数是7＝3×2＋1；参考上面数据可知，构成互不重叠的小三角形的个数与点的个数之间的关系是：
三角形内有n个点时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n＋1，故当△ABC内有1007个点时，构成互不重叠的小三角形的个数是1007×2＋1＝2015.
6．16；n2 点拨：
1层：
1＝12；2层：
1＋3＝22；3层：
1＋3＋5＝32；4层：
1＋3＋5＋7＝42；….以此类推，可以得出当叠加的层数为n层时，内部不再含三角形的三角形个数为1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n2.
专训二
1．B 2.B 3.8；等腰
4．解：
设等腰三角形的腰长为a，底边长为b，由题意得
解得0＜b＜5.∵a，b均取整数，∴b只能取2或4.
当b＝2时，a＝4，当b＝4时，a＝3.
∴三角形的三边长为4，4，2或3，3，4.
5．A 6.A
7．解：
因为∠A＝60°，∠ABC＝50°，所以∠ACB＝70°.因为BF是△ABC的高，所以∠BFC＝90°，所以∠FBC＝180°－∠BFC－∠ACB＝180°－90°－70°＝20°.因为CD平分∠ACB，所以∠BCM＝
∠ACB＝35°，所以∠BMC＝180°－∠BCM－∠FBC＝180°－35°－20°＝125°.
点拨：
本题综合考查了三角形的角平分线、高的定义，利用三角形的内角和为180°解题．
8．A
9．这个角是100°，它的补角是80°
10．a＞b＞0 点拨：
答案不唯一．
11．D 12.C 13.D 14.C 15.60
16．解：
（1）因为∠A＝30°，∠C＝∠B，
所以∠B＝∠C＝
＝75°.
所以△ABC是锐角三角形．
（2）180°×
＝30°，180°×
＝60°，
180°×
＝90°，
所以此三角形为直角三角形．
17．解：
因为∠A＝35°，∠AFE＝90°，
所以∠AEF＝55°，所以∠CED＝55°.
又因为∠D＝42°，所以∠ACD＝180°－∠CED－∠D＝180°－55°－42°＝83°.
（第18题）
18．证明：
如图，∵∠1＋∠A＝∠3＋∠C①，∠2＋∠C＝∠4＋∠E②，
且∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴①②两式相加可得：
∠1＋∠A＋∠4＋∠E＝∠3＋∠C＋∠2＋∠C，∴∠E＋∠A＝2∠C.
19．解：
因为∠ABC＝∠C＝∠BDC，
所以∠A＝∠BDC－∠ABD＝∠BDC－
∠ABC＝∠BDC－
∠BDC＝
∠BDC＝
∠C＝
∠ABC.
设∠A＝x，则∠ABC＝∠C＝2x，列方程得x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，即∠A＝36°.
20．解：
若腰长为5，底边长为9，
因为5＋5＞9，符合三角形三边关系，
所以此时能组成三角形，周长为5＋5＋9＝19.
若腰长为9，底边长为5，显然此时也能组成三角形，周长为9＋9＋5＝23.
所以这个三角形的周长为19或23.
21．解：
因为∠DBC＝2∠ABD，∠DCB＝2∠ACD.
所以∠ABC＝
∠DBC，∠ACB＝
∠DCB.
所以∠A＝180°－（∠ABC＋∠ACB）
＝180°－
＝180°－
（∠DBC＋∠DCB）
＝180°－
（180°－∠D）
＝180°－270°＋
∠D
＝
∠D－90°.
即∠A＝
∠D－90°.
专训一：
三角形三边关系的巧用
名师点金：
三角形的三边关系应用广泛，利用三边关系可以判断三条线段能否组成三角形、已知两边求第三边的长或取值范围、证明线段不等关系、化简绝对值、求解等腰三角形的边长及周长等问题．
判断三条线段能否组成三角形
1．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，不能摆成三角形的一组是（ ）
A．4，4，8B．5，5，1
C．3，7，9D．2，5，4
2．有四条线段，长度分别为4cm，8cm，10cm，12cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？
分别写出来．
求三角形第三边的长或取值范围
3．一个三角形的两边长分别为5cm和3cm，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是（ ）
A．2cm或4cmB．4cm或6cm
C．4cmD．2cm或6cm
4．如果三角形的两边长分别为3和5，则周长l的取值范围是（ ）
A．6＜l＜15B．6＜l＜16
C．11＜l＜13D．10＜l＜16
5．若三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m满足10＜m＜22，则这样的三角形有________个．
三角形的三边关系在等腰三角形中的应用
6．等腰三角形的一条边长为6，另一条边长为13，则它的周长为（ ）
A．25B．25或32
C．32D．19
7．已知等腰三角形ABC的底边BC＝8cm，|AC－BC|＝2cm，则AC＝________．
8．若等腰三角形的底边长为4，且周长小于20，则它的腰长b的取值范围是____________．
三角形的三边关系在代数中的应用
9．已知三角形三边长分别为a，b，c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|＝10，求b的值．
10．已知a，b，c是△ABC的三边长，b，c满足（b－2）2＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周长．
利用三角形的三边关系说明边的不等关系
11．如图，已知D，E为△ABC内两点，说明：
AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
（第11题）
专训二：
三角形的三种重要线段
名师点金：
三角形的高线、中线和角平分线是三角形中三种重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起到了很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度认识这三种线段．
三角形的高
类型1 找三角形的高
1．如图，已知AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，AC与BD交于点E.△ADE的边DE上的高为________，边AE上的高为________．
（第1题）
类型2 作三角形的高
2．（动手操作题）画出图中△ABC的三条高．（要标明字母，不写画法）
（第2题）
类型3 应用三角形的高
3．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边上的高AD＝4.
（1）求△ABC的面积及AC边上的高BE的长；
（2）求AD∶BE的值．
（第3题）
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G.
（第4题）
试说明：
DE＋DF＝BG.
三角形的中线
类型1 利用中线求长度
5．如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝4，DE＝2，则BD的长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
（第5题）
（第6题）
6．如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的周长为（ ）
A．40 B．46 C．50 D．56
7．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15cm和6cm两部分，求这个等腰三角形的三边长．
类型2 利用中线求面积
8．（2015·广东改编）如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG∶GD＝2∶1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是________．
（第8题）
9．操作与探索：
在图①～③中，△ABC的面积为a.
（第9题）
（1）如图①，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA，若△ACD的面积为S1，则S1＝________（用含a的代数式表示）；
（2）如图②，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE，若△DEC的面积为S2，则S2＝________（用含a的代数式表示），请说明理由；
（3）如图③，在图②的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD，FE，得到△DEF，若阴影部分的面积为S3，则S3＝________（用含a的代数式表示）．
三角形的角平分线
类型1 三角形角平分线定义的直接应用
10．
（1）如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE为角平分线的三角形有__________；
（2）如图，若已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线．
（第10题）
类型2 三角形的角平分线与高线相结合求角的度数
11．如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝20°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．
（第11题）
类型3 求三角形两内角平分线的交角度数
12．如图，在△ABC中，BE，CD分别为其角平分线且交于点O.
（1）当∠A＝60°时，求∠BOC的度数；
（2）当∠A＝100°时，求∠BOC的度数；
（3）当∠A＝α°时，求∠BOC的度数．
（第12题）
专训三：
命题与证明
名师点金：
命题贯穿于数学始终，是数学的基础知识，学习时，要会判断一句话是不是命题，能找出命题的条件和结论，会判断命题的真假，会用证明的方法去证明一个真命题．
命题的定义与结论
1．下列句子是命题的有（ ）
（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？
（2）垂线段最短，对吗？
（3）等角的补角相等；
（4）两条直线相交只有一个交点；
（5）同旁内角互补．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．写出下列命题的条件和结论：
（1）平行于同一条直线的两条直线平行；
（2）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；
（3）两点确定一条直线．
命题的真假
3．判断下列命题的真假，如果是假命题，请举一个反例．
（1）一个三角形如果有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形；
（2）如果|a|＝|b|，那么a3＝b3；
（3）如果AC＝BC，那么点C是AB的中点；
（4）如果等腰三角形的两条边长分别为5和7，那么这个等腰三角形的周长为17.
命题的证明
类型1 证明真命题
（第4题）
4．已知：
如图∠1＝∠2，求证：
BE∥CF.
现有下列步骤：
①∵∠2＝∠1；②∴∠ABC＝∠BCD＝90°；③∴BE∥CF；④∵AB⊥BC，DC⊥BC；⑤∴∠EBC＝∠FCB.那么能体现证明顺序规范的是（ ）
A．①②③④⑤B．③④⑤②①
C．④②①⑤③D．⑤②③①④
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.求证：
∠1＝∠A，∠2＝∠B.
（第5题）
类型2 证明假命题
6．已知命题：
“一个锐角与一个钝角的度数之和一定等于180°”，请你判断这个命题的真假，如果是假命题，请你用举反例的方法说明它是假命题．
专训四：
三角形内角和与外角和的几种常见应用类型
名师点金：
关角的很多问题，一般可用于直接计算角度、三角尺或直尺中求角度、与平行线的性质综合求角度、截角或折叠问题中求角度等．
直接计算角度
1．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，点D，E分别在BC，AC的延长线上，则∠1＝________．
（第1题）
（第2题）
2．（2015·朝阳）如图，AB∥CD，∠A＝46°，∠C＝27°，则∠AEC的大小应为（ ）
A．19°B．29°C．63°D．73°
3．在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B＝________．
三角尺或直尺中求角度
4．（2015·咸宁）如图，把一块直角三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．40° C．30° D．25°
（第4题）
（第5题）
5．一副三角尺ABC和DEF如图放置（其中∠A＝60°，∠F＝45°），使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为________．
6．一副三角尺如图所示摆放，以AC为一边，在△ABC外作∠CAF＝∠DCE，边AF交DC的延长线于点F，求∠F的度数．
（第6题）
与平行线的性质综合求角度
7．如图，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，求∠E的度数．
（第7题）
与截角和折叠综合求角度
8．如图，在△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2等于（ ）
A．360° B．250° C．180° D．140°
（第8题）
（第9题）
9．如图，将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠2＝65°，则∠1＝________.
10．如图，将△ABC沿着DE翻折，使B点与B′点重合，若∠1＋∠2＝80°，求∠B的度数．
（第10题）
答案
专训一
1．A 点拨：
4＋4＝8，不能摆成三角形．
2．解：
可以组成3个三角形，分别为：
（1）8cm，10cm，12cm；
（2）4cm，10cm，12cm；（3）4cm，8cm，10cm.
3．B 点拨：
设三角形第三边的长为xcm，则5－3＜x＜5＋3，即2＜x＜8.又在2到8之间的整数有3，4，5，6，7，而三角形的周长x＋3＋5＝x＋8应为偶数，所以x也是偶数，即x的值只能是4或6.所以三角形第三边的长是4cm或6cm.
4．D 点拨：
设第三边的长为x，则2＜x＜8，所以周长l的取值范围是3＋5＋2＜l＜3＋5＋8，即10＜l＜16.
5．4 点拨：
设三边长分别为a，a＋1，a＋2，则m＝3a＋3，所以10＜3a＋3＜22，解得
＜a＜
.所以a的值为3，4，5或6，经验证，都可以组成三角形，即这样的三角形有4个．
6．C
7．10cm或6cm 点拨：
求出AC的长后要验证是否满足三角形的三边关系．
8．2＜b＜8 点拨：
由题意得
解得2＜b＜8.
9．解：
根据三角形的三边关系，可知
a＋b>c，b＋c>a，
所以|a＋b－c|＋|a－b
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