最新北师大版高中数学必修三学案第三章 疑难规律方法第三章 概率.docx

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最新北师大版高中数学必修三学案第三章疑难规律方法第三章概率

1　辨析频率与概率

概率与频率虽只有一字之差，但意义大不相同，同时二者之间又有一定的联系．下面和同学们一起认识一下这对“孪生兄弟”．

一、频率与概率的区别

频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，它的值等于随机事件发生的次数与试验总次数的比．频率是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的某事件发生的频率不一定相同．而概率是一个确定的值，是客观存在的，与每次试验无关，与试验次数也无关．

例1连续抛掷一枚硬币10次，落地后正面向上出现了6次，设“抛一次硬币，正面向上”为事件A，则下列说法正确的有________．

①P（A）＝

；

②P（A）≈

；

③再连续抛掷该硬币10次，落地后出现正面的次数还是6；

④事件A发生的频率为

；

⑤无论哪一次抛，硬币落地后正面向上的概率相同．

解析　④⑤正确．在一次试验中，事件A发生的概率为

，再连续抛掷该硬币10次，落地后出现正面的次数不确定．

答案　④⑤

点评　频率的随机性和概率的确定性是二者的本质区别．

二、频率与概率的联系

1．在大量重复进行同一试验时，频率总是在某个常数附近摆动．由于事件的随机性，有时候频率也可能出现偏离该“常数”较大的情形，但随着试验次数的增加，这种情形出现的可能性会减小．概率是频率的稳定值，可看作是频率在理论上的平均值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．

2．在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切的得到，因此我们常常通过大量的重复试验，用随机事件发生的频率来估计概率．

例2一个不透明的袋中装有大小质地相同的红、白两种颜色的小球，某学习小组做摸球试验，每次从袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸．试验的部分数据如下表：

摸球次数

30

60

90

120

150

180

210

270

300

摸到红球的次数

6

25

31

38

45

53

67

摸到红球的频率

0.300

0.247

（1）将表格补充完整；（所求频率保留3位小数）

（2）估计从中随机摸一个球，求摸到红球的概率P.（保留2位小数）

解　

（1）第二行依次填：

18,74.

第三行依次填：

0.200,0.278,0.258,0.253,0.250，0.252，0.248.

（2）由

（1）知，虽然抽取次数不同，所得频率值不同，但随试验次数的增加，频率在常数0.250附近摆动，

故P≈0.25.

点评　只有当频率值在某一常数附近摆动时，才能将此常数近似看作该事件发生的概率．现实生活中很多事件的概率是难以确切得到的，鉴于随机事件的发生带有随机性的同时又存在一定的规律性，故一般通过大量的重复试验，用随机事件的频率来估计概率.

2　概率加法公式应用点拨

概率的加法公式是计算概率的一个最基本的公式，根据它可以计算一些复杂事件的概率．概率的加法公式可推广为若事件A1，A2，…，An彼此互斥（两两互斥），则P（A1＋A2＋…＋An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An），即彼此互斥事件和的概率等于各个事件发生的概率之和．用此公式时，同学们首先要判断事件是否互斥，如果事件不互斥，就不能用此公式．下面举例说明概率加法公式的应用．

一、计算互斥事件和的概率

例1由经验得知，某市某大型超市付款处排队等候付款的人数及其概率如下表：

排队人数

0

1

2

3

4

5人以上

概率

0.10

0.16

0.30

0.3

0.10

0.04

求：

（1）至多2人排队的概率；

（2）至少2人排队的概率．

解　

（1）记“没有人排队”为事件A，“1人排队”为事件B，“2人排队”为事件C，则A，B，C彼此互斥．

P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0.10＋0.16＋0.30＝0.56.

（2）记“至少2人排队”为事件D，“少于2人排队”为事件A＋B，那么事件D与事件A＋B是对立事件，则P（D）＝P（

）＝1－[P（A）＋P（B）]＝1－（0.10＋0.16）＝0.74.

点评　应用概率加法公式求概率的前提有两个：

一是所求事件是几个事件的和，二是这几个事件彼此互斥．在应用概率加法公式前，一定要弄清各事件之间的关系，把一个事件分拆为几个彼此互斥的事件的和，再应用公式求解所求概率．

二、求解“至少”与“至多”型问题

例2甲、乙、丙、丁四人同时参加一等级考试，已知恰有1人过关（事件A）的概率为0.198，恰有2人过关（事件B）的概率为0.38，恰有3人过关（事件C）的概率为0.302,4人都过关（事件D）的概率为0.084.求：

（1）至少有2人过关的概率P1；

（2）至多有3人过关的概率P2.

分析　“至少有2人过关”即事件B＋C＋D.“至多有3人过关”即事件A、B、C与事件“4人均未过关”的并事件，其对立事件为D.（注意“4人均未过关”这种可能情况）

解　由条件知，事件A、B、C、D彼此互斥．

（1）P1＝P（B＋C＋D）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＝0.766.

（2）P2＝P（

）＝1－P（D）＝1－0.084＝0.916.

点评　处理“至多”、“至少”型问题，即可以分情况讨论，也可以从反面考虑，即借助对立事件的概率间接求解．当事件包含的情况较多时，常利用P（A）＝1－P（

）求P（A）．

三、列方程求解概率问题

例3某班级同学的血型分别为A型、B型、AB型、O型，从中任取一名同学，其血型为AB型的概率为0.09，为A型或O型的概率为0.61，为B型或O型的概率为0.6，试求任取一人，血型为A型、B型、O型的概率各是多少？

分析　设出所求事件的概率，将题中涉及到的事件用所求事件表示出来，借助这些事件的概率及公式，列方程求解即可．

解　记“任取一人，血型为A型”、“任取一人，血型为B型”、“任取一人，血型为AB型”、“任取一人，血型为O型”分别为事件E，F，G，H，显然事件E，F，G，H两两互斥．

故

解得

所以任取一人，血型为A型、B型、O型的概率分别为0.31、0.3、0.3.

点评　本题很好地应用了全体事件的和为必然事件这一点．挖掘题目中的隐含条件并合理利用是解决某些问题的关键，同学们应注重这种能力的培养.

3　随机事件的概率

结论1　概率大的随机事件不一定意味着肯定发生．在一次试验中，概率大的随机事件的发生不一定优于概率小的随机事件的发生．

释义　对于概率的大小问题，只能说明相对于同一随机事件而言，概率大的发生的可能性大，概率小的发生的可能性小．

例1　在一次试验中，随机事件A发生的概率是0.3，随机事件B发生的概率是0.7，你认为如果做一次试验，可能出现B不发生A发生的现象吗？

为什么？

解　这是可能的．因为随机事件B的发生概率大于随机事件A的发生概率，但并不意味着在一次试验中随机事件B的发生一定优于随机事件A的发生，随机事件的发生是不确定的．

点评　结论1实现实际生活中小概率事件发生的可能性．对于概率问题，必须注意的是概率是相对于大量重复试验的前提下得到的理论值，但在少数的有限试验中，概率不一样的随机事件发生的可能性无法确定．

结论2　概率是由巨大数据统计后得出的结论，是一种大的整体的趋势；而频率是数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．概率可以看作频率在理论上的期望值．

释义　概率与频率的关系是整体与具体、理论与实践、战略与战术的关系，频率随着随机事件次数的增加会趋向于概率．在处理具体的随机事件时，用概率作指导，以频率为依据．

例2　甲、乙两名射击运动员被选拔参赛奥运会，下表是两人在参赛前训练中击中10环以上的次数统计：

甲射击运动员：

射击次数n

10

20

50

100

200

500

击中10环以上的次数m

9

17

44

92

179

450

击中10环以上的频率

乙射击运动员：

射击次数n

10

20

50

100

200

500

击中10环以上的次数m

8

19

44

93

177

453

击中10环以上的频率

请根据以上表格中的数据回答以下问题：

（1）分别计算出两位运动员击中10环以上的频率；

（2）根据

（1）中计算的结果预测两位运动员在奥运会上每次击中10环以上的概率．

解　

（1）两运动员击中10环以上的频率分别为

甲：

0.9,0.85,0.88,0.92,0.895,0.9；

乙：

0.8,0.95,0.88,0.93,0.885,0.906.

（2）由

（1）中的数据可知两位运动员击中10环以上的频率都集中在0.9这个数的附近，所以可以预测两位运动员在奥运会上每次击中10环以上的概率为0.9，即两人的实力相当．

点评　结论2实现频率与概率既有联系又有区别，频率随着随机事件的试验次数的不断增加而趋向于概率.

4　点击互斥事件

一、互斥事件、对立事件的概念

1．“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，也就是说互斥事件至多有一个发生，也有可能两个都不发生，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件．因此，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．

2．从集合的角度理解

两个互斥事件对应的基本事件所组成的集合的交集为空集，并集可能是全集，也可能不是全集；当A、B是对立事件时，其交集为空集，并集是全集．

3．互斥事件之间的关系中的“不能同时发生”体现了分类讨论的原则“不重复”，而“不遗漏”则表现在所有互斥事件的和是整个事件（必然事件）．

二、例题点击

1．互斥事件、对立事件的判断

例1　从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥但不对立的事件是（　　）

A．至少有1个红球与都是红球

B．至少有1个黑球与至少有1个红球

C．恰有1个黑球与恰有2个红球

D．至少有1个黑球与都是红球

解析　“从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球”这一事件共包含3个基本事件：

（红，红），（黑，黑），（红，黑），故恰有1个黑球与恰有2个红球互斥但不对立，故选C.

答案　C

点评　借助于列举基本事件，结合定义，易判断出互斥与对立事件．

例2　一个不透明的袋中装入4个白球和4个黑球，从中任意摸出3个球．

（1）可能发生哪些事件？

（2）指出其中每个事件的互斥事件；

（3）事件“至少摸出1个白球”是哪几个事件的和事件？

它的对立事件是哪个事件？

解　

（1）以白球或黑球的个数作为讨论标准，可能发生下列事件：

①摸出3个白球，记为事件A；

②摸出2个白球，1个黑球，记为事件B；

③摸出1个白球，2个黑球，记为事件C；

④摸出3个黑球，记为事件D；

（2）事件A、B、C、D彼此互斥；

（3）“至少摸出1个白球”的事件为A、B、C的和事件，即“至少摸出1个白球”的对立事件是D.

点评　理解实现对立事件与互斥事件的联系与区别．特别在解答一些问题时，在把复杂事件加以分解的事件个数不是太多的情况下，可以把所有的事件罗列下来，结合互斥事件与对立事件的概念加以辨析．

2．互斥事件的计算

例3　袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中任取1只，有放回地抽取3次，求3只颜色不全相同的概率．

解　记“3只颜色全相同”为事件A，则所求事件为A的对立事件．

因为“3只颜色全相同”又可分为“3只全是红球（事件B）”，“3只全是黄球（事件C）”，“3只全是白球（事件D）”，且它们彼此互斥，

故3只颜色全相同即为事件B＋C＋D，

由于红、黄、白球的个数一样，

故有P（B）＝P（C）＝P（D）＝

，

所以P（A）＝P（B＋C＋D）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＝

，

因此有P（

）＝1－

＝

.

答　3只颜色不全相同的概率是

.

点评　本题可将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，但比较麻烦，故转化为其对立事件求解，体现了“正难则反”的思想．注意“3只颜色全相同”可分为三个彼此互斥的基本事件，它的对立事件为“3只颜色不全相同”.

5　解古典概型的几个注意

解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点：

（1）有限性：

做一次试验，可能出现的结果为有限个，即只有有限个不同的基本事件．

（2）等可能性：

每个基本事件发生的可能性是相等的．其计算公式P（A）＝

也比较简单，但是这类问题的解法多样，技巧性强，下面列举了在解题中需要注意的几个问题．

注意1——有限性和等可能性

例1　掷两枚均匀的硬币，求出现一正一反的概率．

分析　这个试验的基本事件（所有可能结果）共有4种：

（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），事件A“出现一正一反”的所有可能结果为（正，反），（反，正）．

解　P（A）＝

＝

.

点评　均匀硬币在抛掷过程中出现正、反面的概率是相等的，并且试验结果是有限个．

注意2——计算基本事件的数目时，须做到不重不漏

例2　从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：

（1）A＝{三个数字中不含1和5}；

（2）B＝{三个数字中含1或5}．

分析　这个试验的所有可能结果为（1,2,3），（1,2,4），（1,2,5），（1,3,4），（1,3,5），（1,4,5），（2,3,4），（2,3,5），（2,4,5），（3,4,5），共10种．

解　

（1）事件A为（2,3,4），故P（A）＝

.

（2）事件B的所有可能结果为（1,2,3），（1,2,4），（1,2,5），（1,3,4），（1,3,5），（1,4,5），（2,3,5），（2,4,5），（3,4,5），共9种．故P（B）＝

.

点评　在计算事件数目时，要做到不重不漏，如B中可分为含1的：

（1,2,3），（1,2,4），（1,2,5），（1,3,4），（1,3,5），（1,4,5）．含5的：

（1,2,5），（1,3,5），（2,3,5），（3,4,5），（1,4,5），（2,4,5）．在归于集合B中时，（1,2,5），（1,3,5），（1,4,5）这三个不能重复计算．

注意3——利用事件间的关系

例3　有3个完全相同的小球a，b，c，随机放入甲、乙两个盒子中，求两个盒子都不空的概率．

分析　先分析三个小球随机放入甲、乙两个盒子的基本事件，再确定两个盒子都不空的对立事件是至少有一个盒子为空所包含事件，从而确定该事件的概率．

解　a，b，c三个小球随机放入甲、乙两个盒子的基本事件为

甲盒

a，b，c

a，b

a

a，c

b，c

b

c

空

乙盒

空

c

b，c

b

a

c，a

a，b

a，b，c

两个盒子都不空的对立事件是至少有一个盒子为空，所包含事件：

甲盒子a，b，c，乙盒子空；甲盒子空，乙盒子a，b，c，共两个，故P＝1－

＝

.

点评　在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式P（A1＋A2＋…＋An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）求得或采用正难则反的原则，转化为其对立事件，再用公式P（A）＝1－P（

）求得.

6　古典概型技巧谈

求解古典概型问题时，基本事件数的求解有时比较麻烦，下面介绍几种常见的古典概型解题技巧．

一、利用对称性求概率

在古典概型中，处于对称平等地位的事件发生的概率一般相同，应用这一结论可以巧妙地列举出基本事件，简化计算，从而收到事半功倍的效果．

例1在线段AB上任取不同的3点x1，x2，x3.求x2位于x1，x3之间的概率．

分析　初看本题不是古典概型问题，但如果我们仔细观察，就会发现，其实是一个古典概型问题．

解　设A1＝{x1位于x2、x3之间}，A2＝{x2位于x1，x3之间}，A3＝{x3位于x1、x2之间}，则事件A1，A2，A3处于对称平等的地位，其发生的可能性是相等的，且A1，A2，A3两两互斥．故该试验可看成只有3个基本事件A1，A2，A3，所以所求概率P（A2）＝

.

点评　在线段AB上取点有无数种情况，但据此题而言，只需考虑x1，x2，x3三者的位置关系，并由对称性顺利求解．

跟踪训练1　临近毕业，各个班级都在合影留念，在高三

（1）班合影时，摄影师随意安排A、B、C、D、E共5名同学站成一排，试求A在B的右边（A、B可以不相邻）的概率为________．

解析　A在B的右边与B在A的右边对称．

答案　

二、转换角度求概率

在解决古典概型问题时，应抓住事件的本质，从合适的角度入手，正确列举出基本事件．

例2任取一个正整数，求该数的四次方的末位数字是1的概率．

分析　任取一个正整数，有无数种情况，但它们的四次方的末位数只与正整数的末位数0～9有关，因此，只研究其末位数即可．

解　不能把所有的正整数作为基本事件总体，因为这样得到的基本事件是无限的，不满足古典概型所要求的“有限性”的条件．由于正整数四次方的末位数是由这个数的末位数决定的，可能是0,1,2，…，9中的任意一个（等可能），当该数的末位数是1,3,7,9时，其四次方的末位数均为1.所以，取基本事件为0,1,2，…，9.则所求事件A＝{1,3,7,9}，其概率P（A）＝

＝

.

点评　通过该例，我们看到当问题应用常规的列举法无法解答时，应探求其本质，本题只是根据决定四次方的末位数为1的“末位数”来解答的．当然这类题有其特殊性，但是从中可以发现选取合适的基本事件是非常重要的．

跟踪训练2　有五名同学A、B、C、D、E需在最短时间内站成一排，则C恰好站在中间的概率为________．

解析　只考虑中间位置．

答案　

三、利用互斥事件（或对立事件）求概率

有些古典概型问题，如果从正面考虑其基本事件比较多，可以分解为几个互斥事件进行求解，也可以从它的反面考虑，即借助对立事件来求．

例3在大小、质点均相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意抽取3个球，至少有1个是红球的概率是多少？

分析　“至少有一个是红球”包括“2个白球，1个红球”、“1个白球，2个红球”，其对立事件为“3个白球”，故该事件可分解为两互斥事件的和，也可借助其对立事件来求解．

解　记“抽取3个白球”为事件A.设白球标号为1,2,3,4，红球标号为5,6，从6个球中任取3个球，可能结果列举如下：

1－2－3,1－2－4,1－2－5,1－2－6,1－3－4,1－3－5，1－3－6，1－4－5,1－4－6,1－5－6,2－3－4,2－3－5，2－3－6，2－4－5,2－4－6,2－5－6,3－4－5,3－4－6，3－5－6，4－5－6，共20种．其中选取的3个球是白球的情形有1－2－3,1－2－4,1－3－4,2－3－4，共4种．

所以所选的3个球全为白球的概率P（A）＝

＝

.因为事件“抽取的3个球全为白球”与事件“抽取的3个球中至少有1个是红球”互为对立事件，所以“抽取的3个球中至少有1个是红球”的概率P＝1－P（A）＝1－

＝

.

点评　“至少”“至多”型的概率问题可从正反两个方面考虑：

正向思维是将所求事件的概率分解为一些简单的彼此互斥的事件的概率之和，分解时要不重复、不遗漏；逆向思维是将所求的概率转化为1与其对立事件的概率的差，即正难则反．

跟踪训练3　将一枚硬币连掷4次，则至少有1次正面朝上的概率为________．

答案　

通过对上述题目的分析说明，只要充分把握古典概型中的“有限”和“等可能”的要求，把握问题本质，巧妙构思，就能十分简便地得到结果，甚至有些看似在古典概型下无法求解的问题也可迎刃而解.

7　走出解几何概型的几个误区

几何概型和古典概型是概率中典型的问题，几何概型和古典概型有共同点，也有很多不一样的地方．我们在求解几何概型问题时，经常会出现一些典型的错误．下面用具体的例子帮同学们走出误区．

一、若P（A）＝0，则A未必是不可能事件；若P（A）＝1，则A未必是必然事件

例1　有一个底面是圆形的容器，底面圆半径是一枚硬币半径的10倍，现在把这枚硬币随机地扔进容器，求硬币与底面恰好相切的概率．

解　记“硬币与底面圆相切”为事件A，由题意知所求问题是以面积为测度的几何概型的概率问题，事件A对应的面积可以认为是0，故P（A）＝0.

点评　在古典概型中，P（A）＝0⇒A是不可能事件；而在几何概型中P（A）＝0，则A未必是不可能事件；P（A）＝1，A也未必是必然事件．

二、背景相似的问题，当试验的角度不同时，其概率测度不一样

例2　

（1）在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，过点A作一射线交线段BC于点M，求BM≤AB的概率；

（2）在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，在线段BC上取一点M，求BM≤AB的概率．

解　

（1）记“过点A作一射线交线段BC于点M，使BM≤AB”为事件Ω，

由于是过点A作一射线交线段BC于点M，

所以射线在∠BAC内是等可能出现的，

又当AB＝BM时∠BAM＝67.5°，

所以P（Ω）＝

＝

＝

.

（2）设AB＝AC＝1，则BC＝

，设“在线段BC上取一点M，使BM≤AB”为事件Ω，

则P（Ω）＝

＝

＝

.

点评　当试验是“过点A作一射线”时，用角度作测度；当试验是“在线段BC上取一点”时，线段长度作测度．一般地，试验是什么，可以确定基本事件是什么．基本事件累积起来，就可以确定区域是角度还是长度还是面积等．

三、错用测度类型

例3　在区间[0,2]中随机地取出两个数，求两数之和小于1的概率．

错解　两数之和小于1，那么每一个数是[0,1]之间，故每一个数对应的概率为

，那么所求两个数的概率为

×

＝

.

错因分析　因为两数之和小于1，故两个数之间有相互制约的关系，即两个变量之间不是相互独立的，不可将两个变量的概率相乘，故这种做法是错误的，应用面积做测度，计算概率．

正确答案　设x，y表示所取得任意两个数，

由于x∈[0,2]，y∈[0,2]，

∴以两数x，y为坐标的点在以2为边长的正方形区域内，

设“两数和小于1”为事件A，则事件A所在区域为直线x＋y＝1的下方且在正方形内的区域，设为S.

∴P（A）＝

＝

.

8　概率中的数学思想

概率的有关知识在实际生活中的应用非常广泛，恰当合理地运用数学思想方法，可以帮助我们更快、更准确地解决问题．下面举例说明求解概率问题时常用的三种思想方法．

一、数形结合思想

例1在一次商贸交易会上，某商家开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约参与抽奖．若甲计划在9∶00～9∶40之间赶到，乙计划在9∶20～10∶00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率．

分析　本题属于几何概型问题，由于涉及到两个变量，故可建立坐标系，借助面积来解决．

解　设两人到达的时间分别为9点到10点之间的第x分钟、第y分钟，用（x，y）表示，则所有可能结果可表示为{（x，y）|0≤x≤40,20≤y≤60}．记“甲比乙提前到达”为事件A，则事件A的可能结果为{（x，y）|x

如图所示，试验全部结果构成的区域为图中的正方形，而构成事件A的区域是正方形内的阴影部分，所以P（A）＝

＝

＝

.

点评　某些概率问题用常规方法来解，比较困难，而利用数形结合的方法求解，则可以形象地反映概率的本质，从而顺利解决问题．

二、转化与化归思想

例2现从5名优秀学生中随机抽取2人参加数学竞赛，问其中的甲、乙两人至多有一人去参加竞赛的概率是多少？

分析　对于这种含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，我们往往采用“正难则反”原理．这里因为每名学生被抽出的概率相等，且所有可能结果