高考数学理一轮复习分层演练11集合及其运算含答案.docx

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高考数学理一轮复习分层演练11集合及其运算含答案

知识点

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集合

1.集合的含义与表示

（1）了解集合的含义、元素与集合的属于关系．

（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．

2．集合间的基本关系

（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义．

3．集合的基本运算

（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．

（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

（3）能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算．

简单不等式的解法

1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．

2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．

3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．

命题及其关系、充分条件与必要条件

1.理解命题的概念．

2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．

3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．

2．理解全称量词和存在量词的意义．

3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

第1讲　集合及其运算

1．集合与元素

（1）集合元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性．

（2）元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．

（3）集合的表示法：

列举法、描述法、图示法．

（4）常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*（或N＋）

Z

Q

R

2.集合间的基本关系

表示

关系　

自然语言

符号

语言

Venn图

子集

集合A中所有元素都在集合B中（即若x∈A，x∈B）

A⊆B（或B⊇A）

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中

A

B（或B

A）

集合相等

集合A，B中元素相同

A＝B

3.集合的基本运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集

图形语言

符号语言

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

1．辨明三个易误点

（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件．

（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．

（3）防范空集．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．

2．活用几组结论

（1）A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B．

（2）A∩A＝A，A∩∅＝∅.

（3）A∪A＝A，A∪∅＝A.

（4）A∩（∁UA）＝∅，A∪（∁UA）＝U，∁U（∁UA）＝A.

（5）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩（∁UB）＝∅.

（6）若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.

1.

已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则（　　）

A．A⊆B　　　　　B．C⊆B

C．D⊆CD．A⊆D

[答案]B

2.

设集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝（　　）

A．{x|3≤x<5}B．{x|2≤x≤3}

C．{3，4}D．{3，4，5}

　C　[解析]因为A＝{x|2≤x<5}，

B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}＝{x∈Z|x≥3}，

所以A∩B＝{3，4}．

3．已知集合A＝{（x，y）|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为（　　）

A．0B．1

C．2D．3

　C　[解析]集合A表示的是圆心在原点的单位圆，集合B表示的是直线y＝x，据此画出图象，可得图象有两个交点，即A∩B的元素个数为2.

4.

已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁UB＝________．

[解析]由题意得∁UB＝{2，5，8}，所以A∩∁UB＝{2，3，5，6}∩{2，5，8}＝{2，5}．

[答案]{2，5}

5.

已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2

[解析]由已知可得集合A＝{x|12}．

[答案]{x|x≤1或x>2}

　集合的含义[学生用书P2]

[典例引领]

（1）已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{（x，y）|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　）

A．1　　　　　　　　　　　B．3

C．6D．9

（2）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝

，则b－a＝（　　）

A．1B．－1

C．2D．－2

【解析】　

（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2.

故集合B＝{（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2）}，即集合B中有6个元素．

（2）因为{1，a＋b，a}＝

，a≠0，所以a＋b＝0，则

＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.

【答案】　

（1）C　

（2）C

[通关练习]

1．设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为（　　）

A．3B．4

C．5D．6

　B　[解析]因为a∈A，b∈B，所以x＝a＋b为1＋4＝5，1＋5＝2＋4＝6，2＋5＝3＋4＝7，3＋5＝8.共4个元素．

2．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

[解析]因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.

当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，

此时集合A中有重复元素3，

所以m＝1不符合题意，舍去；

当2m2＋m＝3时，解得m＝－

或m＝1（舍去），

此时当m＝－

时，m＋2＝

≠3符合题意．

所以m＝－

.

[答案]－

　集合间的基本关系[学生用书P3]

[典例引领]

（1）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

A．1　　　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

【解析】　

（1）由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．

由题意知B＝{1，2，3，4}，

所以满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．

（2）因为B⊆A，

所以①若B＝∅，则2m－1

②若B≠∅，则

解得2≤m≤3.

由①、②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.

【答案】　

（1）D　

（2）（－∞，3]

1.在本例

（2）中，若A⊆B，如何求解？

[解]若A⊆B，则

即

所以m的取值范围为∅.

2．若将本例

（2）中的集合A改为A＝{x|x<－2或x>5}，如何求解？

[解]因为B⊆A，

所以①当B＝∅时，即2m－1

②当B≠∅时，

或

解得

或

即m>4.

综上可知，实数m的取值范围为（－∞，2）∪（4，＋∞）．

[通关练习]

1．设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则（　　）

A．P⊆QB．Q⊆P

C．∁RP⊆QD．Q⊆∁RP

　C　[解析]因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以∁RP＝{y|y>1}，所以∁RP⊆Q，选C.

2．已知集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|－m

[解析]当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.

当m>0时，因为A＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1

当B⊆A时，有

所以

所以0

综上所述m的范围为m≤1.

[答案]m≤1

　集合的基本运算（高频考点）[学生用书P3]

集合的基本运算是历年各地高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．

高考对集合运算的考查主要有以下三个命题角度：

（1）求集合间的交或并运算；

（2）求集合的交、并、补的混合运算；

（3）已知集合的运算结果求参数的值（范围）．

[典例引领]

（1）（2016·高考全国卷乙）设集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2x－3＞0}，则A∩B＝（　　）

A.

　　　　　B．

C.

D．

（2）（2016·高考山东卷）设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U（A∪B）＝（　　）

A．{2，6}B．{3，6}

C．{1，3，4，5}D．{1，2，4，6}

（3）已知集合A、B均为U＝{1，3，5，7，9}的子集，且A∩B＝{3}，（∁UB）∩A＝{9}，则A＝________．

【解析】　

（1）由题意得，A＝{x|1＜x＜3}，B＝

，则A∩B＝

.

（2）由题知A∪B＝{1，3，4，5}，所以∁U（A∪B）＝{2，6}．

（3）因为A∩B＝{3}，所以3∈A，

又因为（∁UB）∩A＝{9}，所以9∈A，

又U＝{1，3，5，7，9}，假设1∈A，由A∩B＝{3}，

知1∉B，所以1∈∁UB，则与（∁UB）∩A＝{9}矛盾，

所以1∉A，同理5，7∉A，则A＝{3，9}．

【答案】　

（1）D　

（2）A　（3）{3，9}

集合运算问题的常见类型及解题策略

（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；

（2）连续型数集的运算，常借助数轴求解；

（3）已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn图求解；

（4）根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．　

[题点通关]

角度一　求集合间的交或并运算

1．（2016·高考全国卷甲）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x＋1）（x－2）＜0，x∈Z}，则A∪B＝（　　）

A．{1}B．{1，2}

C．{0，1，2，3}D．{－1，0，1，2，3}

　C　[解析]由已知可得B＝{x|（x＋1）（x－2）＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}，所以A∪B＝{0，1，2，3}，故选C.

角度二　求集合的交、并、补的混合运算

2．（2017·海口市调研测试）设全集U＝R，集合A＝{x|7－6x≤0}，集合B＝{x|y＝lg（x＋2）}，则（∁UA）∩B等于（　　）

A.

B．

C.

D．

　A　[解析]依题意得A＝

，∁UA＝

；B＝{x|x＋2>0}＝{x|x>－2}，因此（∁UA）∩B＝

，选A.

3．（2017·宜春中学、新余一中联考）

已知全集为R，集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是（　　）

A．{x|2

C．{x|0≤x<6}D．{x|x<－1}

　C　[解析]由x2－5x－6<0，解得－1

角度三　已知集合的运算结果求参数的值（范围）

4．（2017·河南省六市第一次联考）已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0，3）B．（0，1）∪（1，3）

C．（0，1）D．（－∞，1）∪（3，＋∞）

　B　[解析]因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A，所以a2－3a<0，解得0

[学生用书P4]）

——集合中的创新问题

以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．

常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托．

　如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．

【解析】　由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，所以A∩B＝{0，6}．

【答案】　{0，6}

解决集合创新型问题的方法

（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．

（2）用好集合的性质．集合的性质（概念、元素的性质、运算性质等）是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．

　1.设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0

[解析]由已知A＝{x|0

[答案]{0}∪[2，＋∞）

2．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．

[解析]符合题意的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个．

[答案]6

[学生用书P259（独立成册）]）

1．（2016·高考天津卷）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝（　　）

A．{1}　　　　　　　　　B．{4}

C．{1，3}D．{1，4}

　D　[解析]由题意得，B＝{1，4，7，10}，所以A∩B＝{1，4}．

2．设集合M＝{x|x2－2x－3<0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为（　　）

A．8B．7

C．4D．3

　B　[解析]依题意，M＝{x|（x＋1）·（x－3）<0，x∈Z}＝{x|－1

3．（2017·南昌月考）设集合P＝{a2，log2a}，Q＝{2a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q＝（　　）

A．{0，1}B．{0，1，2}

C．{0，2}D．{0，1，2，3}

　B　[解析]因为P∩Q＝{0}，所以0∈P，只能log2a＝0，所以a＝1，a2＝1，又0∈Q，因为2a＝21＝2≠0，所以b＝0，所以，P＝{0，1}，Q＝{2，0}，所以P∪Q＝{0，1，2}．

4．（2017·河南省八市重点高中质量检测）若U＝{1，4，6，8，9}，A＝{1，6，8}，B＝{4，6}，则A∩（∁UB）等于（　　）

A．{4，6}B．{1，8}

C．{1，4，6，8}D．{1，4，6，8，9}

　B　[解析]因为U＝{1，4，6，8，9}，A＝{1，6，8}，B＝{4，6}，所以∁UB＝{1，8，9}，因此A∩（∁UB）＝{1，8}，故选B．

5．（2017·湖南省东部六校联考）已知集合M＝{－2，－1，0，1}，N＝

，则M∩N＝（　　）

A．{－2，－1，0，1，2}B．{－1，0，1，2}

C．{－1，0，1}D．{0，1}

　C　[解析]由

≤2x≤4，解得－1≤x≤2，即集合N＝{－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－1，0，1}，故选C.

6．（2017·石家庄教学质量检测

（二））设集合M＝{－1，1}，N＝

，则下列结论正确的是（　　）

A．N⊆MB．M⊆N

C．M∩N＝∅D．M∪N＝R

　B　[解析]因为

－2<0，即

>0，解得x<0或x>

，因为N＝（－∞，0）∪

，又M＝{1，－1}，所以可知B正确，A，C，D错误，故选B．

7．已知全集U＝Z，P＝{－2，－1，1，2}，Q＝{x|x2－3x＋2＝0}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）

A．{－1，－2}B．{1，2}

C．{－2，1}D．{－1，2}

　A　[解析]因为Q＝{1，2}，

所以P∩（∁UQ）＝{－1，－2}，故选A.

8．已知集合M＝{x|x2－4x<0}，N＝{x|m＜x＜5}，若M∩N＝{x|3

A．9B．8

C．7D．6

　C　[解析]由x2－4x<0得0

9．设集合A＝

，B＝{b，a＋b，－1}，若A∩B＝{2，－1}，则A∪B＝（　　）

A．{－1，2，3，5}B．{－1，2，3}

C．{5，－1，2}D．{2，3，5}

　A　[解析]由A∩B＝{2，－1}，可得

或

当

时，

此时B＝{2，3，－1}，所以A∪B＝{－1，2，3，5}；当

时，

此时不符合题意，舍去．

10．（2017·湖北省七市（州）协作体联考）已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q＝{2，3，5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为（　　）

A．147B．140

C．130D．117

　B　[解析]由题意得，y的取值一共有3种情况，当y＝2时，xy是偶数，不与y＝3，y＝5有相同的元素，当y＝3，x＝5，15，25，…，95时，与y＝5，x＝3，9，15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B．

11．（2017·开封市第一次模拟）设集合A＝{n|n＝3k－1，k∈Z}，B＝{x||x－1|>3}，则A∩（∁RB）＝（　　）

A．{－1，2}B．{－2，－1，1，2，4}

C．{1，4}D．∅

　A　[解析]当k＝－1时，n＝－4；当k＝0时，n＝－1；当k＝1时，n＝2；当k＝2时，n＝5.由|x－1|>3，得x－1>3或x－1<－3，即x>4或x<－2，所以B＝{x|x<－2或x>4}，∁RB＝{x|－2≤x≤4}，A∩（∁RB）＝{－1，2}．

12．（2017·临沂质检）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2>0}，B＝{x|x－a≤0}，若∁UB⊆A，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，1）B．（－∞，2]

C．[1，＋∞）D．[2，＋∞）

　D　[解析]因为x2－3x＋2>0，所以x>2或x<1.

所以A＝{x|x>2或x<1}，因为B＝{x|x≤a}，

所以∁UB＝{x|x>a}．

因为∁UB⊆A，借助数轴可知a≥2，故选D．

13．集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________．

[解析]根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故只能是a＝4.

[答案]4

14．（2017·山西省高三考前质量检测）设全集U＝{x∈Z|－2≤x≤4}，A＝{－1，0，1，2，3}．若B⊆∁UA，则集合B的个数是________．

[解析]由题意得，U＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，所以∁UA＝{－2，4}，所以集合B的个数是22＝4.

[答案]4

15．设全集U＝{x∈N*|x≤9}，∁U（A∪B）＝{1，3}，A∩（∁UB）＝{2，4}，则B＝________．

[解析]因为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，

由∁U（A∪B）＝{1，3}，

得A∪B＝{2，4，5，6，7，8，9}，

由A∩（∁UB）＝{2，4}知，{2，4}⊆A，{2，4}⊆∁UB．

所以B＝{5，6，7，8，9}．

[答案]{5，6，7，8，9}

16．已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a

[解析]因为C∩A＝C，所以C⊆A.

①当C＝∅时，满足C⊆A，此时－a≥a＋3，得a≤－

；

②当C≠∅时，要使C⊆A，则

解得－

综上，可得a的取值范围是（－∞，－1]．

[答案]（－∞，－1]

17.

设函数f（x）＝lg（1－x2），集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}，则图中阴影部分表示的集合为________．

[解析]因为A＝{x|y＝f（x）}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1

[答案]（－∞，－1]∪（0，1）

18．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A、B为集合M的非空子集，若∀x∈A、y∈B，x

[解析]当A＝{1}时，B有23－1＝7种情况，当A＝{2}时，B有22－1＝3种情况，当A＝{3}时，B有1种情况，当A＝{1，2}时，B有22－1＝3种情况，当A＝{1，3}，{2，3}，{1，2，3}时，B均有1种情况，

所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋1＋1＋1＝17个．

[答案]17

19．已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分别求适合下列条件的a的值．

（1）9∈（A∩B）；

（2）{9}＝A∩B．

[解]

（1）因为9∈（A∩B），

所以2a－1＝9或a2＝9，所以a＝5或a＝3或a＝－3.

当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}；

当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，不满足集合元素