《一元二次方程的解法》提高训练.docx

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《一元二次方程的解法》提高训练

《一元二次方程的解法》提高训练

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1．（5分）用配方法解一元一次方程x2﹣8x﹣4＝0，经配方后得到的方程是（　　）

A．（x﹣4）2＝20B．（x﹣4）2＝16C．（x﹣4）2＝12D．（x﹣4）2＝4

2．（5分）用配方法解方程时，下列配方错误的是（　　）

A．x2+6x﹣7＝0化为（x+3）2＝0

B．x2﹣5x﹣4＝0化为

C．x2+2x﹣99＝0化为（x+1）2＝100

D．3x2﹣4x﹣2＝0化为

3．（5分）方程x2﹣4x﹣12＝0的解为（　　）

A．x1＝2，x2＝6B．x1＝2，x2＝﹣6

C．x1＝﹣2，x2＝6D．x1＝﹣2，x2＝﹣6

4．（5分）若三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）

A．13B．16C．12或13D．11或16

5．（5分）一元二次方程x2﹣8x＝32可表示成（x﹣a）2＝32+b的形式，其中a、b为整数，则a+b的值为（　　）

A．20B．12C．﹣12D．﹣20

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

6．（5分）若方程x2﹣4x+3＝0的两根是等腰三角形的底和腰，则它的周长为　　．

7．（5分）关于x的一元二次方程（x+3）2＝a﹣1有实数根，则a的取值范围是　　．

8．（5分）方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则方程（2x﹣3）2+2（2x﹣3）﹣3＝0的解是　　．

9．（5分）一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程x2﹣13x+40＝0的根，则此三角形的周长为　　．

10．（5分）对于两个不相等的实数a、b，我们规定max{a、b}表示a、b中较大的数，如max{1，2}＝2．那么方程max{2x，x﹣2}＝x2﹣4的解为　　．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）解方程：

（1）x2+4x﹣5＝0．

（2）x2﹣3x+1＝0．

12．（10分）用指定的方法解下列一元二次方程：

（1）x2﹣2x﹣2＝0（公式法）；

（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）（因式分解法）；

（3）2x2﹣4x+1＝0（配方法）

13．（10分）

（1）解方程x2﹣2x﹣1＝0；

（2）解方程x（x+3）＝2x+6．

14．（10分）用适当的方法解下列方程：

（1）4（6x﹣1）2＝25（直接开平方法）；

（2）x2﹣2x＝2x﹣1（公式法）；

（3）x2+3x﹣2＝0（配方法）；

（4）x（x﹣7）＝8（7﹣x）（因式分解法）

15．（10分）已知关于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0．小聪认为，无论a为何实数，这个方程都是一元二次方程；而小明认为，方程的类型要取决于字母a的取值．你认为谁的判断是正确的，并简述理由．

《一元二次方程的解法》提高训练

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1．（5分）用配方法解一元一次方程x2﹣8x﹣4＝0，经配方后得到的方程是（　　）

A．（x﹣4）2＝20B．（x﹣4）2＝16C．（x﹣4）2＝12D．（x﹣4）2＝4

【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．

【解答】解：

∵x2﹣8x＝4，

∴x2﹣8x+16＝16+4，即（x﹣4）2＝20，

故选：

A．

【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键．

2．（5分）用配方法解方程时，下列配方错误的是（　　）

A．x2+6x﹣7＝0化为（x+3）2＝0

B．x2﹣5x﹣4＝0化为

C．x2+2x﹣99＝0化为（x+1）2＝100

D．3x2﹣4x﹣2＝0化为

【分析】将各项中的方程二次项系数化为1，常数项移到方程右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．

【解答】解：

A、x2+6x﹣7＝0，

移项得：

x2+6x＝7，

配方得：

x2+6x+9＝16，即（x+3）2＝16，本选项正确；

B、x2﹣5x﹣4＝0，

移项得：

x2﹣5x＝4，

配方得：

x2﹣5x+

＝

，即（x﹣

）2＝

，本选项错误；

C、x2+2x﹣99＝0，

移项得：

x2+2x＝99，

配方得：

x2+2x+1＝100，即（x+1）2＝100，本选项错误；

D、3x2﹣4x﹣2＝0，

方程化简得：

x2﹣

x＝

，

配方得：

x2﹣

x+

＝

，即（x﹣

）2＝

，本选项错误，

故选：

A．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程二次项系数化为1，常数项移到右边，然后两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解．

3．（5分）方程x2﹣4x﹣12＝0的解为（　　）

A．x1＝2，x2＝6B．x1＝2，x2＝﹣6

C．x1＝﹣2，x2＝6D．x1＝﹣2，x2＝﹣6

【分析】方程利用因式分解法求出解即可．

【解答】解：

x2﹣4x﹣12＝0，

分解因式得：

（x+2）（x﹣6）＝0，

可得x+2＝0或x﹣6＝0，

解得：

x1＝﹣2，x2＝6，

故选：

C．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

4．（5分）若三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）

A．13B．16C．12或13D．11或16

【分析】首先利用因式分解法求得一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，又由三角形的两边长分别是4和6，利用三角形的三边关系，即可确定这个三角形的第三边长，然后求得周长即可．

【解答】解：

∵x2﹣5x+6＝0，

∴（x﹣3）（x﹣2）＝0，

解得：

x1＝3，x2＝2，

∵三角形的两边长分别是4和6，

当x＝3时，3+4＞6，能组成三角形；

当x＝2时，2+4＝6，不能组成三角形．

∴这个三角形的第三边长是3，

∴这个三角形的周长为：

4+6+3＝13

故选：

A．

【点评】此题考查了因式分解法解一元二次方程与三角形三边关系的知识．此题难度不大，解题的关键是注意准确应用因式分解法解一元二次方程，注意分类讨论思想的应用．

5．（5分）一元二次方程x2﹣8x＝32可表示成（x﹣a）2＝32+b的形式，其中a、b为整数，则a+b的值为（　　）

A．20B．12C．﹣12D．﹣20

【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式配方得到结果，求出a与b的值，即可求出a+b的值．

【解答】解：

方程x2﹣8x＝32，

配方得：

x2﹣8x+16＝32+16，即（x﹣4）2＝32+16，

可得a＝4，b＝16，

则a+b＝16+4＝20．

故选：

A．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

6．（5分）若方程x2﹣4x+3＝0的两根是等腰三角形的底和腰，则它的周长为　7　．

【分析】利用因式分解法解一元二次方程求出x的值，再分两种情况讨论求解，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能够组成三角形．

【解答】解：

x2﹣4x+3＝0，

（x﹣3）（x﹣1）＝0，

x﹣3＝0，x﹣1＝0，

解得x1＝3，x2＝1，

当3为腰长时，三角形的三边分别为3，3，1，

能组成三角形，

周长＝3+3+1＝7，

当3是底边时，三角形的三边分别为3，1，1，

∵1+1＜3

不能够组成三角形，

综上所述，这个等腰三角形的周长是7．

故答案为：

7．

【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．

7．（5分）关于x的一元二次方程（x+3）2＝a﹣1有实数根，则a的取值范围是　a≥1　．

【分析】根据平方的意义得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出结论．

【解答】解：

∵关于x的一元二次方程（x+3）2＝a﹣1有实数根，

∴a﹣1≥0，

解得a≥1，

故答案为a≥1．

【点评】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．

8．（5分）方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则方程（2x﹣3）2+2（2x﹣3）﹣3＝0的解是　x1＝2，x2＝0　．

【分析】把（2x+3）看成一个整体，另一个方程和已知方程的结构形式完全相同，所以2x+3与已知方程的解也相同．

【解答】解：

∵1，﹣3是已知方程x2+2x﹣3＝0的解，

由于另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0与已知方程的形式完全相同

∴2x+3＝1或2x+3＝﹣3

解得x1＝﹣1，x2＝﹣3．

故答案为：

x1＝﹣1，x2＝﹣3．

【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义，解决本题即可用换元法，也可直接转化．

9．（5分）一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程x2﹣13x+40＝0的根，则此三角形的周长为　13　．

【分析】因式分解法解方程可求得三角形的第三边，再根据三角形三边关系进行取舍即可求得答案．

【解答】解：

解方程x2﹣13x+40＝0可得x＝5或x＝8，

当第三边为5时，则三角形的三边长为3、5、5，满足三角形三边关系，其周长为13；

当第三边为8时，则三角形的三边长为3、5、8，不满足三角形三边关系，舍去．

则此三角形的周长为13．

故答案为：

13．

【点评】本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，求得方程的两根是解题的关键，注意分类讨论．

10．（5分）对于两个不相等的实数a、b，我们规定max{a、b}表示a、b中较大的数，如max{1，2}＝2．那么方程max{2x，x﹣2}＝x2﹣4的解为　x1＝1

，x2＝1﹣

　．

【分析】直接分类讨论得出x的取值范围，进而解方程得出答案．

【解答】解：

当2x＞x﹣2时，

故x＞﹣2，

则2x＝x2﹣4，

故x2﹣2x﹣4＝0，

（x﹣1）2＝5，

解得：

x1＝1+

，x2＝1﹣

；

当2x＜x﹣2时，

故x＜﹣2，

则x﹣2＝x2﹣4，

故x2﹣x﹣2＝0，

解得：

x3＝2（不合题意舍去），x4＝﹣1（不合题意舍去），

综上所述：

方程max{2x，x﹣2}＝x2﹣4的解为：

x1＝1

，x2＝1﹣

．

故答案为：

x1＝1

，x2＝1﹣

．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确分类讨论是解题关键．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）解方程：

（1）x2+4x﹣5＝0．

（2）x2﹣3x+1＝0．

【分析】

（1）用因式分解法解一元二次方程即可；

（2）用公式法解一元二次方程即可．

【解答】解：

（1）因式分解得，（x﹣1）（x+5）＝0，

x﹣1＝0，x+5＝0，

∴x1＝1，x2＝﹣5；

（2）a＝1，b＝﹣3，c＝1，

∴△＝b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，

∴x＝

＝

，

∴x1＝

，x2＝

．

【点评】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

12．（10分）用指定的方法解下列一元二次方程：

（1）x2﹣2x﹣2＝0（公式法）；

（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）（因式分解法）；

（3）2x2﹣4x+1＝0（配方法）

【分析】

（1）利用公式法即可求解；

（2）利用因式分解法即可求解；

（3）利用配方法解方程即可求解．

【解答】解：

（1）∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2，

∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝4+8＝12＞0，

则x＝

＝1±

，

∴x1＝1+

，x2＝1﹣

；

（2）∵2（x﹣3）＝3x（x﹣3），

∴2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，

则（2﹣3x）（x﹣3）＝0，

∴2﹣3x＝0或x﹣3＝0，

解得：

x1＝

，x2＝3；

（3）∵2x2﹣4x+1＝0，

∴2x2﹣4x＝﹣1，

∴x2﹣2x＝﹣

，

则x2﹣2x+1＝﹣

+1，即（x﹣1）2＝

，

∴x﹣1＝±

，

则x1＝1+

，x2＝1﹣

．

【点评】此题分别考查了一元二次方程的几种解法，解题的关键是根据不同方程的形式选择最佳方法解决问题．

13．（10分）

（1）解方程x2﹣2x﹣1＝0；

（2）解方程x（x+3）＝2x+6．

【分析】

（1）配方法求解可得；

（2）因式分解法求解可得．

【解答】解：

（1）移项，得x2﹣2x＝1，

配方，得x2﹣2x+12＝1+12，即（x﹣1）2＝2，

开方，得x﹣1＝±

，

∴x1＝1+

，x2＝1﹣

．

（2）移项，得x（x+3）﹣2（x+3）＝0，

因式分解，得（x+3）（x﹣2）＝0，

∴x+3＝0或x﹣2＝0，

∴x1＝﹣3，x2＝2．

【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用适当的方法解一元二次方程，属于中考常考题型．

14．（10分）用适当的方法解下列方程：

（1）4（6x﹣1）2＝25（直接开平方法）；

（2）x2﹣2x＝2x﹣1（公式法）；

（3）x2+3x﹣2＝0（配方法）；

（4）x（x﹣7）＝8（7﹣x）（因式分解法）

【分析】

（1）根据直接开平方法可以解答此方程；

（2）根据公式法可以解答此方程；

（3）根据配方法可以解答此方程；

（4）根据因式分解法可以解答此方程．

【解答】解：

（1）∵4（6x﹣1）2＝25

∴（6x﹣1）2＝

，

∴6x﹣1＝

，

解得，x1＝

，x2＝﹣

；

（2）∵x2﹣2x＝2x﹣1，

∴x2﹣4x+1＝0，

∵a＝1，b＝﹣4，c＝1，

∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×1＝12＞0，

∴x＝

＝

＝2

，

∴x1＝2+

，x2＝2﹣

；

（3）∵x2+3x﹣2＝0，

∴x2+3x＝2，

∴（x+

）2＝

，

∴x+

＝

，

解得，x1＝

，x2＝

；

（4）∵x（x﹣7）＝8（7﹣x），

∴x（x﹣7）﹣8（7﹣x）＝0，

∴x（x﹣7）+8（x﹣7）＝0，

∴（x﹣7）（x+8）＝0，

∴x﹣7＝0，x+8＝0，

解得，x1＝7，x2＝﹣8．

【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．

15．（10分）已知关于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0．小聪认为，无论a为何实数，这个方程都是一元二次方程；而小明认为，方程的类型要取决于字母a的取值．你认为谁的判断是正确的，并简述理由．

【分析】根据一元二次方程的定义得到a2﹣4a+5＞0，由此推知小聪正确．

【解答】解：

小聪正确．

∵a2﹣4a+5＝（a2﹣4a+4）+1＝（a﹣2）2+1，

又∵（a﹣2）2≥0

∴（a﹣2）2+1＞0

即该方程的二次项系数不为0

∴无论a为何实数，这个方程都是一元二次方程．

【点评】考查了配方法的应用和一元二次方程的定义，配方法的关键是：

先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．