解：
因为B⊆A，
①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
②当B≠∅时，有
解得－1≤m<2.
综上得m≥－1.
3．（变条件）本例若将集合A，B分别改为A＝{－1，3，2m－1}，B＝{3，m2}，其他条件不变，则实数m的值又是什么？
解：
因为B⊆A，所以m2＝2m－1，即（m－1）2＝0，所以m＝1，当m＝1时，A＝{－1，3，1}，B＝{3，1}满足B⊆A.所以m的值为1.
由集合间的包含关系求参数的方法
（1）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论；
（2）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．
[注意]
（1）不能忽视集合为∅的情形．
（2）当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，BA，求m的值．
解：
A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}．
因为BA，
所以B＝{－3}或B＝{2}或B＝∅.
当B＝{－3}时，
由m·（－3）＋1＝0，得m＝
.
当B＝{2}时，
由m·2＋1＝0，得m＝－
.
当B＝∅时，m＝0.
综上所述，m＝
或m＝－
或m＝0.
1．下列命题中正确的是（ ）
A．空集没有子集
B．空集是任何一个集合的真子集
C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集
D．设集合B⊆A，那么，若x∉A，则x∉B
解析：
选D.空集有唯一一个子集，就是其本身，故A，C错误；空集是任何一个非空集合的真子集，故B错误；由子集的概念知D正确．
2．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的最适合的关系是（ ）
A．A⊆B B．A⊇B
C．ABD．AB
解析：
选D.集合A是能被3整除的整数组成的集合，集合B是能被6整除的整数组成的集合，所以BA.
3．满足{a}⊆M{a，b，c，d}的集合M共有（ ）
A．6个B．7个
C．8个D．15个
解析：
选B.依题意a∈M，且M{a，b，c，d}，因此M中必含有元素a，且可含有元素b，c，d中的0个、1个或2个，即M的个数等于集合{b，c，d}的真子集的个数，有23－1＝7（个）．
4．设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，1－2a}，且B⊆A，则a的值为________．
解析：
由题意得1－2a＝3或1－2a＝a，
解得a＝－1或a＝
.
当a＝－1时，
A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，符合条件．
当a＝
时，
A＝
，B＝
，符合条件．
所以a的值为－1或
.
答案：
－1或
[A 基础达标]
1．（2019·衡水检测）已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{3，4，5，X}，若B⊆A，则X可以取的值为（ ）
A．1，2，3，4，5，6 B．1，2，3，4，6
C．1，2，3，6D．1，2，6
解析：
选D.由B⊆A和集合元素的互异性可知，X可以取的值为1，2，6.
2．已知集合A＝{x|x2－9＝0}，则下列式子表示正确的有（ ）
①3∈A；②{－3}∈A；③∅⊆A；④{3，－3}⊆A.
A．4个B．3个
C．2个D．1个
解析：
选B.根据题意，集合A＝{x|x2－9＝0}＝{－3，3}，依次分析4个式子：
对于①3∈A，3是集合A的元素，正确；
②{－3}∈A，{－3}是集合，有{－3}⊆A，错误；
③∅⊆A，空集是任何集合的子集，正确；
④{3，－3}⊆A，任何集合都是其本身的子集，正确；共有3个正确．
3．已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，x∈R}的子集的个数为（ ）
A．1B．2
C．4D．不确定
解析：
选C.方程x2－3x－a2＋2＝0的根的判别式Δ＝1＋4a2>0，
所以方程有两个不相等的实数根，
所以集合M有2个元素，所以集合M有22＝4个子集．
4．已知集合M＝
，N＝{x|x＝
＋
，
}，则（ ）
A．M＝N
B．MN
C．MN
D．M与N没有相同元素
解析：
选C.因为
＋
＝
（2k＋1），
＋
＝
（k＋2），当k∈Z时，2k＋1是奇数，k＋2是整数，又奇数都是整数，且整数不都是奇数，所以MN.故选C.
5．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是（ ）
A．1B．－1
C．1或－1D．0，1或－1
解析：
选D.由题意，当Q为空集时，a＝0，符合题意；当Q不是空集时，由Q⊆P，得a＝1或a＝－1.所以a的值为0，1或－1.
6．设集合M＝{（x，y）|x＋y<0，xy>0}和P＝{（x，y）|x<0，y<0}，那么M与P的关系为________．
解析：
因为xy>0，所以x，y同号，又x＋y<0，所以x<0，y<0，即集合M表示第三象限内的点，而集合P也表示第三象限内的点，故M＝P.
答案：
M＝P
7．已知∅{x|x2＋x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．
解析：
因为∅{x|x2＋x＋a＝0}，所以方程x2＋x＋a＝0有实数根，即Δ＝1－4a≥0，a≤
.
答案：
a≤
8．设A＝{x|－1a}，若AB，则a的取值范围是________．
解析：
集合A，B在数轴上表示如图，由AB可求得a≤－1，注意端点能否取到是正确求解的关键．
答案：
a≤－1
9．判断下列集合间的关系：
（1）A＝{－1，1}，B＝{x∈N|x2＝1}．
（2）P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2（n－1），n∈Z}．
（3）A＝{x|x－3>2}，B＝{x|2x－5≥0}．
（4）A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}．
解：
（1）用列举法表示集合B＝{1}，故BA.
（2）因为Q中n∈Z，所以n－1∈Z，Q与P都表示偶数集，所以P＝Q.
（3）因为A＝{x|x－3>2}＝{x|x>5}，
B＝{x|2x－5≥0}＝
，
所以利用数轴判断A，B的关系．
如图所示，AB.
（4）因为A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，
B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}＝{x|x＝（a－2）2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，所以A＝B.
10．（2019·葫芦岛检测）已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1（1）若A＝B，求y的值；
（2）若A⊆C，求a的取值范围．
解：
（1）若a＝2，则A＝{1，2}，所以y＝1.
若a－1＝2，则a＝3，A＝{2，3}，
所以y＝3，
综上，y的值为1或3.
（2）因为C＝{x|2所以
所以3[B 能力提升]
11．已知集合A＝{0，1}，B＝{x|x⊆A}，则下列关于集合A与B的关系正确的是（ ）
A．A⊆BB．AB
C．BAD．A∈B
解析：
选D.因为x⊆A，所以B＝{∅，{0}，{1}，{0，1}}，则集合A＝{0，1}是集合B中的元素，所以A∈B，故选D.
12．已知A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|4x＋m<0}，当A⊇B时，求实数m的取值范围．
解：
集合A在数轴上表示如图．
要使A⊇B，则集合B中的元素必须都是A中的元素，
即B中元素必须都位于阴影部分内．
那么由4x＋m<0，
即x<－
知，－
≤－2，
即m≥8，
故实数m的取值范围是m≥8.
13．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；
（2）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
（3）当x∈R时，不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
解：
（1）当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝∅满足题意；
当m＋1≤2m－1，
即m≥2时，要使B⊆A成立，
则有m＋1≥－2且2m－1≤5，可得－3≤m≤3，即2≤m≤3.
综上可知，当m≤3时，B⊆A.
（2）当x∈Z时，A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，共8个元素，故A的非空真子集的个数为28－2＝254（个）．
（3）因为x∈R，A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，
所以A，B没有公共元素．
当m＋1＞2m－1，
即m＜2时，B＝∅满足题意；
当m＋1≤2m－1，
即m≥2时，要使A，B没有公共元素，
则有
或
解得m＞4.
综上所述，当m＜2或m＞4时，不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立．
[C 拓展探究]
14．已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，若非空集合C是这样一个集合：
其各元素都加2后，就变为A的一个子集，若各元素都减2后，则变为B的一个子集，则集合C＝________．
解：
由题意知C⊆{0，2，4，6，7}，C⊆{3，4，5，7，10}，所以C⊆{4，7}．又因为C≠∅，所以C＝{4}，{7}或{4，7}
答案：
{4}，{7}或{4，7}
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