（4）M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
解：
（1）集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
（2）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.
（3）集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB.
（4）由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故NM.
集合间基本关系的两种判定方法和一个关键
提醒：
注意元素与集合、集合与集合之间的关系和所用符号的区别．
1．已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0，1，2}，则集合M与N的关系是（ ）
A．M＝N
B．NM
C．MN
D．N⊆M
C 解析：
解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，则M＝{1，2}．因为1∈M且1∈N，2∈M且2∈N，所以M⊆N.又因为0∈N但0∉M，所以MN.
2．已知集合M＝{x|－1＜x＜5}，N＝{x|0＜x＜3}，则正确表示M和N关系的Venn图是（ ）
B 解析：
因为NM，故选B.
3．已知集合A＝
，B＝
，则集合A，B的关系为________．
A＝B 解析：
A＝
，
B＝
.
因为2n＋1，n∈Z和2n＋3，n∈Z都表示所有奇数，所以A＝B.
【例2】已知集合A＝{x∈Z|－2≤x＜2}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则集合B的子集的个数为（ ）
A．7B．8
C．15D．16
B 解析：
由题意得A＝{－2，－1，0，1}，B＝{0，1，4}，所以B的子集有23＝8（个），即∅，{0}，{1}，{4}，{0，1}，{0，4}，{1，4}，{0，1，4}．故选B.
【例3】已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2的a的值为（ ）
A．－2B．4
C．0D．以上答案都不是
C 解析：
由题意知，集合A中只有1个元素，也即x2＝a只有一个解；
若方程x2＝a只有一个解，则有a＝0.
【例4】若A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为________．
6 解析：
由题意A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，可知B＝{6，8，12}，
所以集合B的非空真子集个数为23－2＝6.
元素个数与集合子集个数的关系
（1）探究．
集合A
集合A中元
素的个数n
集合A的
子集个数
∅
0
1
{a}
1
2
{a，b}
2
4
{a，b，c}
3
8
{a，b，c，d}
4
16
（2）结论．
①A的子集有2n个．
②A的非空子集有（2n－1）个．
③A的非空真子集有（2n－2）个（n≥1）．
已知集合A＝{（x，y）|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
解：
∵A＝{（x，y）|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{（0，2），（1，1），（2，0）}．
∴A的子集有：
∅，{（0，2）}，{（1，1）}，{（2，0）}，{（0，2），（1，1）}，{（0，2），（2，0）}，{（1，1），（2，0）}，{（0，2），（1，1），（2，0）}．
探究题1 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1，m为常数}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
解：
①若B＝∅，满足B⊆A，
则m＋1＞2m－1，解得m＜2.
②若B≠∅，满足B⊆A，则
解得2≤m≤3.
综上，实数m的取值范围为{m|m≤3}．
探究题2 已知集合A＝{0，－4}，集合B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0}，若B⊆A，试求a的取值范围．
解：
因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：
①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得
解得a＝1；
②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4},
并且Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＝0，
解得a＝－1，
此时B＝{0}满足题意；
③当B＝∅时，Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＜0，解得a＜－1.
综上所述，所求实数a的取值范围是{a|a≤－1或a＝1}．
已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．
（1）若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；
（2）若集合表示的是不等式（组）的解集，常借助数轴求解，此时需注意端点值能否取到．
1．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1＜x＜m}（m＞1），且B⊆A，则实数m的取值范围是________．
{m|1＜m≤4} 解析：
由于B⊆A，结合数轴分析可知，m≤4，
又m＞1，所以1＜m≤4.
2．已知集合A＝{1，3，x2}，B＝{1，x＋2}，是否存在实数x，使得集合B是A的子集？
若存在，求出A，B；若不存在，请说明理由．
解：
因为B⊆A，所以x＋2＝3或x＋2＝x2（即x－1或x＝－1或x＝2）．
当x＝1时，A＝{1，3，1}不满足互异性，所以x＝1（舍）．
当x＝2时，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，满足B⊆A.
当x＝－1时，A＝{1，3，1}不满足互异性，
所以x＝－1（舍）．
综上，存在x＝2使得B⊆A.
此时，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}．
集合间基本关系练习
（30分钟 60分）
1.（5分）已知集合A＝{x|x2－9＝0}，则下列式子表示正确的有（ ）
①3∈A；②{－3}∈A；③∅⊆A；④{3，－3}⊆A.
A．4个 B．3个
C．2个D．1个
B 解析：
根据题意，集合A＝{x|x2－9＝0}＝{－3，3}．
3∈A，3是集合A的元素，故①正确；
{－3}是集合，有{－3}⊆A，故②错误；
空集是任何集合的子集，故③正确；
任何集合都是其本身的子集，故④正确．
2．（5分）已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，x∈R}的子集的个数为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．不确定
C 解析：
因为方程x2－3x－a2＋2＝0的根的判别式Δ＝1＋4a2＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，
所以集合M有2个元素，所以集合M有22＝4（个）子集．
3．（5分）设A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|1≤a≤3}
B．{a|a≥3}
C．{a|a≥1}
D．{a|1＜a＜3}
C 解析：
因为A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，且B⊆A，所以当B＝∅时，2a＞a＋3，解得a＞3；当B≠∅时，
解得1≤a≤3.综上，a的取值范围是{a|a≥1}．
4．（5分）设集合M＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，N＝{x|x＝4k±1，k∈Z}，则（ ）
A．M＝N
B．MN
C．NM
D．N⊆M
A 解析：
方法一：
（列举法）因为集合M＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，所以其中的元素是奇数且M＝{…，－3，－1，1，3，…}．
因为集合N＝{x|x＝4k±1，k∈Z}，所以其中的元素也是奇数且N＝{…，－3，－1，1，3，…}．
所以它们之间的关系为M＝N.
方法二：
（特征性质法）对于x＝2k－1，k∈Z.当k为偶数，即k＝2n，n∈Z时，x＝4n－1，n∈Z，
当k为奇数，即k＝2n＋1，n∈Z时，
x＝4n＋1，n∈Z，所以集合M＝N.
5.（5分）集合{（x，y）|x＋y＝3，x∈N，y∈N}的非空子集有________个．
15 解析：
{（x，y）|x＋y＝3，x∈N，y∈N}＝{（0，3），（1，2），（2，1），（3，0）}共4个元素，
故原集合的非空子集共有24－1＝15（个）．
6.（5分）已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}，那么M________P．（填“”“”或“＝”）
解析：
对于任意．x∈M，有x＝1＋a2＝（a＋2）2－4（a＋2）＋5.
∵a∈N*，∴a＋2∈N*，∴x∈P.
由子集的定义知，M⊆P.
由a＝2∈N*时，a2－4a＋5＝1∈P，
而1＋a2＝1在a∈N*时无解，∴1∉M.
综上所述，MP.
7.（5分）已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的取值是________．
0，±1 解析：
P＝{－1，1}，
若Q＝∅，则a＝0，此时满足Q⊆P.
若Q≠∅，则Q＝
.由题意知
＝1或
＝－1，解得a＝±1.
综上可知，a的取值是0，±1.
8.（5分）集合A＝
，具有性质“若x∈P，则
∈P”的所有非空子集的个数为________．
7 解析：
根据题意，满足题意的子集有{1}，
，
，
，
，
，
，共7个．
9.（10分）已知集合A＝{x|－5＜x＜5}，B＝{x|－2a＜x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．
解：
因为B⊆A，
当B＝∅时，－2a≥a＋3，解得a≤－1；
当B≠∅时，
解得－1综上，实数a的取值范围为{a|a<2}．
10.（10分）已知集合A＝{x|（x－a）·（x－a＋1）＝0}，B＝{x|（x－2）（x－b）＝0，b≠2}，C＝{x|1＜2x－3＜5}．
（1）若A＝B，求b的值；
（2）若A⊆C，求a的取值范围．
解：
A＝{a，a－1}，B＝{2，b}，
（1）若a＝2，则A＝{1，2}．
因为A＝B，所以b＝a－1＝1.
若a－1＝2，则a＝3，A＝{2，3}，所以b＝3.
综上，b的值为1或3.
（2）C＝{x|2＜x＜4}，因为A⊆C，
所以
所以3＜a＜4.
所以a的取值范围是{a|3＜a＜4}．
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