上海高中数学难点重点教材解析大纲.docx
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上海高中数学难点重点教材解析大纲
高中数学各年级基本教学内容与要求
高一第一学期
第一章集合与命题
1、内容要目
（1）集合的基本概念、空集、子集和真子集、集合的相等；集合的交、并、补运算。
（2）四种命题形式、等价命题；充分条件与必要条件。
2、基本要求
（1）理解集合、空集的意义，会用列举法和描述法表示集合；理解子集、真子集、集合相等等概念，能判断两个简单集合之间的包含关系或相等关系；理解交集、并集，掌握集合的交、并运算，知道有关的基本运算性质，理解全集的意义，能求出已知集合的补集。
（2）理解四种命题的形式及其相互关系，能写出一个简单命题的逆命题、否命题与逆否命题；理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，能在简单问题的情境中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。
3、重点和难点
重点是集合的概念及其运算，充分条件、必要条件、充要条件。
难点是对集合有关概念的理解，命题的证明，充分条件、必要条件、充要条件的判别。
第二章不等式
（一）不等式性质与解不等式
1、内容要目
不等式基本性质、不等式性质；一元二次不等式（组）的解法、分式不等式的解法、绝对值不等式的解法、无理不等式的解法、某些高次不等式的解法。
2、基本要求
掌握不等式的基本性质及常用的不等式性质，并能证明这些基本性质。
掌握一元二次不等式的解法，并能用来解决一些简单的实际问题；掌握简单的分式不等式及绝对值不等式的解法；会解简单的无聊不等式和高次不等式。
3、重点和难点
重点是不等式的基本性质和一元二次不等式的解法。
难点是分式不等式与绝对值不等式的解法；解不等式的应用。
（二）基本不等式与不等式证明
1、内容要目
基本不等式、不等式证明。
2、基本要求
掌握两个基本不等式，并能用于解决一些简单问题；掌握比较法、综合法、分析法证明不等式的基本思路，并会用这些方法证明简单的不等式。
3、重点和难点
重点是基本不等式及其证明。
难点是用比较法、综合法、分析法证明简单的不等式。
第三章函数的基本性质
1、内容要目
函数、函数的运算；函数的奇偶数、单调性、周期性；函数的最大值或最小值。
2、基本要求
（1）理解函数的概念。
能使用函数的记号y=f（x）表示y是x的函数，会求函数值f（a），会求简单函数的定义域和值域。
（2）理解函数运算的意义，会求两个函数的和或积。
（3）掌握函数奇偶数、单调性、周期性概念，并能判断一些简单函数的奇偶数、单调性、周期性；掌握函数奇偶数、单调性、周期性与函数图像的关系，会求一些简单函数的最大值或最小值。
3、重点和难点
重点是函数关系的建立，函数奇偶数、单调性、周期性等的判断，以及由函数图像研究其性质和由函数性质研究其图像的一般方法。
难点是求函数的值域、最大值和最小值。
第四章幂函数指数函数和对数函数（上）
二次函数与幂函数
1、内容要目
二次函数的单调区间、最大值或最小值；幂函数的概念及其在
内的单调性。
指数函数的概念和性质，不同底数的指数函数值的大小比较等。
2、基本要求
掌握二次函数的图像、单调区间及最大值、最小值的求法；掌握幂函数的定义域及其性质，特别是在
内的单调性，会画幂函数的图像。
掌握指数函数的性质，图像。
3、重点和难点
重点是二次函数的图像、最大值和最小值的求法；幂函数指数函数性质的探求。
难点是在闭区间上的二次函数最大值、最小值的求法；幂函数指数函数性质的运用。
高一第二学期
第四章幂函数指数函数和对数函数（下）
1、内容要目
对数；反函数；对数函数及其性质；简单的指数方程和对数方程。
2、基本要求
（1）理解对数的意义，会熟练地将指数式与对数式互化，掌握积、商、幂的对数运算性质，掌握换底公式。
（2）理解反函数的概念，会求已知函数的反函数，掌握函数与它的反函数在定义域、值域以及图像上的关系。
（3）理解对数函数的概念，掌握对数函数的图像及其性质，掌握指数函数与对数函数互为反函数的结论。
（4）理解指数方程与对数方程的意义，会解简单的指数方程和对数方程。
3、重点和难点
重点是对数的意义与运算性质，反函数的概念，指数函数与对数函数的图像和性质。
难点是对数的意义，反函数的概念及对数函数的单调性。
第五章三角比
（一）任意角的三角比
1、内容要目
（1）正角、负角、零角、象限角、终边在坐标轴上的角，与某个角有重合终边（包括这个角本身）的角的集合，弧度制，角度与弧度的互化，圆的弧长公式，扇形的面积公式。
（2）任意角的六个三角比（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割）的定义及它们在各象限的符号。
终边相同的两个角的同名三角比的关系。
单位圆。
2、基本要求
（1）理解任意角的有关概念。
能写出与某个角有重合终边（包括这个角本身）的角的集合。
能写出顶点在原点。
始边与x轴正半轴重合，终边在坐标平面内任意确定位置的角的集合。
能用不等式或区间表示象限角和给定范围的角。
（2）理解用弧度制度量角的数学意义，会进行角度与弧度的换算，熟悉一些特殊角的角度与弧度数的对应关系。
会用圆的弧长公式计算弧长或圆心角，会用扇形面积公式计算扇形的面积。
（3）掌握任意角的三角比的定义，会根据终边上已知点的坐标求出六个三角比的值，会利用终边相同的两个角的同名三角比相等化简三角比，会判别三角比在各象限的符号，会用计算器计算三角比的值，熟悉一些特殊角的三角比的值。
（4）感受单位圆对于三角比的某些特定研究带来的方便。
3、重点和难点
重点是任意角的三角比的定义，其重要价值在于本单元后续学习内容建立在这一基础之上。
难点是由角的范围求三角比的取值范围和由三角比的取值范围求角的范围，通过考察有关示意图是突破此难点的一种简易方法。
（二）三角恒等式
1、内容要目
同角三角比的关系（倒数关系、商数关系和平方关系）、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦和正切、两倍角的正弦、余弦和正切，半角的正弦、余弦和正切。
[理]三角比的积化和差与和差化积。
2、基本要求
（1）掌握同角三角比的基本关系式，诱导公式，两角和与差的正弦、余弦和正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式，会运用这些公式进行计算和三角恒等变形。
（2）[理]掌握半角的正弦、余弦和正切公式，万能置换公式以及和差化积公式与积化和差公式，会运用这些公式进行计算和三角恒等变形，初步发展三角变换能力。
（3）会用三角比的知识去观察解决一些实际问题，增强“用数学”的意识。
3、重点和难点
重点是三角恒等变形，其重要价值在于为学习三角函数以及今后进一步发展三角变换能力打下必要的基础。
难点是如何灵活运用三角公式进行三角恒等变形，对三角公式进行变式训练是突破此难点的一种行之有效的方法。
（三）解斜三角形
1、内容要目
已知三角形的两边及夹角，求三角形的面积，正弦定理、余弦定理、扩充的正弦定理。
解斜三角形。
2、基本要求
（1）体验由任意角三角比的定义推导三角形面积公式、正弦定理、余弦定理的过程，领悟正弦定理与直角三角形中锐角三角比的关系、余弦定理与勾股定理的关系。
（2）会运用三角形面积公式、正弦定理、余弦定理等三角知识解斜三角形。
（3）能把解斜三角形的知识应用于解决社会实践和日常生活中的一些常见的简单问题。
3、重点和难点
重点是正弦定理和余弦定理。
这两个定理揭示了三角形的边角关系，并且具有明显的应用价值。
难点是正弦定理、余弦定理与其他数学知识的综合应用。
第六章三角函数
（一）三角函数的性质与图像
1、内容要目
正弦函数、余弦函数的定义域、值域、最大值和最小值、周期性、奇偶性、单调性。
正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。
正弦函数、余弦函数和正切函数的图像。
2、基本要求
（1）理解正弦函数、余弦函数和正切函数的概念。
理解周期函数的概念。
（2）掌握正弦函数、余弦函数的性质（定义域、值域、最大值和最小值、周期性、奇偶性、单调性、对称性）。
（3）掌握正弦函数和余弦函数的图像，会用“五点法”画出正弦函数和余弦函数的图像。
（4）通过与正弦函数相类比，研究并掌握正切函数的性质与图像。
（5）会求形如
的函数的周期、单调区间、最大值和最小值、值域。
（6）了解三角函数在科学技术和现代生活中的广泛应用。
引导学生通过观察、分析实际问题，发现并分享其中蕴涵的丰富的三角函数知识。
3、重点和难点
重点是正弦函数，掌握其概念、性质和图像并领悟有关研究方法，在此基础上，类似地研究并掌握余弦函数和正切函数。
难点是研究三角函数式的性质，设法把已知函数表达式转化为形如
的表达式，是突破难点的重要手段。
（二）反三角函数与最简三角方程
1、内容要目
反正弦函数、反余弦函数、反正切函数。
最简三角方程，简单的三角方程。
2、基本要求
（1）理解反正弦函数、反余弦函数、反正切函数的概念，了解它们的图像和基本性质（奇偶性、单调性、对称中心等）。
（2）会求特殊的反三角函数值，会用计算器计算反三角函数值，会用反三角函数值表示角的大小。
会求形如
或
的函数的反函数。
（3）理解三角方程的解集的概念，掌握最简三角方程的解集。
会解简单的三角方程（形如
等。
）
3、重点和难点
重点是反正弦函数，掌握其概念，并领悟其研究方法。
在此基础上，研究并掌握反余弦函数和反正切函数。
难点是含字母系数的简单三角方程的实数解的讨论。
三角函数的图像往往是帮助分析，突破难点的好助手。
高二第一学期
第七章数列与数学归纳法
（一）等差数列与等比数列
1、内容要目
数列的概念，等差数列与等比数列的定义，等差中项与等比中项，等差数列与等比数列的通项公式。
2、基本要求
（1）理解数列的概念，掌握等差数列与等比数列的定义。
（2）会求等差中项与等比中项
（3）理解数列通项公式的含义，掌握等差数列比数列的通项公式。
3、重点和难点
重点是等差数列与等比数列的通项公式。
难点是数列的概念及由计算数列的前若干项，通过归纳得出数列的通项公式，并予以证明。
（二）数列的前n项和
1、内容要目
等差数列、等比数列的递推公式，等差数列、等比数列的前n项和公式，数列的应用。
2、基本要求
（1）理解数列递推公式的含义，掌握等差数列与等比数列的递推公式。
（2）理解数列前n项和的意义，掌握等差数列与等比数列的前n项和公式。
（3）会用等差数列与等比数列的知识解决简单的实际问题。
3、重点和难点
重点是等差数列与等比数列的前n项和公式。
难点是等比数列的前n项和公式，难点突破的关键是对等比数列前n项和公式要有分类讨论的意识。
（三）数列的极限
1、内容要目
数列极限的概念，数列极限的运算法则，常用的数列极限公式，无穷等比数列各项的和。
2、基本要求
（1）理解数列极限的概念。
（2）掌握数列极限的运算法则。
（3）掌握常用的数列极限。
（4）掌握公比|q|＜1时，无穷等比数列前n项和的极限公式即无穷等比数列各项和公式，并能用于解决简单问题。
3、重点和难点
重点是数列极限的运算法则，常用的数列极限，无穷等比数列各项和公式。
难点是无穷等比数列各项和公式的应用，突破难点的关键在于由实际问题出发建立起等比数列模型。
（四）数学归纳法
1、内容要目
数学归纳法的原理。
数学归纳法的一般步骤。
数学归纳法的应用。
2、基本要求
（1）知道数学归纳法的基本原理，掌握数学归纳法的一般步骤。
（2）会用数学归纳法解决整除问题及证明某些与正整数有关的等式。
（3）领会“归纳—猜想—论证”的思想方法。
3、重点和难点
重点是用数学归纳法证明命题的步骤。
难点是数学归纳法的应用以及通过归纳猜想命题的一般结论。
第八章平面向量的坐标表示
1、内容要目
平面向量及其运算。
平面向量的坐标表示及其运算。
基向量、平面向量分解定理。
平面向量的数量积及其坐标表示。
平面向量的夹角。
平面向量的平行和垂直。
2、基本要求
（1）理解平面向量的有关概念：
向量的方向，向量的模；单位向量，位置向量，复向量；向量的相等，向量的平行，向量的垂直，向量的夹角；向量的加减法，向量的数乘，向量的数量积；一个向量在另一个向量方向上的投影等。
（2）掌握向量加减法的平行四边形法则和三角形法则，掌握向量的坐标运算方法，掌握线段的定比分点公式和中点公式，会进行向量的加减运算和数乘运算。
会计算向量的模、数量积和夹角。
会判别两个向量的平行关系和垂直关系。
会运用两个非零向量平行或垂直的充要条件解决一些简单的问题。
理解基向量和平面向量分解定理。
（3）经历运用向量方法研究几何问题的过程，体验图像语言与符号语言的相互转换，领悟其中包含的诸如数形结合等数学思想与思维方法。
3、重点和难点
重点是向量的数量积，向量的平行关系和垂直关系，向量的夹角。
难点是向量的夹角的概念和向量的数量积。
第九章矩阵和行列式初步
1、内容要目
矩阵及矩阵有关运算。
二阶行列式、三阶行列式。
二元、三元线性方程组的矩阵表示。
二元、三元线性方程组的解的讨论。
2、基本要求
（1）理解矩阵的意义。
会进行矩阵的数乘、加法、乘法运算。
（2）理解行列式的意义。
理解二元、三元线性方程组的矩阵表示形式。
（3）掌握二阶、三阶行列式的对角线展开法则。
掌握三阶行列式按照某一行（列）的代数余子式展开的方法。
（4）会运用行列式解二元、三元线性方程组，并会对含字母系数的二元、三元线性方程组的解的情况进行讨论。
会根据二元线性方程组的解的情况判断直角坐标平面内两条直线的位置关系。
3、重点和难点
重点是运用行列式研究二元、三元线性方程组。
难点是对含字母系数的二元、三元线性方程组的解的情况进行讨论。
第十章算法初步
1、内容要目
算法的概念，程序框图
2、基本要求
（1）通过实例，了解算法的概念，体会算法的思想和特点。
（2）理解算法的三个主要逻辑结构——顺序结构、条件结构和循环结构。
（3）会用程序框图表示简单的算法问题。
（4）会用计算机语言设计程序，在计算机上实现算法。
高二第二学期
第十一章坐标平面上的直线
1、内容要目
直线的方向向量、直线的法向量、直线的倾斜角、直线的斜率。
直线的点方向式方程、直线的点法向式方程、点斜式方程、直线方程的一般式等。
点到直线的距离，两直线的夹角以及两平行线之间的距离。
2、基本要求
（1）掌握求直线方程的方法，并能熟练转化确定直线方向的不同条件。
（例如：
直线方向向量、法向量、斜率、倾斜角等）
（2）能熟练判定点与直线、直线与直线的不同位置，能正确求点到直线的距离、两直线的交点坐标及两直线的夹角大小，并能运用以上知识解决与之有关的问题。
3、重点和难点
重点是初步建立代数方法解决几何问题的观念，正确将几何条件与代数表示进行转化，掌握直线方程并会用于定理地研究点与直线、直线与直线的位置关系。
难点是根据两个独立条件求出直线方程，能熟练运用待定系数法。
第十二章圆锥曲线
1、内容要目
直角坐标系中，曲线C是方程F（x，y）=0的曲线及方程F（x，y）=0是曲线C的方程。
圆的标准方程及圆的一般方程。
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及它们的性质。
2、基本要求
（1）理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上及求曲线交点等问题。
（2）掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的推导过程。
（3）理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本方法，并能根据曲线与方程的有关解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题，例如两个交点之间的距离、两个交点的中点坐标等。
（4）能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用解析法解决相应的几何问题。
3、重点和难点
重点是建立数形结合的概念，理解曲线与方程的对应关系，理解求曲线交点的方法，掌握用代数方法研究几何问题的方法，并能运用基本方法解决相应的具体问题。
难点是如何把已知条件转化为等价的代数表示，并能根据代数基本方法选择解决途径。
第十三章复数
1、内容要目
复数的有关概念：
复数，虚数，纯虚数，复数的实部与虚部，复数的相等，复数的共轭。
复平面的有关概念：
复平面，实轴与虚轴，复数的坐标表示，复数的向量表示，复数的模，复平面上两点的距离。
复数的运算：
加、减、乘、除、乘方、平方根、立方根（仅限于1的立方根的运用），复数的积、商与乘方的模，实系数一元二次方程。
2、基本要求
（1）了解数的产生和发展简史，知道数集扩展的意义，掌握复数的有关概念，理解复平面的有关概念。
（2）会进行复数的四则运算，会求复数的平方根，会利用1的立方根求实数的立方根。
（3）会求复数的模，会计算两个复数的积、商与乘方的模，掌握结论
，会对简单的复数的模的最大值和最小值问题进行研究。
（4）会在复数集内解实系数一元二次方程，会对简单的含实数字母系数的一元二次方程的解的情况进行讨论。
会利用复数相等把复数问题转化为实数问题。
3、重点和难点
重点是复数的模，其重要性一方面在于它是复数的几何特征之一；另一方面在于模是一个实数。
由于高中阶段的数学内容绝大部分是在实数系中展开，因此这一知识点在与函数等知识的相互渗透上是游刃有余的。
难点是复数的模的综合问题。
高三第一学期
第十四章空间直线与平面
1、内容要目
平面的概念及其表示方法。
平面的基本性质。
用“斜二侧“方法画简单几何体的直观图。
简单几何体的截面。
空间直线与直线的位置关系，平行公理，等角定理。
异面直线的概念，异面直线所成的角。
空间直线与平面的位置关系。
空间平面与平面的位置关系。
2、基本要求
能通过实例描述平面的概念；会用平行四边形表示平面以及用字母表示平面。
知道平面没有厚薄并向四方无限延展，体验从现实世界中抽象出平面概念的过程。
在观察、实验的基础上归纳平面的基本性质；通过用基本性质解释实际事例和证明有关推论，加深对基本性质的理解。
会用文字语言、图像语言、符号语言表述平面的基本性质，并会用于简单的推理论证；掌握确定平面的方法。
会用“斜二侧”方法画简单几何体的直观图；会利用平面的基本性质画长方体的截面，掌握画空间图形的基本技能，培养空间想象能力。
通过观察和实验，归纳出空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系；会用文字语言、图形语言、符号语言表述这些位置关系。
会用反证法证明两条直线是异面直线。
理解直线与直线垂直、直线与平面垂直的含义。
把平行线的传递性、等角定理等由平面推广到空间，掌握等角定理的证明；知道平面定理推广到空间需要论证，演绎推理的方法和规则在空间同样适用。
理解异面直线所成角的概念，会求简单图形中的异面直线所成角的大小。
3、重点和难点
重点是平面的基本性质（3个公理，3个推论）和平行线的传递性。
这是学习空间几何的基本理论基础，也是推理论证的依据。
空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系及其各种表示方法。
这是空间几何的语言基础，也是进行空间几何研究的起点。
难点是运行平面的基本性质进行说理。
用反证法证明两条直线是异面直线。
十五章简单几何体
1、内容要目
多面体的有关概念。
棱柱、棱锥的有关概念，以及直棱柱、正棱锥的概念和有关性质。
棱柱、棱锥的表面积的计算公式；祖衡原理，棱柱、棱锥的体积计算公式。
旋转体的有关概念。
圆柱、圆锥、球的概念和基本特征。
圆柱、圆锥、球的表面积的计算公式；圆柱、圆锥、球的体积计算公式。
2、基本要求
理解棱柱、直棱柱、正棱柱和棱锥、正棱锥的有关概念，掌握它们的有关性质。
经历棱柱、棱锥的表面积、体积的计算公式的获得过程，理解祖暅原理和图形割补的思想方法；会利用公式计算棱柱、棱锥的表面积、体积。
理解旋转体的概念，知道圆柱、圆锥、球分别是由哪个图形绕哪一条直线旋转而得的，掌握圆柱、圆锥、球的有关性质。
掌握圆柱、圆锥、球的表面积与体积的计算公式，并能作简单的应用。
理解球面上两点之间的距离的概念，会计算地球上同经线或同纬线上的两点之间的距离。
3、重点和难点
重点是棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的有关概念，直棱柱、正棱锥的有关性质。
棱柱。
棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积的计算公式。
球面上两点之间距离的概念。
难点是棱柱、棱锥的表面积、体积公式的推导和运用；图形割补的思想方法。
球面上两点之间距离的概念，地球上同纬度上两点的距离的计算。
第十六章排列与组合
（一）排列和组合
1、内容要目
乘法原理、加法原理。
排列、排列数公式。
组合、组合数公式、组合数性质。
2、基本要求
（1）能理解乘法原理、加法原理、理解两个计数原理的应用前提及计数的思想方法。
（2）能理解排列的概念，会将实际问题按照排列定义抽象为排列模型。
能理解组合的概念，会将实际问题按照组合定义抽象为组合模型。
（3）能应用排列数公式、组合数公式及两个计数原理解决简单的计数问题。
（4）掌握排列数公式、组合数公式的特点，掌握组合数性质并能进行推理。
3、重点和难点
重点是两个计数原理、排列和组合的定义。
难点是：
（1）运用乘法原理的前提：
确定分步的标准。
（2）运用加法原理的前提：
确定分类的标准。
（3）把计数的问题抽象成满足计数原理、排列和组合的问题模型，并缜密地进行计数。
（二）二项式定理
1、内容要目
二项式定理，二项展开式的通项公式。
二项式系数，二项式系数的性质。
2、基本要求
（1）掌握二项式定理，能根据二项展开式的通项公式指定的项、二项式系数，以及具有某些性质的项和项的系数。
（2）掌握二项式系数的性质。
（3）运用二项式定理解决有关问题。
3、重点和难点
重点是：
（1）二项式定理、二项展开式的通项公式。
（2）二项式系数的性质。
难点是：
（1）把多项式展开问题归结为运用二项式定理的问题，并运用二项展开式的通项公式讨论有关性质。
（2）运用二项式定理处理诸如整数性质、近似计算等问题。
第十七章概率初步
（一）概率初步
1、内容要目
基本事件、随机现象、试验、随机事件、必然事件、不可能事件、对立事件、随机事件的概率、概率的基本性质、随机事件的频率、频率的“大数定理”性质。
[理]互不相容事件、独立事件、事件和的概率、独立事件积的概率、随机变量、数学期望。
2、基本要求
（1）了解随机事件及其概率的意义、对立事件的概念，理解随机事件、概率、频率、古典概型的概念。
（2）[理]了解互不相容事件和互相独立事件的意义，理解和事件、互不相容事件以及互相独立事件的概率。
（3）会运用古典概型的概率计算公式以及排列、组合等有关的计数方法求等可能事件的概率。
[理]会运用互不相容事件的概率加法公式和互相独立事件的概率乘法公式计算事件的概率；会运用公式求数学期望。
通过对生活实例的分析和体验，激发学习兴趣，认识学习的价值，初步理解和掌握概率的意义。
3、重点与难点
重点是理解随机事件概率的概念、理解概率的概念、理解古典概型的概念、掌握古典概型的计算公式；理解对立事件的概念，掌握对立事件的概率计算公式。
[理]理解和事件、积事件的概念，理解互不相容事件和互相独立事件的概念，掌握概率加法和互相独立事件的概率乘法公式，掌握数学期望的计算。
难点是正确确定古典概型中，等可能出现结果的种数；理解在非等可能情况下概率只能作为概率的估计值。
[理]会把一个较为复杂的事件写成几个互不相容的较为简单的事件的和；认识两事件互相独立与互不相容的区别，并会将一个较复杂的事件写成几个互相独立的较为简单的事件积。
第十八章基本统计方法
1、内
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