2．已知（－1＋3i）（2－i）＝4＋3i（其中i是虚数单位,是z的共轭复数），则z的虚部为（）
A．1B．－1C．iD．－i
3．已知命题p:
∃x∈（－∞，0）,2x＜3x；命题q：
∀x∈π2，tanx＞sinx，则下列命题为真命题的是（）
A．p∧qB．p∨（
q）C．（
p）∧qD．p∧（
q）
4．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于（）
A.OM→B．2OM→C．3OM→D．4OM→
5。
.函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0,－π2＜φ＜π2）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）
A．2,－π3B．2，－π6
C．4，－π6D．4,π3
6.四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系,并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且
＝2。
347x－6.423;②y与x负相关且
＝－3。
476x＋5。
648；
③y与x正相关且
＝5。
437x＋8.493；④y与x正相关且
＝－4.326x－4。
578.
其中一定不正确的结论的序号是（）
A．①②B．②③
C．③④D．①④
7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是
A．
B．
C．
D．
8.设x，y满足x－y≥1，x－2y≤2，则z＝x＋y（）
A．有最小值2，最大值3B．有最小值2,无最大值
C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值
9．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和,则S10的值为（）．
A．－110B．－90C．90D．110
10．某程序框图如图所示，若输出的k的值为3，则输入的x的取值范围为（）
A．[15,60）B．（15，60]C．［12，48）D．（12，48］
11。
若函数f（x）＝2x2－lnx在其定义域的一个子区间（k－1,k＋1）内不是单调函数,则实数k的取值范围是（）
A。
32B。
3，＋∞C.12D。
1，＋∞
12．设Sn是公差不为0的等差数列{an｝的前n项和，S1，S2，S4成等比数列，且a3＝－52，则数列1an的前n项和Tn＝（）
A．－n2n＋1B。
n2n＋1C．－2n2n＋1D.2n2n＋1
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～21题为必考题,每个试题考生都必须做答，第22题～23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．双曲线Γ：
y2a2－x2b2＝1（a＞0,b＞0）的焦距为10,焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．
14.已知
则不等式
的解集为
15。
设a＞b＞1，
，给出下列三个结论：
1
＞
;②
＜
;③
，其中所有的正确结论的序号是（填上所有正确答案的序号。
）
16.已知
圆
上存在点
，满足条件
，则实数
的取值范围为__________．
三。
解答题
17．（本小题满分12分）在△ABC中，内角A,B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2B＋cosB＝1－cosAcosC.
（1）求证：
a，b，c成等比数列；
（2）若b＝2,求△ABC的面积的最大值．
18.（本小题满分12分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:
小时）．
（1）应收集多少位女生的样本数据？
（2）根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图14所示），其中样本数据的分组区间为：
[0，2］，（2，4］，（4，6］,（6，8]，（8，10］，（10，12］．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
图14
（3）在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95％的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
P（K2≥k0）
0.10
0。
05
0.010
0.005
k0
2.706
3。
841
6.635
7.879
附：
K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
19.（本小题满分12分）如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2,∠BAC＝120°,D，D1分别是线段BC，B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点．
（1）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1；
（2）设
（1）中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1QC1D的体积．（锥体体积公式:
V＝13Sh，其中S为底面面积,h为高）
20。
（本小题满分12分）已知椭圆C：
x2＋2y2＝4.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．
21。
（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x3＋52x2＋ax＋b（a，b为常数）,其图象是曲线C.
（1）当a＝－2时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）＝x0与f′（x0）＝0同时成立,求实数b的取值范围．
22．（本小题满分10分）选修4－4：
坐标系与参数方程将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线Γ.
（1）写出Γ的参数方程；
（2）设直线l：
3x＋2y－6＝0与Γ的交点为P1,P2,以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
23．（本小题满分10分）选修4－5：
不等式选讲已知函数f（x）＝|2x－a｜。
（1）若f（x）＜b的解集为｛x｜－1＜x＜2｝，求实数a、b的值；
（2）若a＝2时，不等式f（x）＋m≥f（x＋2）对一切实数x均成立,求实数m的取值范围．
天水市一中2015级2017—2018学年度第二学期第一次模拟考试
数学答案
1.解：
图中阴影部分表示集合∁UM与集合N的交集,∵∁UM＝{x｜x≤2}，N＝｛x|1＜x＜3}，∴（∁UM）∩N＝｛x｜1＜x≤2}．故选C。
2．解析:
选A。
因为＝4＋3i2－i＋1－3i＝（4＋3i（2－i＋1－3i＝1＋2i＋1－3i＝2－i，所以z＝2＋i，z的虚部为1，故选A。
3．解析:
选C。
根据指数函数的图象与性质知命题p是假命题，则綈p是真命题；根据单位圆中的三角函数线知命题q是真命题,故选C.
4．解析：
选D.因为M是平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，所以OA→＋OC→＝2OM→，OB→＋OD→＝2OM→，所以OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝4OM→，故选D。
5。
解:
由图可知，T2＝11π12－5π12＝π2，T＝π，ω＝2πT＝2。
∵点5π，2在图象上，∴2·5π12＋φ＝π2＋2kπ,φ＝－π3＋2kπ，k∈Z。
又－π2＜φ＜π2，∴φ＝－π3。
故选A。
6.解：
当y与x正相关时，应满足斜率大于0；当y与x负相关时，应满足斜率小于0，故①④一定不正确．故选D.
7案：
B提示：
四棱锥的底面垂直与水平面。
8。
解：
画出不等式表示的平面区域，如图,由z＝x＋y，得y＝－x＋z,令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A（2，0）时，z取得最小值为zmin＝2＋0＝2，由于可行域是向右上方无限延伸的非封闭区域，y＝－x＋z向右上方移动时，z＝x＋y也趋于无穷大，所以z＝x＋y无最大值，故选B.
9．D.解析［a7是a3与a9的等比中项，公差为－2，所以a27＝a3·a9，所以a27＝（a7＋8）（a7－4），所以a7＝8,所以a1＝20，所以S10＝10×20＋10×92×（－2）＝110。
］
10．解析:
选B.根据程序框图的要求逐步分析每次循环后的结果,可得不等式组x－3≤3，解得15＜x≤60，故选B.
11。
解:
∵f′（x）＝4x－1x＝（2x－1）（2x＋1）x（x＞0），∴当x∈12时,f（x）单调递减;当x∈1，＋∞时,f（x）单调递增．由题意知1，解得1≤k＜32.故选A。
12．解析：
选C。
设{an｝的公差为d，S1＝a1，S2＝2a1＋d＝2a1＋a3－a12＝32a1－54，S4＝3a3＋a1＝a1－152，因为S1，S2,S4成等比数列,所以542＝152a1，
整理得4a21＋12a1＋5＝0，所以a1＝－52或a1＝－12。
当a1＝－52时，公差d＝0不符合题意，舍去;当a1＝－12时，公差d＝a3－a12＝－1，
所以an＝－12＋（n－1）×（－1）＝－n＋12＝－12（2n－1），
所以1（2n＋1＝－2（2n－1＝－12n＋1，所以其前n项和
Tn＝－12n＋1＝－12n＋1＝－2n2n＋1,故选C.
13．解析:
双曲线的焦点（0，5）到渐近线y＝abx，即ax－by＝0的距离为|5b|a2＋b2＝5bc＝b＝3，所以a＝4,2a＝8。
答案：
8
14.【解析】
因为
所以
是偶函数。
所以
所以
变形为:
又
所以
在
单调递增，在
单调递减。
所以
等价于
15.【解析】由不等式及a＞b＞1知
，又
，所以
＞
，①正确；由指数函数的图像与性质知②正确；由a＞b＞1,
知
，由对数函数的图像与性质知③正确。
填①。
②。
③
16。
【答案】
【解析】设
，因为
，圆
上存在点
，满足条件
，所以
即
，
所以点
在圆心为
半径为
的圆上，又点
在圆
上，所以圆
与圆
有公共点，
因为圆
的圆心
，半径为
，所以
所以
，
解得
或
，所以实数
的取值范围为
。
17．解：
（1）在△ABC中，cosB＝－cos（A＋C）．由已知，得（1－sin2B）－cos（A＋C）＝1－cosAcosC，∴－sin2B－（cosAcosC－sinAsinC）＝－cosAcosC,
化简，得sin2B＝sinAsinC．由正弦定理，得b2＝ac，∴a，b,c成等比数列．
（2）由
（1）及题设条件，得ac＝4。
则cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－ac2ac≥2ac－ac2ac＝12，
当且仅当a＝c时，等号成立．∵0＜B＜π,∴sinB＝≤12＝32。
∴S△ABC＝12acsinB≤12×4×32＝.∴△ABC的面积的最大值为。
18.。
解：
（1）300×450015000＝90,所以应收集90位女生的样本数据．
（2）由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×（0。
100＋0.025）＝0.75,所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0。
75。
（3）由
（2）知，300位学生中有300×0。
75＝225（位）的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
男生
女生
总计
每周平均体育运动时间不超过4小时
45
30
75
每周平均体育运动时间超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
结合列联表可算得K2＝300×（165×30－45×60）275×225×210×90＝10021≈4。
762〉3.841.
所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
19。
解:
（1）如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，∵l⊄平面A1BC，BC⊂平面A1BC，∴l∥平面A1BC.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴BC⊥AD.∴l⊥AD.∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥l.又∵AD∩AA1＝A。
∴直线l⊥平面ADD1A1.
（2）过D作DE⊥AC于E，∵AA1⊥平面ABC，∴DE⊥AA1。
又∵AC，AA1⊂平面AA1C1C，且AC∩AA1＝A,∴DE⊥平面AA1C1C.由AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，有AD＝1,∠DAC＝60°.在△ACD中，DE＝32AD＝32，又S△A1QC1＝12A1C1·AA1＝1，∴VA1QC1D＝VDA1QC1＝13DE·S△A1QC1＝13×32×1＝36。
因此三棱锥A1QC1D的体积是36
20。
解:
（1）由题意，椭圆C的标准方程为x24＋y22＝1。
∴a2＝4,b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝。
故椭圆C的离心率e＝ca＝22.
（2）直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：
设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2）,其中x0≠0.∵OA⊥OB，∴OA→·OB→＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－2y0x0.当x0＝t时，y0＝－t22,代入椭圆C的方程，得t＝±,
故直线AB的方程为x＝±.圆心O到直线AB的距离d＝，此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝y0－2x0－t（x－t），即（y0－2）x－（x0－t）y＋2x0－ty0＝0，
圆心O到直线AB的距离d＝|2x0－ty0|（y0－2）2＋（x0－t）2。
又x20＋2y20＝4，t＝－2y0x0，故
d＝
=
＝，此时直线AB与圆x2＋y2＝2
21.解：
（1）当a＝－2时，f′（x）＝3x2＋5x－2＝（3x－1）（x＋2）．
令f′（x）＜0，解得－2＜x＜13，所以f（x）的单调递减区间为13。
（2）f′（x）＝3x2＋5x＋a,由题意知2030202＋ax0＋b＝x0，
消去a，得2x30＋52x20＋x0－b＝0有唯一解．令g（x）＝2x3＋52x2＋x，则
g′（x）＝6x2＋5x＋1＝（2x＋1）（3x＋1），
所以g（x）在区间12，1，＋∞上是增函数，在13上是减函数，
又g12＝－18，g13＝－754，故实数b的取值范围是754∪1，＋∞。
22．解:
（1）设（x1,y1）为圆上的点，在已知变换下变为Γ上的点（x,y），依题意，得x＝2x1y＝3y1，即y3.由x21＋y21＝1,得x22＋y32＝1.即曲线Γ的方程为x24＋y29＝1.故Γ的参数方程为x＝2costy＝3sint（t为参数）．
（2）由＝13x＋2y－6＝0，解得x＝2y＝0，或x＝0y＝3。
不妨设P1（2,0），P2（0，3），则线段P1P2的中点坐标为32，所求直线的斜率k＝23。
于是所求直线方程为y－32＝23（x－1），即4x－6y＋5＝0。
化为极坐标方程，得4ρcosθ－6ρsinθ＋5＝0。
23．解:
（1）∵|2x－a|＜b，∴a－b2＜x＜a＋b2，∵f（x）＜b的解集为｛x｜－1＜x＜2}，∴a＋b＝2，∴a＝1b＝3。
（2）由已知,得m≥f（x＋2）－f（x）＝|2x＋2｜－|2x－2｜对一切实数x均成立，
又|2x＋2｜－|2x－2｜≤｜（2x＋2）－（2x－2）｜＝4，∴m≥4.
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