中考数学第八章相似形复习人教版.docx
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中考数学第八章相似形复习人教版
2017年中考数学第八章相似形复习（人教版）
第十一讲相似形
刘书妹
111成比例线段
基础盘点
1比例线段：
在四条线段a，b，，d中，如果其中两条线段a，b的比等于另外两条线段，d的比，即（或a∶b=∶d），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段
2比例中项：
如果作为比例内项的两条线段是相等的，即线段a，b，之间有a∶b=b∶，那么线段b叫做线段a，的比例中项
3比例的性质：
（1）基本性质：
如果，那么ad=b如果ad=b（a，b，，d都不等于0），那么；
（2）合比性质：
如果，那么=；
（3）等比性质：
如果，且b1+b2+…+bn≠0，那么=
4平行线分线段成比例：
（1）基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
（2）推论：
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例
考点呈现
考点1比例的性质
例1（201•兰州）如果=（b+d+f≠0），且a++e=3（b+d+f），那么= ．
解析：
∵=，
∴=，即a++e=（b+d+f）
又a++e=3（b+d+f），
∴=3
故填3
评注：
若问题中出现各个比连等时，将各个比值设为，从而使各分子都能用含的代数式表示，这样可巧妙解决相关问题
考点2平行线分线段成比例及推论
例2（201•钦州）如图，AD是△AB的角平分线，则AB∶A等于（ ）
ABD∶DBAD∶DB∶ADDB∶A
分析：
添加平行线，利用平行线分线段成比例的推论解决
解：
过点作E∥AD，交BA的延长线于点E．
∴∠BAD=∠E，∠AD=∠AE．
∵AD平分∠BA，
∴∠BAD=∠AD．
∴∠E=∠AE．
∴A=AE．
∴AB∶A=AB∶AE=BD∶D．
故选A．
评注：
此题也可以过点D作AB，A的垂线，利用等面积法求解（AB∶A=S△ABD∶S△AD=BD∶D）
误区点拨
1等积式误化比例式
例1已知7a=8b，则a∶b=
错解：
a∶b=7∶8
剖析：
此题要求将等积式化为比例式，检验所转化的比例式是否正确的方法是：
再将比例式化为等积式，若与原等积式相同，则正确，反之错误
正解：
a∶b=8∶7
2忽略等式成立的条
例2已知，那么x的值是（）
AB－1－1或D0
错解：
选A
剖析：
错解直接利用等比性质求解，却忽略了等比性质成立的条，导致漏解
当a+b+=0时，
当a+b+≠0时，
正解：
选
跟踪训练
1下列各组中的四条线段成比例的是（）
Aa=，b=3，=2，d=Ba=4，b=6，=，d=10
a=2，b=，=，d=Da=2，b=3，=4，d=1
2若2a=3b=4，且ab≠0，则的值是（）
A2B－23D－3
3（201•嘉兴）如图，直线l1∥l2∥l3，直线A分别交l1，l2，l3于点A，B，，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，FA与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，B=，则的值为（）
AB2D
4（201•河南）如图，△AB中，点D，E分别在边AB，B上，DE∥A，若BD=4，DA=2，BE=3，则E=
（201•六盘水）已知==≠0，则的值为__________．
6若，则=
7若，且2a－b+3=21试求a∶b∶
8如图，E是四边形ABD的对角线BD上的一点，分别作E∥AB交AD边于，EN∥B交D边于点N求证：
112相似三角形
基础盘点
1相似三角形的判定：
（1）平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似
（2）两角分别相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边成比例的两个三角形相似
2相似三角形的性质：
相似三角形对应高、角平分线、中线、周长的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方
3位似图形：
（1）定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比
（2）性质：
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比
（3）位似变换对应的坐标变化规律：
平面直角坐标系中，将一个多边形的每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数（≠0，1），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为
考点呈现
考点1相似三角形的判定
例1（201•永州）如图1，下列条不能判定△ADB∽△AB的是（）
A．∠ABD=∠AB
B．∠ADB=∠AB
．AB2=AD•A
D=
解析：
△ADB与△AB中有一公共角，再添加A项或B项，可得两角分别相等，可判定相似；添加项，可得两边成比例且夹角相等，可判定相似；D项比例式中的对应线段不是△ADB与△AB的对应边，不能判定两三角形相似故选D
考点2相似三角形的性质
例2（201•巴彦淖尔）如图2，P为平行四边形ABD的边AD上的一点，E，F分别为PB，P的中点，△PEF，△PD，△PAB的面积分别为S，S1，S2若S=3，则S1+S2的值为（ ）
A．24B．12．6D．3
解析：
∵E，F分别为PB，P的中点，
∴EF是△PB的中位线
∴EF∥B，EF=B
∴△PEF∽△PB
∴==
∵S△PEF=S=3，
∴S△PB=3×4=12
∵四边形ABD是平行四边形，
∴AD∥B，AD=B
∴S△PD+S△PAB=S△PB，即S1+S2=12
故选B
考点3相似三角形的性质、判定的综合应用
例3（201•岳阳）如图3，正方形ABD中，为B上一点，F是A的中点，EF⊥A，垂足为F，交AD的延长线于点E，交D于点N
（1）求证：
△AB∽△EFA；
（2）若AB=12，B=，求DE的长
分析：
（1）运用“两角分别相等的两个三角形相似”证明；
（2）由勾股定理求出A的长，则AF的长易得，通过
（1）中的结论确定比例式，求出AE，即可得出DE的长
解：
（1）证明：
∵四边形ABD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥B
∴∠AB=∠EAF
∵EF⊥A，
∴∠AFE=90°
∴∠B=∠AFE
∴△AB∽△EFA
（2）∵∠B=90°，AB=12，B=，
∴A===13
∵F是A的中点，
∴AF=A=6
由
（1）可得△AB∽△EFA
∴=，即=，解得AE=169
∴DE=AE-AD=AE-AB=169-12=49
例4（201•上海）如图4，平行四边形ABD的对角线相交于点，点E在边B的延长线上，且E=B，连接DE
（1）求证：
DE⊥BE；
（2）如果E⊥D，求证：
BD•E=D•DE
分析：
（1）结合平行四边形的性质及已知条可知△BE与△DE都是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质及三角形的内角和定理即可获证
（2）要证BD•E=D•DE，可证，为此只需证明△BDE∽△DE
证明：
（1）∵B=E，
∴∠EB=∠BE
∵四边形ABD是平行四边形，
∴B=D
∴D=E
∴∠ED=∠DE
∵∠BE+∠EB+∠ED+∠DE=180°，错误！
未找到引用。
∴∠EB+∠ED=90°，即∠BED=90°
∴DE⊥BE
（2）设E交D于H
∵E⊥D，
∴∠HE=90°
∴∠EH+∠HE=90°
∵∠ED=90°，
∴∠DE+∠DE=90°
∴∠EH=∠DE
∵∠EB=∠BE，
∴∠BE=∠DE
又∠BED=∠DE，
∴△BDE∽△DE
∴
∴BD•E=D•DE
评注：
要证明等积式，通常思路是将其化为比例式，由比例式确定要证明的相似三角形需要注意的是由比例式可确定两对三角形，哪对易于证明相似，便证明哪对错误！
未找到引用。
考点4相似三角形的应用
例（201•邵阳）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上已知DE=0米，EF=02米，目测点D到地面的距离DG=1米，到旗杆的水平距离D=20米，求旗杆的高度
解析：
由题意，得△DEF∽△DA
∴=
∵DE=0米，EF=02米，D=20米，
∴=，解得A=10
∴AB=A+B=A+DG=10+1=11（米）
答：
旗杆的高度为11米
例6（2014•潍坊）如图6，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆D和EF，两标杆相隔2米，并且建筑物AB、标杆D和EF在同一竖直平面内．从标杆D后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端在同一条直线上；从标杆EF后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是米．
分析：
观察图形，存在两对相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例即可求解
解：
由题意，知AB⊥BH，D⊥BH，
∴∠ABD=∠DG=90°
∴AB∥D
∴△DG∽△ABG
∴，即①
同理，即②
由①②，得AB=4
故填4
评注：
解答此题的关键是能从实际问题中抽象出相似三角形，并利用相似三角形的性质求解
考点平面直角坐标中的位似变换
例7（201•营口）如图7，△ABE和△DE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（3，4），点（2，2），点D（3，1），则点D的对应点B的坐标是（ ）
A（4，2）B（4，1）（，2）D（，1）
解析：
法一：
将图形向左平移1个单位长度，使位似中心为原点，则A，，D的对应点的坐标分别为A′（2，4），′（1，2），D′（2，1），则△A′B′E′和△′D′E′的相似比为=2将点D′的横、纵坐标都乘以2，得点B′的坐标为（4，2），将点B′向右平移1个单位长度，得点B的坐标为（，2）故选
法二：
设点B的坐标为（x，），则，
解得x=，=2
∴点B的坐标为（，2），故选
评注：
此题通过平移，将问题转化为以原点为位似中心的位似变换问题解决，或者直接利用“对应点到位似中心的距离（这里分解为横向距离、纵向距离）之比=相似比”解决无论哪种方法，都离不开数形的有机结合
误区点拨
1误把特殊当一般
例1如图1，点B，在线段DE上，且△AB是等边三角形当DB，B，E满足怎样的关系时，△ADB∽△EA？
并加以证明
错解：
当DB=B=E时，△ADB∽△EA
证明：
∵△AB是等边三角形，
∴∠AB=∠AB=60°，AB=B=A
∴∠ABD=∠AE=120°
∵DB=B=E，
∴=1
∴△ADB∽△EA
剖析：
错解没有认真思考，给定的条除了能判定两三角形相似外，还能判定两三角形全等，具有特殊性，不符合一般性的要求，因此错误
正解：
当，或B2=DB•E时，△ADB∽△EA
证明：
∵△AB是等边三角形，
∴∠AB=∠AB=60°，AB=B=A
∴∠ABD=∠AE=120°
又，
∴
∴△ADB∽△EA
2考虑不周，导致多解或漏解
例2如图2，P是Rt△AB的斜边B上异于B,的一点，过P点作直线截△AB，使截得的三角形与△AB相似，满足这样条的直线条数是（ ）
A1 B2 3 D4
错解：
选B或D
剖析：
如图3，共有3种情况，分别是过点P作PD∥A或∠BPD=∠、PD∥AB或∠PD=∠B、PD⊥B或∠BPD=∠A
正解：
选
跟踪训练
1（201•武汉）如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3）、B（6，0）．以原点为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段D，则点的坐标为（）
A．（2，1）B．（2，0）．（3，3）D．（3，1）
2（201•恩施州）如图，在平行四边形ABD中，EF∥AB交AD于点F，DE∶EA=3∶4，EF=3，则D的长为（）
A4B73D12
3（201•株洲）如图，已知AB，D，EF都与BD垂直，垂足分别是B，D，F，且AB=1，D=3，那么EF的长是（）
A B D
4（201•庆阳）如图，在△AB中，两条中线BE，D相交于点，则S△DE∶S△DE=（ ）
A1∶4B．1∶3．1∶2D．2∶3
（201•安徽）如图，矩形ABD中，AB=8，B=4，点E在AB上，点F在D上，点G，H在对角线A上若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）
A2B3D6
6（201•自贡）－副三角板叠放如图，则△AB与△D的面积之比为________．
7（201•河池）如图，菱形ABD的边长为1，直线l过点，交AB的延长线于点，交AD的延长线于N，则1A+1AN=
8（201•泰安）如图，在△AB中，AB=A，点P，D分别是B，A边上的点，且∠APD=∠B
（1）求证：
A•D=P•BP；
（2）若AB=10，B=12，当PD∥AB时，求BP的长
9（201•崇左）一块材料的形状是锐角三角形AB，边B=120，高AD=80，把它加工成正方形零如图①，使正方形的一边在B上，其余两个顶点分别在AB，A上．
（1）求证：
△AEF∽△AB；
（2）求这个正方形零的边长；
（3）如果把它加工成矩形零如图②，问这个矩形的最大面积是多少？
参考答案
111成比例线段
12B3D
46
7解：
令，则a+2=3，b=4，+=6
∴a=3－2，b=4，=6－
∵2a－b+3=21，
∴2（3－2）－4+3（6－）=21,即20=40，解得=2
∴a=3－2=4，b=4=8，=6－=7
∴a∶b∶=4∶8∶7
8证明：
∵E∥AB，
∴
同理
∴
112相似三角形
1A2B34B
61︰371
8解：
（1）证明：
∵∠AP=∠APD+∠DP=∠PAB+∠B，∠APD=∠B，
∴∠DP=∠PAB
又AB=A，
∴∠B=∠
∴△ABP∽△PD
∴=
∴=
∴
（2）解：
∵PD∥AB，
∴∠DP=∠B
又∠DP=∠PAB，∠B=∠，
∴∠PAB=∠
又∠B=∠B，
∴△PBA∽AB
∴=
∴BP===
9
（1）证明：
∵四边形EGHF是正方形，
∴EF∥B．
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠．
∴△AEF∽△AB．
（2）设EF=x，则A=AD－D=（80－x）．
由
（1）知△AEF∽△AB，
∴=，即=，解得x=48．
∴这个正方形零的边长为48．
（3）设EG=a，矩形EGHF的面积为2，则A=AD－D=（80－a）．
由
（1）知△AEF∽△AB
∴=，即=，解得EF=（80－a）．
∴=a•（80－a）=－（a－40）2＋2400．
由二次函数的性质知，当a=40时，有最大值，为2400．
∴这个矩形的最大面积是24002．
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