人教版初中数学七年级下册522 平行线的判定学案.docx

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人教版初中数学七年级下册522平行线的判定学案

平行线的判定（基础）知识讲解

【学习目标】

1.熟练掌握平行线的画法；

2.掌握平行公理及其推论；

3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.

【要点梳理】

要点一、平行线的画法及平行公理

1.平行线的画法

用直尺和三角板作平行线的步骤：

①落：

用三角板的一条斜边与已知直线重合.

②靠：

用直尺紧靠三角板一条直角边.

③推：

沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.

④画：

沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.

2.平行公理及推论

平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

要点诠释：

（1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．

（2）公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．

（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.

要点二、平行线的判定

判定方法1：

同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠3＝∠2

∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

判定方法2：

内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠1＝∠2

∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

判定方法3：

同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠4＋∠2＝180°

∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

要点诠释：

平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.

【典型例题】

类型一、平行公理及推论

1．下列说法中正确的有（）

①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为a∥b，c∥d，所以a∥d；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

A．1个B2个C．3个D．4个

【答案】A

【解析】一条直线的平行线有无数条，故①错；②中的点在直线外还是在直线上位置不明确，所以②错，③中b与c的位置关系不明确，所以③也是错误的；根据平行公理可知④正确，故选A．

【总结升华】本题主要考察的是“平行公理及推论”的内容，要正确理解必须要抓住关键字词及其重要特征，在理解的基础上记忆，在比较中理解．

举一反三：

【变式】直线a∥b，b∥c，则直线a与c的位置关系是.

【答案】平行

类型二、平行线的判定

2.（2019秋•龙岗区期末）已知：

如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：

AB∥CD．

【思路点拨】首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C=∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C=∠2，从而证得AB∥CD．

【答案与解析】证明：

∵BE⊥FD，

∴∠EGD=90°，

∴∠1+∠D=90°，

又∠2和∠D互余，即∠2+∠D=90°，

∴∠1=∠2，

又已知∠C=∠1，

∴∠C=∠2，

∴AB∥CD．

【总结升华】此题考查的知识点是平行线的判定，关键是由BE⊥FD及三角形内角和定理得出∠1和∠D互余．

举一反三：

【变式1】（2019•郑州一模）如图，能判定EC∥AB的条件是（　　）

A．∠B=∠ACEB．∠A=∠ECDC．∠B=∠ACBD．∠A=∠ACE

【答案】D.

提示：

A、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；

B、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；

C、不是EC和AB形成的同位角、也不是内错角，故选项错误；

D、正确．

【变式2】已知，如图，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，求证：

AB//CD．

【答案】∵∠1＝∠2

∴2∠1＝2∠2，即∠ABC＝∠BCD

∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）

3.如图所示，由

（1）∠1＝∠3，

（2）∠BAD＝∠DCB，可以判定哪两条直线平行．

【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”．

【答案与解析】

解：

（1）由∠1＝∠3，

可判定AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；

（2）由∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3得：

∠2＝∠BAD-∠1＝∠DCB-∠3＝∠4（等式性质），即∠2＝∠4

可以判定AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

综上，由

（1）

（2）可判定：

AD∥BC，AB∥CD.

【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法．即在条件下探索由这些条件可推导出哪些结论，再由这些结论推导出新的结论，直到得出结果．

4.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？

为什么？

【答案与解析】

解：

这两条直线平行.理由如下：

如图：

∵b⊥a,c⊥a

∴∠1＝∠2＝90°

∴b∥c（同位角相等，两直线平行）．

【总结升华】本题的结论可以作为两直线平行的判定方法.

举一反三：

【变式】已知，如图，EF⊥EG，GM⊥EG，∠1＝∠2，AB与CD平行吗？

请说明理由．

【答案】

解：

AB∥CD．理由如下：

如图：

∵EF⊥EG，GM⊥EG（已知），

∴∠FEQ＝∠MGE＝90°（垂直的定义）．

又∵∠1＝∠2（已知），

∴∠FEQ-∠1＝∠MGE-∠2（等式性质），

即∠3＝∠4．

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．

平行线的判定（基础）巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1.下列关于作图的语句正确的是（）.

A．画直线AB=10厘米.

B．画射线OB=10厘米.

C．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线.

D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行.

2．下列判断正确的个数是（）.

①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②两条不相交的直线叫做平行线；③在同一平面内不相交的两条射线是平行线．

A．0个B．1个C．2个D．3个

3．若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是（）.

A．平行的性质

B．等量代换

C．平行于同一直线的两条直线平行

D．以上都不对

4．下列说法中不正确的是（）.

A．同位角相等，两直线平行.

B．内错角相等，两直线平行.

C．同旁内角相等，两直线平行.

D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行.

5．如图所示，给出了过直线

外一点P作已知直线l的平行线的方法，其依据是（）.

A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行

C．同旁内角互补，两直线平行D．以上都不对

6．（2019•福州）下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（　　）

A．

B．

C．

D

二、填空题

7.两条射线或线段平行，是指.

8．如图所示，直线a，b被c所截，∠1＝30°，∠2:

∠3＝1:

5，则直线a与b的位置关系是________．

9．（2019春•伊宁市校级月考）如图，

（1）要证AD∥BC，只需∠B=　　，根据是　　；

（2）要证AB∥CD，只需∠3=　，根据是　　．

10．如图，已知若∠1+∠2=180°，则∠3+∠4=，ABCD．

11．小军在一张纸上画一条直线，再画这条直线的平行线，然后依次画前一条直线的平行线，当他画到第十条直线时，第十条直线与第一条直线的位置关系是________．

12.已知直线a、b都过点M，且直线a∥l，b∥l，那么直线a、b是同一条直线，根据是________．

三、解答题

13.（2019春•南平期末）已知：

如图AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，试说明：

BE∥CF．

解：

∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）

∴　　=　　=90°（　　）

∵∠1=∠2（已知）

∴　　=　　（等式性质）

∴BE∥CF（　　）

14．（黄石）已知如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，那么CD与AB平行吗?

写出推理过程．

15．如图所示，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，要使AB∥EF，∠4应为多少度，说明理由．

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】D；

2.【答案】A；

【解析】①该点若在已知直线上，画不出与已知直线平行的直线；②平行线的定义必须强调在同一平面内，如图①中的AB与CC′不相交，但也不平行．③如图②中，射线AB与射线CD既不相交，也不平行．

3．【答案】C；

【解析】这是平行线的传递性，其实质是平行公理的推论．

4.【答案】C；

【解析】同旁内角互补，两直线平行.

5.【答案】A；

【解析】这种作法的依据是：

同位角相等，两直线平行．

6.【答案】B；

【解析】如图所示：

∵∠1=∠2（已知），

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故选B

二、填空题

7.【答案】射线或线段所在的直线平行；

8．【答案】平行；

【解析】由已知可得：

∠2＝30°，所以∠1＝∠2，可得：

a∥b.

9．【答案】∠1，同位角相等，两直线平行；∠2，内错角相等，两直线平行．

10.【答案】180°，∥；

【解析】∠1＝∠3，∠2＝4，可得：

∠3+∠4＝∠1+∠2＝180°.

11.【答案】平行；

【解析】平行公理的推论

12.【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；

【解析】这是平行公理的具体内容.

三、解答题

13.【解析】

解：

∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知），

∴∠ABC=∠BCD=90°（垂直的定义），

∵∠1=∠2（已知），

∴∠3=∠4（等式性质），

∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：

∠ABC；∠BCD；90°；∠3；∠4；内错角相等，两直线平行．

14．【解析】

解：

CD∥AB．理由如下：

∵BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线，

∴∠3＝

∠ADC，∠2＝

∠ABC．

∵∠ABC＝∠ADC，

∴∠3＝∠2．

又∵∠1＝∠2，

∴∠3＝∠1．

∴CD∥AB（内错角相等，两直线平行）．

15.【解析】

解：

∠4＝100°．理由如下：

∵∠1＝60°，∠2＝60°，

∴∠1＝∠2．

∴AB∥CD．

又∵∠3＝∠4＝100°，

∴CD∥EF．

∴AB∥EF．