2414圆周角同步测控优化训练含答案文档格式.docx

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A.75°

C.45°

D.30°

3.如图24-1-4-5，OB、OC是⊙O的半径，A是⊙O上一点，若已知∠B=20°

，∠C=30°

，则∠A=__________.

4.在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是3和2，则∠BAC的度数是__

________.

5.如图24-1-4-6所示，设P、Q为线段BC上两定点，且BP=CQ，A为BC外一动点，当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时，△ABC是什么三角形？

试证明你的结论.

图24-1-4-6

三、课后巩固（30分钟训练）

1.如图24-1-4-7，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长.

图24-1-4-7

2.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图24-1-4-8所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？

（）

图24-1-4-8

3.已知A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°

，则∠ABC的度数是（）

A.10°

B.20°

C.40°

D.80°

4.如图24-1-4-10

（1），已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E.

（1）求证：

△DOE是等边三角形.

（2）如图24-1-4-10

（2），若∠A=60°

，AB≠AC，则

（1）中结论是否成立？

如果成立，请给出证明；

如果不成立，请说明理由.

图24-1-4-10

5.四边形ABCD中，AB∥

DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图24-1-4-11，求BD的长.

图24-1-4-11

6.在足球比赛中，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，如图24-1-4-12.此时，甲自己直接射门好，还是迅速将球传给乙，让乙射门好？

图24-1-4-12

7.如图24-1-4-13所示，在小岛周围的APB内有暗礁，在A、B两点建两座航标灯塔，且∠APB=θ，船要在两航标灯北

侧绕过暗礁区，应怎样航行？

为什么？

图24-1-4-13

8.在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况（圆心在圆周角的一边上）如图24-1-4-14

（1）所示：

图24-1-4-14

∵∠AOC是△ABO的外角,∴∠AOC=∠ABO+∠BAO.

又∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∴∠AOC=2∠ABO,

即∠ABC=

∠AOC.

如果∠ABC的两边都不经过圆心，如图24-1-4-14

（2）（3）,那么结论会怎样?

请你说明理由.

9、如图24-1-4-15所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm.

（1）求证：

AC⊥OD；

（2）求OD的长；

（3）若∠A=30°

，求⊙O的直径.

图24-1-4-15

10.如图24-1-4-16所示，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2=__________.

图24-1-4-16图24-1-4-17

11、如图24-1-4-17所示，AB为⊙O的直径，P、Q、R、S为圆上相异四点，下列叙述正确的是（）

A.∠APB为锐角B.∠AQB为直角

C.∠ARB为钝角D.∠ASB＜∠ARB

参考答案

思路解析：

同弦所对的圆周角有两个不同的度数，它们互补.因此同弦所对的圆周角相等或互补.

答案：

C

图24-1-4-1

在同圆或等圆中，判断两个圆周角是否相等，即看它们所对的弧是否相等，因等角对等弧，等弧对等角.

先找同弧所对的圆

周角：

弧AD所对的∠1=∠3；

弧DC所对的∠2=

∠4；

弧BC所对的∠5=∠6；

弧AB所对的∠7=∠8.找等弧所对的圆周角，因为弧AC=弧DC，所以∠1=∠4，∠1=∠2，∠4=∠3，∠2=∠3.由上可知，相等的圆周角有8对.

D

本题考查圆周角的定义.

4.如图24-1-4-2,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=度.

图24-1-4-2

根据圆周角定义,求得弧的度数是半圆周的一半.

90°

根据圆周角与圆心角的关系解答.

根据圆周角和圆心角的关系求得.

B

连结AO，则AO=OB，OA=OC，所以∠A=∠B+∠C=20°

+30°

=50°

.

50°

如图

（1）和图

（2），分两种情况，作直径AD，连结BD，易知∠BAD=30°

，∠CAO=45°

，∴∠BAC=15°

或75°

（1）

（2）

15°

图24-1-4-6

思路分析：

利用同圆和等圆中，等弧所对的弦相等.

解：

当∠BAP=∠CAQ时，△ABC是等腰三角形.

证明：

如图，作出△ABC的外接圆，延长AP、AQ交该圆于D、E，连结DB、CE，由∠BAP=∠CAQ，得弧BD=弧CE.

从而弧BDE=弧CED，所以BD=CE，∠CBD=∠BCE.又BP=CQ，

则△BPD≌△CQE，这时∠D=∠E，由此弧AB=弧AC，故AB=AC,

即△ABC是等腰三角形.

已知条件中若有直径，则利用圆周角定理的推论得到直角三角形，然后利用直角三角形的性质解题.

∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°

在Rt△ACB中，BC=

=

=8.

∵CD平分∠ACB，∴弧AD=弧BD.∴AD=BD.

在Rt△ADB中，AD=BD=

AB=5

（cm）.

图24-1-4-9

本题考查圆周角定理的推论及圆周角定义在实际生产中的应用.认真观察图形，可得只有B符合定

理的推论.实际问题应读懂题意，看懂图形，并将实际问题转化成数学模型.

A和C中的直角显然不是圆周角，因此不正确，D中的直角只满足圆周角的一个特征，也不是圆周角，因而不能判断是否为半圆形.选B.

答案:

3.如图24-1-4-9，A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°

由“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”解答.

图24-1-4-10

△ABC是等边三角形，所以∠B、∠C均为60°

，利用60°

的圆周角定理，可知△DOB、△EOC均为等边三角形.第二种情形类似.

（1）证明：

∵△ABC为等边三角形，

∴∠B=∠C=60°

∵OB=OC=OE=OD，∴△OBD和△OEC都为等边三角形.

∴∠BOD=∠EOC=60°

.∴∠DOE=60°

∴△DOE为等边三角形.

（2）解:

当∠A=60°

，AB≠AC时，

（1）中的结论仍然成立.

连结CD.∵BC为⊙O的直径，

∴∠BDC=90°

.∴∠ADC=90°

∵∠A=60°

，∴∠ACD=30°

.∴∠DOE=2∠ACD=60°

∵OD=OE，∴△DOE为等边三角形.

图24-1-4-11

由AB=AC=AD=a可以

得到点B、C、D在以A为圆心，以a为半径的圆上，因而可以作出该圆，利用圆的知识解决该题.本题考查圆的定义和圆周角定理及其推论.

∵AB=AC=AD=a，∴点B、C、D到A点距离相等.故以A为圆心，以a为半径作⊙A，并延长BA交⊙A于E，连结DE.

∵AB∥CD，∴弧

BC=弧DE.∴BC=DE=b.

∵BE为⊙A的直径，∴∠EDB=90°

在Rt△EDB中，BD=

，∴BD的长为

图24-1-4-12

在真正的足球比赛中情况比较复杂,这里仅用数学方法从两点的静止状态来考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键是看这两点各自对球门MN的张角大小，当张角较小时，则容易被对方守门员拦截.

考虑过M、N及A、B中任一点作圆，这里不妨过M、N、B作圆，则A点在圆外，设MA交⊙O于C，则∠MAN＜∠MCN，而∠MCN=∠MBN，所以∠MAN＜∠MBN.因此在B点射门为好.

图24-1-4-13

根据圆周角定理和三角形内角和定理解答.船在航行过程中，始终保持对两灯塔A、B的视角小于θ，即可安全绕过暗礁区.

船在航行过程中，始终保持对两灯塔A、B的视角小于θ，即可安全绕过暗礁区.

（1）在弧APB外任取一点C，连结CA、CB，设CA交弧APB于

F，连结FB.

∵∠AFB=∠θ，∠AFB＞∠C，∴∠C＜θ.

（2）在弧APB的弓形内任取一点D，连

结AD并延长交弧APB于E，连结DB、EB.∵∠E=θ，∠ABD＞∠E，∴∠ADB＞θ.

由

（1）

（2）知，在航标灯A、B所在直线北侧，在圆弧弧APB外任一点对A、B

的视角都小于θ;

在圆弧弧APB上任一点对A、B的视角都等于θ;

在圆弧弧APB内任一点对A、B的视角都大于θ.为此只有当对两灯塔的视角小于θ的点才是安全点.

图24-1-4-14

本题设计很巧妙，实际上是圆周角定理的证明，可分三种情况讨论:

（1）圆心在圆周角的一边上（是已给的情况）；

（2

）圆心在圆周角内部；

（3）圆心在圆周角外部.

如果∠ABC的两边都不经过圆心,

结论∠ABC=

∠AOC仍然成立.

（1）对图

（2）的情况,连结BO并延长交圆O

于点D,

由题图

（1）知:

∠ABD=

∠AOD,

∠CBD=

∠COD.

∴∠ABD+∠CBD=

∠AOD+

∠COD,

（2）对图（3）的情况仿图

（2）的情况可证.

图24-1-4-15

根据圆周角定理的推论以及三角形中位线定理计算.

（1）证明:

∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°

∵OD∥BC，∴∠ADO=∠C=90°

.∴AC⊥OD.

∵OD∥BC，又∵O是AB的中点，∴OD是△ABC的中位线.

∴OD=

BC=

×

4=2（cm）.

（3）解:

∵∠A=30°

，在Rt△ABC中，∠A=30°

，

∴BC=

AB.

∴AB=2BC=8（cm）,即⊙O的直径是8cm.

∠1所对的弧是弧AE，∠2所对的弧是弧BE，而弧AE＋弧BE=弧AB是半圆，因此连结AD，∠ADB的度数是90°

，所以∠ADB=∠1＋∠2.本题也可以连结EO，得到圆心角∠EOA和∠EOB,而∠EOA＋∠EOB=180°

，所以∠1＋∠2=90°

，这是圆周角定理的直接应用.

AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，所以∠APB、∠AQB、∠ARB、∠ASB都是直角.由于

四个角都是直角，所以∠ASB=∠ARB=90°