2413弧弦圆心角同步测控优化训练含答案1.docx
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2413弧弦圆心角同步测控优化训练含答案1
弧、弦、圆心角
一、选择题
1.下列说法中，正确的是（）
A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等
C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等
2.如图24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）
图24-1-3-1
A.3∶2B.
∶2C.
∶
D.5∶4
3.半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF等于（）
A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0
4．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（ ）
A．有一个解 B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解
5．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为（ ）
A．a、b、c都是奇数B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C．a、b、c都是偶数D．a、b、c中至少有两个偶数
6．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：
“是乙或丙获奖”，乙说：
“甲、丙都未获奖”，丙说：
“我获奖了”，丁说：
“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、课中强化（10分钟训练）
1.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________.
2.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.
答案：
∶290°
3.如图24-1-3-2，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D.
（1）求证：
AC=DB；
（2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圆环的面积.
图24-1-3-2
4.如图24-1-3-3所示，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD.
求证：
OC=OD.
图24-1-3-3
5.如图24-1-3-4，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长.
图24-1-3-4
6.如图24-1-3-5，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，我们知道EC和DF相等.若直线EF平移到与直径AB相交于P（P不与A、B重合）,在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?
为什么?
当EF∥AB时,情况又怎样?
图24-1-3-5
三、课后巩固（30分钟训练）
1.如图24-1-3-6所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？
为什么？
图24-1-3-6
2.如图24-1-3-7所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.试证:
弧AE=弧BF.
图24-1-3-7
3.如图24-1-3-8，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？
为什么？
图24-1-3-8
4.为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成（圆和三角形个数不限），并且使整个图案成对称图形
，请你画出你的设计方案图（至少两种）.
5.如图24-1-3-9，已知在⊙O中，AD是⊙O的直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？
（要求：
不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论）
图24-1-3-9
6.如图24-1-3-10，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O的半径.
图24-1-3-10
7.⊙O的直径为50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，求弦AB和CD之间的距离.
参考答案
一、课前预习（5分钟训练）
1.下列说法中，正确的是（）
A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等
C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等
思路解析：
根据弧、弦、圆心角的关系知：
等弦所对的弧不一定相等，圆心角相等，所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件，所以也不对；弦相等所对的圆
心角相等缺少等圆或同圆的条件，弦所对的弧也不一定是同弧，所以不正确；等弧所对的弦相等是成立的.
答案：
B
2.如图24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）
图24-1-3-1
A.3∶2B.
∶2C.
∶
D.5∶4
思路解析：
作OE⊥CD于E，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1.
在Rt△ODE中，OD=
=
.
在Rt△OEB中，OB=
=
=
.∴
OB∶OD=
∶
.
答案：
C
3.半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF等于（）
A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0
思路解析：
∵AB为直径，∴OE=0.
∴OE∶OF=0.
答案：
D
二、课中强化（10分钟训练）
1.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________.
思路解析：
×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°.
答案：
90°
2.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.
思路解析：
如图，OD⊥AB，OD=DB=AD.
设OD=x，则AD=DB=x.
在Rt△ODB中，∵OD=DB，OD⊥AB,
∴∠DOB=45°
.∴∠AOB=2∠DOB=90°，
OB=
x.
∴AB∶BC=1∶
=
∶2.
∴弦与直径的比为
∶2，弦所对的圆心角为90°.
答案：
∶290°
3.如图24-1-3-2，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D.
图24-1-3-2
（1）求证：
AC=DB；
（2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圆环的面积.
思路分析：
求圆环的面积不用求出OA、OC
，应用等量代换的方法.事实上，OA、OC的长也求不出来.
（1）证明：
作OE⊥AB于E，∴EA=EB，EC=ED.∴EA－EC=EB－ED，即AC=BD.
（2）解：
连结OA、OC.∵AB=6cm，CD=4cm，∴AE=
AB=3cm.CE=
CD=2cm.
∴S环=π·OA2－π·OC2=π（OA2－OC2）=π［（AE2＋OE2）－（CE2＋OE2）］
=π（AE2－CE2）=π（32－22）=5π（cm2）.
4.如图24-1-3-3所示，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD.求证：
OC=OD.
图24-1-3-3
思路分析：
根据弧、弦、圆心角的关系得出.
证法一：
如图
（1），分别连结OA、OB.∵OA=OB，∴∠A=∠B.
又∵AC=BD，∴△AOC≌△B
OD.∴OC=OD.
（1）
（2）
证法二：
如图
（2），过点O作OE⊥AB于E，
∴AE=BE.
∵AC=BD，∴CE=DE.∴OC=OD.
5.如图24-1-3-4，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长.
图24-1-3-4
思路分析：
如何利用∠CEA=30°是解题的关键，若作弦心距OF，构造直角
三角形，问题就容易解决.
解：
过O作OF⊥CD于F，连结CO.
∵AE=6cm，EB=2cm，∴AB=8cm.∴OA=
AB=4（cm），OE=AE－AO=2（cm）.
在Rt△OEF中，
∵∠CEA=30°，∴OF=
OE=1（cm）.
在Rt△CFO中，OF=1cm，OC=OA=4（cm），∴CF=
=
（cm）.
又∵OF⊥CD，
∴DF=CF.
∴CD=2CF=2
（cm）.
6.如图24-1-3-5，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，我们知道EC和DF相等.若直线EF平移到与直径AB相交于P（P不与A、B重合）,在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?
为什么?
当EF∥AB时,情况又怎样?
图24-1-3-5
思路分析：
考查垂径定理及三角形、梯形相关知识.可
适当添加辅助线.
解：
当EF交AB于P时,过O作OM⊥CD于M,则CM=DM.
通过三角形,梯形知识或构造矩形可证明AM=MF,∴EC=DF.
当EF∥AB时,同理作OM⊥CD于M,可证四边形AEFB为矩形.
所以EF=AB.且EM=MF,又由垂径定理有CM=MD,∴EC=DF.
三、课后巩固（30分钟训练）
1.如图24-1-3-6所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？
为什么？
图24-1-3-6
思路分析：
欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC与弧BE所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，
先找一条弧都与弧AC以及弧BE相等.
解：
弧A
C=弧BE.
原因如下：
法一：
连结AC，∵AB、CD是直径，
∴∠AOC＝∠BOD.∴AC＝BD.
又∵BE＝BD，∴AC＝BE.∴弧AC=弧BE.
法二：
∵AB、CD是直径，
∴∠AOC＝∠BOD.
∴弧AC=弧BD.
∵BE＝BD，∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.
2.如图24-1-3-7所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.
试证:
弧AE=弧BF.
图24-1-3-7
思路分析：
欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE＝∠BOF.
证明：
∵
OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC.
∵AO＝OB，∴∠A＝∠B.
∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，
即∠AOC＝∠BOD，
即∠AOE＝∠BOF.
∴弧AE=弧BF.
3.如图24-1-3-8，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？
为什么？
图24-1-3-8
思路分析：
应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等.
解：
在⊙O中，∵∠1=∠2=∠3，
又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径，∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.
∴弧DF=弧AC=弧BE.
∴AC=EB=DF.
4.为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成（圆和三角形个数不限），并且使整个图案成对称图形
，请你画出你的设计方案图（至少两种）.
思路解析：
设计的基本思路是等分圆心角，或等分圆周，取得轴（或中心）对称的对应点，适当画圆或连线，设计出一些适合要求的图案.
答案：
根据题意画出如下方案供选用，如图,本题答案不唯一，只要符合条件即可.
5.如图24-1-3-9，已知在⊙O中，AD是⊙O的直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？
（要求：
不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论）
图24-1-3-9
思路解析：
因AD⊥BC，且AD为直径，所以可以利用垂径定理得到一些结论，同时可证得AD垂直平分BC，据此又能得到许多结论.本题是2000年新疆建设兵团的模拟题，是一个开放性试题，开放到可以不写步骤，但它比书写证明一个结论步骤的题考查面更广，因为写出六个结论考生需要证明六个题.本题是一个考查考生发散思维能力和创新意识的好题.
答案：
（1）BE=CE；
（2）弧BD=弧CD；（3）弧AB=弧AC
（4）AB=AC；（5）BD=DC；（6）∠ABC=∠ACB；
（7）∠DBC=∠DCB；（8）∠ABD=∠ACD；（9）AD是BC的中垂线；
（10）△ABD≌△ACD；（11）O为△ABC的外心等等.
6.如图24-1-3-10，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O的半径.
图24-1-3-10
思路分析：
圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.
解：
过O作OC⊥AB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.
在Rt△OC
A和△OCP中，OC2=OA2－AC2，OC2=OP2－CP2，
∴OA2－AC2=OP2－CP2.
∵AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC，∴CP=AB－PA－BC=1，AC=5.
∴OA2－52=52－1.∴OA=7，
即⊙O的半径为7cm.
7.⊙O的直径为50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，求弦AB和CD之间的距离.
思路分析：
（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.
（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况.
（1）
解：
（1）当弦AB和CD在圆心同侧时，如图
（1）,作OG⊥AB
于G，交CD于E，连结OB、OD.
∵AB∥CD，OG⊥AB，∴OE⊥CD.∴EG即为AB、CD之间的距离.
∵OE⊥CD，OG⊥AB，
∴BG=
AB=
×40=20（cm），
DE=
CD=
×48=24（cm）.
在Rt△DEO中，OE=
=
=7（cm）.
在Rt△BGO中，OG=
=
=15（cm）.
∴EG=OG－OE=15－7=8（cm）.
（2）
（2）当AB、CD在圆心两侧时，如图
（2），同理可以求出OG=15cm，OE=7c
m，∴GE=OG＋OE=15＋7=22（cm）.
综上所述，弦AB和CD间的距离为22cm或7cm.
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