高考全国卷Ⅰ文科数学立体几何汇编精编版doc.docx

高考全国卷Ⅰ文科数学立体几何汇编精编版doc.docx

《高考全国卷Ⅰ文科数学立体几何汇编精编版doc.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考全国卷Ⅰ文科数学立体几何汇编精编版doc.docx（52页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

高考全国卷Ⅰ文科数学立体几何汇编精编版doc

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编

立体几何

一、选择题

【2017，6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在

这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是（）

【2016，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂

28π

直的半径．若该几何体的体积是

，则它的表面积是（

）

3

A．17π

B．18π

C．20π

D．28π

【2016，11】平面

过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点

A，

∥平面CB1D1，

平面ABCDm，

平面ABB1A1

n，则m,n所成角的正弦值为（

）

A．

3

B．

2

C．

3

D．1

2

2

3

3

【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书

中有如下问

题：

“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问

”积及为米几何？

”其意思为：

“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一）

，米堆底部的弧长

为8尺，米堆的高为

5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？

”已知1斛米的体

积约为1．62

立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有

（

）

A．14斛

B．22斛

C．36斛

D．66斛

【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为

r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的

正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为

16+20π，则r=（）B

A．1

B．2

C．4

D．8

【2015，11】【2014，8】【2013，11】【2012，7】

【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个几何体的三视图，则这个几何体是（）

A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱

【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）．

A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π

【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为

A．6B．9C．12D．15

1

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

【2012，8】平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为2，则此球的体积为（）

A．6B．43C．46D．63

【2011，8】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）

二、填空题

【2017，16】已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面

SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_______．

【2013，15】已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为______．

【2011，16】已知两个圆锥由公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面

积是这个球面面积的3，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．

16

三、解答题

【2017，18】如图，在四棱锥

PABCD中，AB∥CD，且

BAP

CDP

90．

（1）证明：

平面PAB

平面PAD；

（2）若PAPD

AB

DC，

APD90，且四棱锥

PABCD的体积为8，求该四棱锥的侧面积．

3

2

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

【2016，18】如图所示，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA6，顶点P在平面ABC内

的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E．连结PE并延长交AB于点G．

（1）求证：

G是AB的中点；

（2）在题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．

P

E

A

DC

G

B

【2015，18】如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE⊥平面ABCD，（Ⅰ）证明：

平面AEC⊥平面BED；

（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD

的体积为6，求该三棱锥的侧面积．

3

3

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

【2014,19】如图，三棱柱ABC

A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO

平

面BB1C1C.

（1）证明：

B1C

;

AB

（2）若ACAB1,CBB160,BC1,求三棱柱ABCA1B1C1的高.

【2013，19】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．

（1）证明：

AB⊥A1C；

（2）若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．

4

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

【2012，19】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，AC=BC=1

2

AA1，D是棱AA1

的中点．

C1

（1）证明：

平面

BDC1⊥平面BDC；

B1

（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

A1

D

C

B

A

【2011，18】如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，

PD底面ABCD．

（1）证明：

PABD；

（2）若PDAD1，求棱锥DPBC的高．

5

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

解析

一、选择题

【2017，6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在

这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是（）

【解法】选A．由B，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由C，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由D，AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ．故A不满足，选A．

【2016，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几

何体的体积是

28π，则它的表面积是（

）．

3

A．17π

B．18π

C．20π

D．28π

解析：

选

A．由三视图可知，该几何体是一个球截去球的

1

7

4

πR

3

28π

，设球的半径为R，则

8

3

，

8

3

解得R

2．该几何体的表面积等于球的表面积的

7，加上3个截面的面积，每个截面是圆面的

1，

8

4

所以该几何体的表面积为S

7

4π22

3

1

π22

14π3π17π．故选A．

8

4

【2016，11】平面

过正方体ABCDA1B1C1D1

的顶点A，

∥平面CB1D1，

平面ABCD

m，

平面ABB1A1

n，则m,n所成角的正弦值为（

）

A．

3

B．

2

C．

3

1

2

2

3

D．

3

解析：

选A．解法一：

将图形延伸出去，构造一个正方体，如图所示．通过寻找线线平行构造出平面

，

即平面AEF，即研究AE与AF所成角的正弦值，易知

EAF

，所以其正弦值为

3．故选A．

3

2

6

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

E

D

A

C

B

F

D1

A1

C1

B1

解法二（原理同解法一）：

过平面外一点

A作平面

，并使

∥平面CB1D1，不妨将点

A变换成B，作

使之满足同等条件，在这样的情况下容易得到

，即为平面A1BD，如图所示，即研究

A1B与BD所成角

的正弦值，易知

A1BD

3

，所以其正弦值为

3．故选A．

2

D

A

C

B

D1

A1

C1

B1

【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，

书

中有如下问题：

“今有委米依垣内角，

下周八尺，高五尺，问

”积及为米几何？

”其意思为：

“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的

四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为

5尺，米堆的体积和堆放的

米各位多少？

”已知1斛米的体积约为

1．62立方尺，圆周率约为

3，估算出

堆放的米有（

）B

A．14斛

B．22斛

C．36斛

D．66斛

解：

设圆锥底面半径为

r，依题1

23r

8

r

16，所以米堆的体积

为1

1

16

320

4

320

3

3（

）25

，故堆放的米约为

÷1．62≈22，故选B．

4

3

3

9

9

【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为

r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的

正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为

16+20π，则r=（）B

A．1

B．2

C．4

D．8

解：

该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为

r，圆柱的高为2r，其表面积

为2πr2+πr×2r+πr2+2r×2r=5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选B．

【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的

一个几何体的三视图，则这个几何体是（）B

A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱

解：

几何体是一个横放着的三棱柱．故选B

7

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）．

A．16＋8π

B．8＋8π

C．16＋16π

D．8＋16π

解析：

选A．该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．

1

2

16＋8π．故选A．

V半圆柱＝

π×24＝8π，V长方体＝4×2×2＝16．所以所求体积为

2

【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）

A．6B．9C．12

【解析】由三视图可知，该几何体为

三棱锥A-BCD，底面△BCD为底边为6，高为3的等腰三角形，

侧面ABD⊥底面BCD，

AO⊥底面BCD，

因此此几何体的体积为

B

V

1

（1

6

3）39，故选择B．C

3

2

【2012，8】8．平面

截球O的球面所得圆的半径为

D．15

A

OD

1，球心O到平面的

距离为

2，则此球的体积为（

）

A．

6

B．4

3

C．4

6

D．6

3

【解析】如图所示，由已知

O1A

1，OO1

2，

在Rt

OO1A中，球的半径R

OA

3，

所以此球的体积V

4

R3

43，故选择B．

3

【点评】本题主要考察球面的性质及球的体积的计算．

【2011，8】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）

【解析】由几何体的正视图和侧视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由

8

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

等腰三角形及底边上的高构成的平面图形．

故选D．

二、填空题

【2017，16】已知三棱锥S

ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面

SCA

平面SCB，SA

AC，SB

BC，三棱锥S

ABC的体积为

9，则球O的表面积为_______．

【解析】取SC的中点O，连接OA,OB，因为SA

AC,SB

BC，所以OA

SC,OB

SC，

因为

平

面

SAC

平

面

S

B

C，所

以

OA

平

面S

BC，设

OA，r

VASBC

1

SSBC

OA

1

1

2r

r

r

1r3，所以

1r3

9r

3，

3

3

2

3

3

所以球的表面积为

4r2

36

．

【2013，15】已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为______．

答案：

9π

2

解析：

如图，

设球O的半径为R，则AH＝2R，OH＝R．又∵π·EH2＝π，∴EH＝1．∵在Rt△OEH中，R2＝

33

2

R+12，∴R2＝9．∴S球＝4πR2＝9π．

382

【2011，16】已知两个圆锥由公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面

积是这个球面面积的

3

，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为

．

16

【解析】设圆锥底面半径为

r，球的半径为

R

，则由π23

4π2，知

23

2

．

r

R

r

R

16

4

根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心

O，且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的

点，因此PB

QB．

设PO

x，QO

y，则x

y2R

．

又△POB∽△BOQ，知r2

OB2

xy．

即xy

r2

3R2．

4

由

及x

y可得x

3R,y

R．

2

2

9

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为

1．

故答案为1．

3

3

三、解答题

【2017，18】如图，在四棱锥

PABCD中，AB∥CD，且

BAP

CDP

90．

（1）证明：

平面PAB

平面PAD；

（2）若PA

PD

AB

DC，

APD90，且四棱锥

PABCD的体积为8，求该四棱锥的侧面积．

3

【解法】

（1）BAP

CDP

90，ABA,PCDDP

又AB∥CD

AB

DP

又AP平面PAD，DP平面PAD，且

AB平面PAB，所以平面PAB平面

APDPPAB平面PAD

PAD

（2）由题意：

设PAPDABDC=a，因为APD90，所以PAD为等腰直角三角形

即AD=2a

取AD中点E，连接PE，则PE2a，PEAD．

2

又因为平面PAB平面PAD

所以PE平面ABCD

因为AB

平面PAD，AB∥CD

所以AB

AD，CDAD

又ABDC=a

所以四边形ABCD为矩形

10

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

VPABCD

1ABADPE

1

a2a

2a

1a3

8

所以

3

3

2

3

3

即a2

S侧=1

223+1

226=6+23

2

2

【2016，18】如图所示，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA6，顶点P在平面ABC内

的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E．连结PE并延长交AB于点G．

（1）求证：

G是AB的中点；

（2）在题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．

P

A

E

C

G

D

B

解析：

（1）由题意可得△ABC为正三角形，故

PAPBPC6．

因为P在平面ABC内的正投影为点

D，故PD

平面ABC．

又AB平面ABC，所以ABPD．

因为D在平面PAB内的正投影为点E，故DE平面PAB．

又AB

平面PAB，所以AB

DE．

因为AB

PD，ABDE，PDDE

D，PD,DE

平面PDG，

所以AB

平面PDG．又PG

平面PDG，所以AB

PG．

因为PA

PB，所以G是AB的中点．

（2）过E作EF∥BP交PA于F，则F即为所要寻找的正投影．

11

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

P

F

A

E

C

G

D

B

理由如下，因为

PB

PA，PB∥EF，故EF

PA．同理EFPC，

又PAPC

P，PA,PC

平面PAC，所以EF

平面PAC，

故F即为点E

在平面PAC

内的正投影．

所以VDPEF

1S△PEF

DE

1PF

EFDE．

3

6

在△PDG中，PG

32，DG

6，PD

2

3，故由等面积法知DE2．

4

由勾股定理知PE22，由△PEF为等腰直角三角形知PFEF2，故VDPEF．

3

【2015，18】如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE⊥平面ABCD，（Ⅰ