第一章集合.docx

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第一章集合

第1讲　集合的概念与运算

考试要求　1.集合的含义，元素与集合的属于关系（A级要求）；2.集合之间包含与相等的含义，集合的子集（B级要求）；3.并集、交集、补集的含义，用韦恩（Venn）图表述集合关系（B级要求）；4.求两个简单集合的并集与交集及求给定子集的补集（B级要求）.

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“√”或“×”）

（1）任何集合都有两个子集.（　　）

（2）已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{（x，y）|y＝x2}，则A＝B＝C.（　　）

（3）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.（　　）

（4）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　　）

解析　

（1）错误.空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的.

（2）错误.集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝（－∞，＋∞）；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞）；集合C是抛物线y＝x2上的点集.因此A，B，C不相等.

（3）错误.当x＝1，不满足互异性.

（4）错误.当A＝∅时，B，C可为任意集合.

答案　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×

2.（必修1P9练习1改编）集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集个数是________个.

解析　A＝{x|0≤x<3且x∈N}＝{0，1，2}，∴真子集有7个.

答案　7

3.（2017·江苏卷）已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为________.

解析　由A∩B＝{1}知，1∈B，又a2＋3≥3，则a＝1.

答案　1

4.（2018·苏、锡、常、镇四市调研）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，M＝{x|x2－6x＋5≤0，x∈Z}，则∁UM＝________.

解析　M＝{x|x2－6x＋5≤0，x∈Z}＝{x|1≤x≤5，x∈Z}＝{1，2，3，4，5}，所以∁UM＝{6，7}.

答案　{6，7}

5.（必修1P10练习6改编）设A＝{x|2

解析　A＝{x|2

答案　[3，＋∞）

知识梳理

1.集合的概念

（1）一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合，集合中的每一个对象称为该集合的元素.

（2）集合中元素的三个特性：

确定性、互异性、无序性.

（3）集合的表示方法：

列举法、描述法、Venn图法等.

（4）集合按含有元素的个数可分为有限集、无限集、空集.

（5）特别地，自然数集记作N，正整数集记作N*或N＋，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R，复数集记作C.

2.两类关系

（1）元素与集合的关系，用∈或∉表示.

（2）集合与集合的关系，用⊆、

或＝表示.

3.集合的基本运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集

符号

表示

A∪B

A∩B

若全集为U，则集

合A的补集为∁UA

图形

表示

集合

表示

{x|x∈A，或x∈B}

{x|x∈A，且x∈B}

{x|x∈U，且x∉A}

4.集合关系与运算的常用结论

（1）若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.

（2）子集的传递性：

A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.

（3）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

（4）∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）.

考点一　集合的基本概念

【例1】

（1）（2018·启东月考）若x2∈{0，1，x}，则实数x的值是________.

（2）若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.

解析　

（1）因为x2∈{1，0，x}，所以x2＝1或x2＝0或x2＝x.由x2＝1，得x＝±1；

由x2＝0，得x＝0；由x2＝x，得x＝0或x＝1.

当x＝0时，集合为{1，0，0}不成立.当x＝1时，集合为{1，0，1}不成立.

当x＝－1时，集合为{1，0，－1}，满足条件，故x＝－1.

（2）若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.

当a＝0时，x＝

，符合题意；

当a≠0时，由Δ＝（－3）2－8a＝0，得a＝

，

所以a的取值为0或

.

答案　

（1）－1　

（2）0或

规律方法　

（1）本题第

（2）问，集合A中只有一个元素，要分a＝0与a≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a＝0的情形.

（2）用描述法表示的集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再注意元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合.

【训练1】

（1）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝

，则b－a＝________.

（2）已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________.

解析　

（1）因为{1，a＋b，a}＝

，a≠0，

所以a＋b＝0，且b＝1，

所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.

（2）由A＝∅知方程ax2＋3x－2＝0无实根，

当a＝0时，x＝

不合题意，舍去；

当a≠0时，Δ＝9＋8a<0，∴a<－

.

答案　

（1）2　

（2）

考点二　集合间的基本关系

【例2】

（1）已知集合A＝{x|y＝

，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则A________B（填A，B间的包含关系）.

（2）（2017·连云港模拟）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1

解析　

（1）易知A＝{x|－1≤x≤1}，

所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}.

因此B

A.

（2）当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.

当B≠∅时，若B⊆A，如图.

则

解得2

综上，m的取值范围为（－∞，4].

答案　

（1）

（2）（－∞，4]

规律方法　空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；如已知

（1）B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.

【训练2】

（1）（2018·盐城模拟）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，3，5，7，9}，C＝A∩B，则集合C的子集的个数为________.

（2）（2018·南通调研）已知集合A＝{x|

＝

，x∈R}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为________.

解析　

（1）集合C＝A∩B＝{1，3，5}，由子集定义可得集合C的子集有∅，{1}，{3}，{5}，{1，3}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}，共8个.

（2）由

＝

，得x＝2，则A＝{2}.

因为B＝{1，m}且A⊆B，

所以m＝2.

答案　

（1）8　

（2）2

考点三　集合的运算（典例迁移）

【例3】（经典母题）

（1）（2016·江苏卷）已知集合A＝{－1，2，3，6}，B＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝________.

（2）（2018·泰州模拟）设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）＝________.

解析　

（1）由于B＝{x|－2＜x＜3}，对集合A中的4个元素逐一验证，－1∈B，2∈B，3∉B，6∉B.故A∩B＝{－1，2}.

（2）由题意得A∪B＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}.

又U＝{1，2，3，4，5}，∴∁U（A∪B）＝{2，4}.

答案　

（1）{－1，2}　

（2）{2，4}

【迁移探究1】

（1）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________.

（2）设全集U是实数集R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}.如图所示，则阴影部分所表示的集合为________.

解析　

（1）集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素.

（2）阴影部分所表示的集合为∁U（M∪N）＝（∁UM）∩（∁UN）＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1或x>3}＝{x|－2≤x<1}.

答案　

（1）2　

（2）{x|－2≤x<1}

【迁移探究2】

（1）（2018·南通一模）设集合A＝{－1，0，1}，B＝

，A∩B＝{0}，则实数a的值为________.

（2）已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1

解析　

（1）0∈

，由a＋

≠0，则a－1＝0，则实数a的值为1.

（2）由x2－x－12≤0，得（x＋3）（x－4）≤0，即－3≤x≤4，

所以A＝{x|－3≤x≤4}.又A∩B＝B，所以B⊆A.

①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2.

②当B≠∅时，有

解得－1≤1<2.

综上，m的取值范围为[－1，＋∞）.

答案　

（1）1　

（2）[－1，＋∞）

规律方法　

（1）在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图或数轴使抽象问题直观化.

（2）一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.

【训练3】

（1）（2018·江苏前黄中学月考）设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则（∁UA）∩B＝________.

（2）已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x>5}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为________.

解析　

（1）U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，画出Venn图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即（∁UA）∩B＝{7，9}.

（2）要使A∩B＝∅，则

或2a>a＋3，

∴a≤2或a>3.

答案　

（1）{7，9}　

（2）{a|a≤2或a>3}

一、必做题

1.（2017·江苏高考冲刺卷）若集合A＝{－1，0，3}，B＝{－1，1，2，3}，则A∩B＝________.

解析　由集合交集的定义可得A∩B＝{－1，3}.

答案　{－1，3}

2.（2018·无锡一模）设集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1

解析　因为A＝{x|x>0}，B＝{x|－1

所以A∩B＝{x|0

答案　{x|0

3.（2018·苏北四市调研）已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则A∪B中元素的个数为________.

解析　由并集定义可得A∪B＝{0，1，2，3，4，5}，有6个元素.

答案　6

4.（2018·南京调研）已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1>0}，则A∩B＝________.

解析　由题意得B＝{x|x<－1或x>1}，则A∩B＝{2}.

答案　{2}

5.（2016·山东卷改编）设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U（A∪B）＝________.

解析　∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}，

又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此∁U（A∪B）＝{2，6}.

答案　{2，6}

6.（2017·苏州调研）设全集U＝{x|x≥2，x∈N}，集合A＝{x|x2≥5，x∈N}，则∁UA＝________.

解析　由题知集合A＝{x|x≥

，x∈N}，故由补集定义可得∁UA＝{2}.

答案　{2}

7.（2016·浙江卷改编）设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪（∁RQ）＝________.

解析　易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}.

∴∁RQ＝{x|－2

又P＝{x|1≤x≤3}，故P∪（∁RQ）＝{x|－2

答案　{x|－2

8.（2017·苏州一模）已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝________.

解析　由a2－a＋1＝3，得a＝－1或a＝2，经检验符合.由a2－a＋1＝a，得a＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去.故a＝－1或2.

答案　－1或2

9.（2018·苏州调研）集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln（1－x）}，则图中阴影部分所表示的集合是________.

解析　易知A＝（－1，2），B＝（－∞，1），∴∁UB＝[1，＋∞），A∩（∁UB）＝[1，2）.因此阴影部分表示的集合为A∩（∁UB）＝{x|1≤x<2}.

答案　{x|1≤x<2}

10.（2017·徐州、宿迁、连云港三市模拟）设集合A＝

，B＝{x|y＝ln（x2－3x）}，则A∩B中元素的个数是________.

解析　由

≤2x≤16，x∈N，

∴x＝0，1，2，3，4，即A＝{0，1，2，3，4}.

又x2－3x>0，知B＝{x|x>3或x<0}，

∴A∩B＝{4}，即A∩B中只有一个元素.

答案　1

二、选做题

11.（2017·石家庄质检）已知集合A＝{x|x2－2016x－2017≤0}，B＝{x|x

解析　由x2－2016x－2017≤0，得A＝[－1，2017]，

又B＝{x|x

所以m＋1>2017，则m>2016.

答案　（2016，＋∞）

12.已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{（x1＋x2，y1＋y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为________.

解析　

如图，集合A表示如图所示的所有圆点“

”，集合B表示如图所示的所有圆点“

”＋所有圆点“

”，集合A⊕B显然是集合{（x，y）||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{（－3，－3），（－3，3），（3，－3），（3，3）}之外的所有整点（即横坐标与纵坐标都为整数的点），即集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“

”＋所有圆点“

”＋所有圆点“

”，共45个.故A⊕B中元素的个数为45.

答案　45