高二数学第56课直线与椭圆教案.docx

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高二数学第56课直线与椭圆教案

2019-2020年高二数学第56课直线与椭圆教案

●考试目标主词填空

1.椭圆的定义与方程

①椭圆的第一定义：

已知F1，F2是平面内两个定点，P是动点，当且仅当它们满足条件|PF1|+|PF2|=定长2a且2a>|F1F2|时，P的轨迹是椭圆.

②椭圆的第二定义：

设F为定点，l是定直线，P是动点，P、F及l共面，当且仅当它们满足条件

时，P的轨迹是椭圆.

③中心在原点，焦点在x轴上的椭圆方程是，中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程是.

2.椭圆的几何性质

对椭圆b2x2+a2y2=a2b2（a>b>0）而言，其范围是x∈［-a，a］y∈［-b，b］，关于坐标轴和原点对称，顶点坐标是（±a，0），（0，±b），离心率e=准线方程是.

3.点与椭圆的位置关系

点P（x0，y0）在椭圆内部的充要条件是；在椭圆外部的充要条件是；在椭圆上的充要条件是.

4.直线与椭圆的位置关系.

设直线l：

Ax+By+C=0，椭圆C：

，联立l与C，消去某一变量（x或y）得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，则l与C相离的Δ<0；l与C相切Δ=0；l与C相交于不同两点Δ>0.

5.椭圆方程的确定

求椭圆方程，若中心和对称轴已知，则在a、b、c中只须确定两个，因a2=b2+c2常用的方法是列方程组，解方程组，从而确定系数a、b、c.

6.弦长计算

计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P1（x1，y1），P2（x2，y2）|P1P2|==f（k）形式（利用根与系数关系转化）.

●题型示例点津归纳

【例1】根据下列条件求椭圆的标准方程：

（1）两准线间的距离是；

（2）和椭圆共准线，且离心率为；

（3）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点.

【解前点津】

（1）先根据条件选择适当形式的标准方程，然后建立关于a，b，c的方程组确定系数a，b，c；

（2）对给定椭圆上一点与两焦点，可用第一定义求椭圆的方程；

（3）对于给定椭圆上一点及一焦点及相应准线用第二定义求椭圆方程.

【规范解答】

（1）设椭圆长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则

2①，2c=2②，a2=b2+c2③

解由①②③构成的方程组得：

a=3，b=2.

故所求椭圆方程为

.

（2）设椭圆方程为：

（a>0，b>0），则其准线为x=±12，所以：

.

故所求椭圆方程为.

（3）由2a=|PF1|+|PF2|=2，∴a=，由，故所求椭圆方程为

.

【解后归纳】求椭圆的方程，一是选择恰当的形式，二是利用其几何性质，然后列出方程组，通过解方程组确定系数.

【例2】已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆方程.

【解前点津】由题设条件，不能确定焦点是在x轴，还是在y轴上，且对于a、b、c的关系条件未作定性说明，故可设椭圆方程为：

mx2+ny2=1（m>0，n>0）简便.

【规范解答】设椭圆方程为：

mx2+ny2=1（m>0，n>0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），

由中消去y并依x聚项整理得：

（m+n）·x2+2nx+（n-1）=0，Δ=4n2-4（m+n）·（n-1）>0，即m+n-mn>0，OP⊥OQ等价于x1x2+y1y2=0，将y1=x1+1，y2=x2+1代入得：

2x1x2+（x1+x2）+1=0，

∴

①

又|PQ|=

＝

②

联立①②并解之得：

经检验这两组解都满足Δ>0，故所求椭圆方程为x2+3y2=2或3x2+y2=2.

【解后归纳】中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆方程可用统一形式：

mx2+ny2=1

（m>0，n>0），m与n的大小关系，决定了焦点位置.

【例3】设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程.

【解前点津】由条件，可将椭圆标准方程用含一个参数的形式表示，将“最远距离”转化为二次函数的最值.

【规范解答】由e=可推出a=2b，于是可设椭圆方程为：

，即有x2=4b2-4y2.

设M（x，y）是椭圆上任意一点，且-b≤y≤b，∴|PM|2=-3（y+）2+4b2+3，由于y∈［-b，b］，于是转化为在闭区间［-b，b］，求二次函数的最值.

当b<时，y=-b，|PM|2有最大值b2+3b+，令b2+3b+=（）2，解得b=-，舍去.

当b≥时，取y=-知|PM|2有最大值4b2+3，令4b2+3=（）2解得：

b=1，a=2，故所求方程为：

.

【解后归纳】这是一道解析几何与函数的综合题，其知识的交汇点及“等价转化”的数学思想，是必须“关注”的.

【例4】设椭圆方程为，过原点且倾斜角为θ和π-θ（0<θ<）的两条直线分别交椭圆于A、C和B、D两点.

（1）用θ表示四边形ABCD的面积；

（2）当θ∈（0，）时，求S的最大值.

【解前点津】设直线方程为y=x·tanθ，利用椭圆图形的“对称性”，易用θ表示S，然后运用函数的知识，求面积S的最大值.

【规范解答】

（1）设经过原点且倾斜角为θ的直线方程为：

y=x·tanθ，代入求得：

x2=

，由对称性知四边形ABCD为矩形，又由于0<θ<，所以四边形ABCD的面积为：

S=4|xy|=.

（2）当0<θ≤时，0

（0

∵函数f（t）=t+在（0，）上是单调减函数，

∴f（t）min=f

（1）=1+2=3，∴当θ=时，Smax=.

【解后归纳】从代数角度出发，利用椭圆的几何性质，确定四边形ABCD为矩形，是解题的一个亮点，读者应认真体会.

●对应训练分阶提升

一、基础夯实

1.椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是（）

A.B.C.D.

2.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）

A.（0，+∞）B.（0，2）C（1，+∞）D.（0，1）

3.设P为椭圆上一点，F1，F2为焦点，如果∠PF1F2=75°，∠PF2F1=15°，则椭圆的离心率为（）

A.B.C.D.

4.一个椭圆的离心率为e=，准线方程为x=4，对应的焦点为F（2，0），则椭圆的方程为（）

A.3x2+4y2=8B.4x2+3y2=8C.3x2+4y2+8x=0D.3x2+4y2-8x=0

5.椭圆（a>b>0）的中心及两个焦点将x轴夹在准线间的线段四等分，则椭圆的离心率为（）

A.B.C.D.

6.到定点（2，0）的距离与到定直线x=8的距离之比为的动点轨迹方程是（）

A.3x2+4y2=48B.x2+2y2+8x-56=0C.4x2+3y2=48D.3x2+2y2-8x+68=0

7.已知椭圆的焦点为F1（-3，2）、F2（5，2），长轴长为10，则椭圆的方程为（）

A.B.

C.D.

8.已知椭圆内有一点P（1，-1），F为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|取得最小值，则点M的坐标为（）

A.B.C.D.

9.已知椭圆，左、右焦点分别为F1，F2，B（2，2）是其内一点，M为椭圆上的动点，则|MF1|+|MB|的最大值与最小值分别是（）

A.10+，10-B.10+，10-

C.10+2，10-2D.10+2，10-2

二、思维激活

10.椭圆方程为，点A、B在椭圆上，并且直线AB经过椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为F2，则△ABF2的周长是.

11.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P（）和Q（-，3），则椭圆的方程为.

12.P是椭圆（a>b>0）上异于长轴端点的任一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，则椭圆的离心率用α、β表示就是.

13.椭圆（a>b>0）上一点M满足∠F1MF2=α，其中F1、F2为椭圆的两个焦点，则△F1MF2的面积等于.

三、能力提高

14.已知椭圆的焦点在x轴上，P为椭圆上一点，F1、F2为两焦点，且PF1⊥PF2，若P点到两准线的距离分别为6和12，求椭圆的标准方程.

15.椭圆的左右焦点分别为F1和F2，过中心O作直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2的面积为20，求直线AB的方程.

16.已知椭圆（a>b>0），F1、F2分别为其左、右焦点，P为椭圆上任意一点，θ=∠F1PF2，求θ的最大值及θ取得最大值时P点的坐标.

17.已知椭圆+y2=1.

（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（2）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；

（3）过点P且被P点平分的弦所在直线的方程.

第1课直线与椭圆习题解答

1.D因b=1，a=2，∴c=

2.D因a2=，b2=2故由a>b>0得，0

3.B如图所示，在△PF1F2中，∠F1PF2=90°，

∴|PF1|=2c·cos75°，|PF2|=2c·sin75°

2a=2ccos75°+2csin75°

，故选B.

4.D设P（x，y）为椭圆上的流动坐标，由椭圆的第二定义得：

，即4·（x2+y2+4-4x）=（x-4）2化简即得.

5.A由条件得：

2c=.

6.B由椭圆第二定义得：

，化简即得.

7.D将椭圆按向量a=（1，2）平移即得.

8.A如图所示，右准线l的方程为x=4，而l=，

由第二定义得2|MF|=2·|MH|=|MH|，故：

|MP|+2|MF|=|MP|+|MH|≥P到l的距离，过

P作|PH|⊥l交椭圆于M，易求得M的坐标为：

.

9.C因a=5，b=3，∴c=4，由椭圆的定义得：

|MF1|+|MB|=2a-|MF2|+|MB|=10+|MB|-|MF2|，过F2作l⊥x轴交椭圆于Q1，Q2两点，这两点就是所求的点M.

10.因a=2，b=，∴c=，∴左焦点为F1（-，0），

右焦点为F2（，0），∵

∴两式相加得△ABF2的周长是8.

11.因椭圆中心在原点，且以坐标轴为对称轴，∴可设椭圆方程为mx2+ny2=1（m>0，n>0）.由

得

.

故椭圆方程为：

x2+=1.

12.如图所示，在△PF1F2中，由正弦定理得：

|PF2|=2Rsinα，|PF1|=2Rsinβ，|F1F2|=2Rsin（α+β）

.

13.如图所示，则由

（2c）2=（2a）2-（2·2S+2·2S·cosα）·cscαc2=a2-cscα·（1+cosα）·S

∴S=

.

14.如图所示，设椭圆的方程，焦距为2c，则

|PF1|=×6，|PF2|=×12代入：

|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2得36=4c2

a2=45，又6+12=×2，∴c=5，∴b2=a2-c2=20，

故所求椭圆方程为：

.

15.∵当AB⊥F1F2时，，∴AB与F1F2不能垂直，∴可设直线AB的方程为：

y=kx，设A、B两点的坐标分别为（xA，yA），（xB，yB）由

得：

（4+9k2）·x2-180=0，

|xA-xB|=

∵S△ABF=S△OBF+S△OAF=·|OF2|·|yB|+|OF2|·|yA|

=×5（|yB|+|yA|）=|yA-yB|

∵S△ABF=20，∴|yA-yB|=20，

∴|yA-yB|=8即|kxA-kxB|=8，亦即|k|·=8，∴k=±.

故所求直线方程是y=±x.

16.设P（x，y），则

，∴|PF1|=a+x，同理|PF2|=a-x，在△F1PF2中，由余弦定理：

cosθ=

=

=

∴-a≤x≤a

∴0≤x2≤a2，∴当x=0时，cosθ=最小.

17.

（1）设斜率为2并与椭圆相交的直线方程为：

y=2x+m，直线与椭圆的交点为：

A1（x1，y1），A2（x2，y2），中点为P（x，y）从方程组中消去y并依x聚项整理得：

9x2+8mx+（2m2-2）=0，

∴

，-3

x+4y=0.

（2）不妨设过A的直线方程为y-1=k（x-2），即y=kx+（1-2k）从方程组中消去y并依x聚项整理得：

（2k2+1）·x2+4k·（1-2k）·x+（8k2-8k）=0.

故有

设l与椭圆交点为B1（x1，y1），B2（x2，y2），B1B2的中点为M（x，y），则由中点公式得：

①

②

2y=2（1-2k）+k·2xk=代入①得.

2x·

化简得：

x2+2y2-2x-2y=0（夹在椭圆内）.

（3）设以P为中点的直线方程为y-=m（x-），即y=mx+代入椭圆方程得

x2+2·，依x聚项整理得

（2m2+1）x2+2m·（1-m）·x+

∴以P为中点的直线方程为y=-，即2x+4y-3=0为所求直线方程.

2019-2020年高二数学第一章1.1.2《导数的概念》教案

教学目标：

1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

3．会求函数在某点的导数

教学重点：

瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

教学难点：

导数的概念．

教学过程：

一．创设情景

（一）平均变化率

（二）探究：

计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：

如图是函数h（t）=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，

所以

，

虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

二．新课讲授

1．瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？

比如，时的瞬时速度是多少？

考察附近的情况：

思考：

当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？

结论：

当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值．

从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度是

为了表述方便，我们用

表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于定值”

小结：

局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

2导数的概念

从函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是:

我们称它为函数在出的导数，记作或，即

说明：

（1）导数即为函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率

（2），当时，，所以

三．典例分析

例1．

（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.

分析：

先求Δf=Δy=f（１＋Δx）-f（１）=6Δx+（Δx）2

　　再求再求

解：

法一定义法（略）

法二：

（2）求函数f（x）=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

解：

例2．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：

）为

，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

解：

在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和

根据导数定义，

所以

同理可得:

在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升．

注：

一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况．

四．课堂练习

1．质点运动规律为，求质点在的瞬时速度为．

2．求曲线y=f（x）=x3在时的导数．

3．例2中，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

五．回顾总结

1．瞬时速度、瞬时变化率的概念

2．导数的概念