苏州中考《第三讲：几何证明与计算题》专题复习含答案.docx
《苏州中考《第三讲：几何证明与计算题》专题复习含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《苏州中考《第三讲：几何证明与计算题》专题复习含答案.docx（23页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
苏州中考数学专题辅导
第三讲几何证明与计算题选讲
真题再现：
1．（苏州•本题6分）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：
（1）△ABC≌△ADC；
（2）BO=DO．
2．（2008年苏州•本题8分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12．动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．
（1）梯形ABCD的面积等于
（2）当PQ//AB时，P点离开D点的时间等于
（3）当
P、Q、C三点构成直角三角形时，P点离开D点多少时间?
；秒；
3．（2009年江苏•本题满分10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，
E、F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形．
（1）AD与BC有何等量关系？
请说明理由；
DA
（2）当AB=DC时，求证：
ABCD是矩形．
B4．（2009年江苏•本题满分10分）
（1）观察与发现
E
F
C
小明将三角形纸片ABC（AB>AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？
请说明理由．AAEF
BBDCDC
（2）实践与运用图①图②将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D¢处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中Ða的大小．A
E
DADCB
E
D¢
DA
E
D
a
CBF图⑤GC
B
F图③
FC¢G图④
5．（2010年苏州•本题6分）如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE．
（1）求证：
△ACD≌△BCE；
（2）若∠D=50°，求∠B的度数．
6．（2010年苏州•本题8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P是AB边上的一个动点（异于
A、B两点），过点P分别作
AC、BC边的垂线，垂足为
M、N．设AP=x．
（1）在△ABC中，AB=；
（2）当x=时，矩形PMCN的周长是14；
（3）是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等?
请说出你的判断，并加以说明．
7．（2011年苏州•本题6分）如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E．
（1）求证：
△ABD≌△ECB；
（2）若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．
8．（2011年苏州•本题8分）如图，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：
3，点
P、H、B、C、A在同一个平面上．点
H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．
（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于▲度；
（2）求
A、B两点间的距离（结果精确到
0.1米，参考数据：
3≈
1.732）．9．（2012年苏州•本题6分）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝CD，延长线段CB到E，使
BE＝AD，连接
AE、AC．
（1）求证：
△ABE≌CDA；
（2）若∠DAC＝40°，求∠EAC的度数．
10．（2012年苏州•本题8分）如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC．现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（请将下面2小题的结果都精确到
0.1米，参考数据：
3≈
1.732）．
（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为米；
（2）—座建筑物GH距离坡脚A点27米远（即AG＝27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点
B、C、A、G、H在同一个平面上，点
C、A、G在同一条直线上，且HG丄CG,问建筑物GH高为多少米？
11．（7分）
（2013•苏州）如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2（单位：
km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．
（1）求点P到海岸线l的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述2小题的结果都保留根号）
12．（8分）
（2013•苏州）如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长BP交边AD于点F，交CD的延长线于点G．
（1）求证：
△APB≌△APD；
（2）已知DF：
FA＝1：
2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．①求y与x的函数关系式；②当x＝6时，求线段FG的长．
13．（6分）
（2014年•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点
D、F分别在AB，AC上，CF＝CB．连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．
（1）求证：
△BCD≌△FCE；
（2）若EF∥CD．求∠BDC的度数．
14．（8分）
（2015年•苏州）如图，在△ABC中，AB=AC．分别以
B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧，设两弧交于点D，与
AB、AC的延长线分别交于点
E、F，连接
AD、BD、CD．
（1）求证：
AD平分∠BAC；
（2）若BC=6，∠BAC＝50°，求
DE、DF的长．p）
A
度之和（结果保留
B
C
E
15．（2016年苏州•8分）如图，在菱形ABCD中，交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延
（1）证明：
四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．
D
（第14题）
F
对角线
AC、BD相长线于点E．
16.（2017年苏州•本题8分）如图，ÐA=ÐB，AE=BE，点D在AC边上，Ð1=Ð2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：
DAEC≌DBED；
（2）若Ð1=42，求ÐBDE的度数．
模拟训练：
1．（2017年常熟市•本题满分8分）如图，在RtDABC中，ÐC=90°，斜边AB的垂直平分线MN分别交
BC、AB于点
D、E，过点A作AF//BC，交MN于点F.
（1）求证:
四边形ADBF是菱形;
（2）若AC=4,BC=8，求菱形ADBF的周长。
2．（2018年蔡老师预测•本题满分8分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A．
C、D三点在同一直线上，连接
BD、AE，并延长AE交BD于F．
（1）求证：
AE=BD；
（2）试判断直线AE与BD的位置关系，并证明你的结论．
3．（2018年蔡老师预测•8分）如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．
（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？
（不需说明理由）3
（2）如果AM＝1，sin∠DMF＝，求AB的长．5
D是BC边上一4．（2017年张家港•本题满分8分）如图，VABC中，点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF.
（1）求证:
VAEF@VDEC;
（2）若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.
5．（2018年蔡老师预测•本题满分8分）如图，在四边形ABDC中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，并且E，F，G，H四点不共线．
（1）求证：
四边形EFGH为平行四边形．
（2）当AC=BD时，求证：
四边形EFGH为菱形．
6．（2017年太仓市•本题满分6分）如图，在DABC中，AC=4，D为BC边上的一点，CD=2，且DADC与DABD的面积比为
1:
3．A
（1）求证：
DADC∽DBAC；
（2）当AB=8时，求AD的长度．7．（2017年相城区•本题满分8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，B作BE^AB交AC于点E.ÐCAB=ÐAC，过点B
（1）求证:
AC^BD；
（2）若AB=14，cosÐCAB=
7OE的长.，求线段B8
D
C
8．（2017年吴中区•本题满分8分）如图，C是线段AB的中点，CD平分ÐACE,CD=CE。
（1）求证：
VACD@VBCE；
（2）若ÐD=53°，求ÐB的度数。
CE平分ÐBCD，9．（2017年高新区•本题满分6分）（本题满分6分）如图，点B在线段AF上，分别以
AB、BF为边在线段AF的同侧作正方形ABCD和正方形BFGE，连接CF和DE，CF交EG于点H．
（1）若E是BC的中点，求证：
DE＝CF；
（2）若∠CDE＝30°，求
HG的值．GF
D
C
E
H
G10．（2017年工业园区•本题8分）如图，已知四边形ABCD中，AD//BC，AB=AD.
（1）用尺规作ÐBAD的平分线AE，AE与BC相交于点E（保留作图痕迹，不写作法）;
（2）求证:
四边形ABED是菱形;
（3）若ÐB+ÐC=90°，BC=18，CD=12求菱形ABED的面积.
11．（2017年昆山市•本题满分5分）如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：
△AEC≌△ADB；
（2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
12．（2017年立达•本题8分）如图，已知Rt△ABD中，∠A＝BD绕点B顺时针方向旋转至BC，使BC∥AD，过点C作CE⊥BD于点E．
（1）求证：
△ABD≌△ECB；
（2）若∠ABD＝30°，BE=3，求弧CD的长．
90°，将斜边
（第24题）13．（2017年园区星港学校•本题满分8分）如图,在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥DC,AB＝BC,且AE⊥
BC.
（1）求证：
AD＝AE；
CD
（2）若AD＝8，DC＝4，求AB的长.
E
A
B
14．（2017年园区星港学校•本题8分）如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树DE的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶A点处测得古树顶端D的仰角为30°，在这棵古树的正前方C处，测得古树顶端D的仰角为60°，在A点处测得C点的俯角为30°．已知BC为4米，且
B、C、E三点在同一条直线上．
（1）求平房AB的高度；
（2）请求出古树DE的高度（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计）
15．（2017年平江中学•本题8分）在□ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连接BF，AF．
（1）求证：
四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE＝3，DE＝4，求矩形BFDE的面积．
参考答案
真题再现：
1．
2．解：
（1）36；
（2）分别延长BA和CD，交于点N，则NA：
NB=AD：
BC，即=
NA=5，则ND=NA=5．设用了x秒PQ∥AB，则DP=x，PC=5﹣x，CQ=2x．PC：
CN=CQ：
CB，，x=．秒；
即当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于
（3）当P，Q，C三点构成直角三角形时，有两种情况：
①当PQ⊥BC时，设P点离开D点x秒，作DE⊥BC于E，∴PQ∥DE．∴
∴∴当PQ⊥BC时，P点离开D点，，②当QP⊥CD时，设P点离开D点x秒∵∠QPC=∠DEC=90°，∠C=∠C．∴△QPC∽△DEC，∴∴∴当QP⊥CD时，点P离开点D，秒．秒或，，秒．
由①②知，当P，Q，C三点构成直角三角形时，点P离开点D
秒．
【点评】本题涉及线段比以及要靠辅助线的帮助才能求解，有一定难度，需认真分析．3．
（1）解：
AD=BC．理由如下：
∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形．∴AD=BE，AD=FC，又∵四边形AEFD是平行四边形，∴AD=EF．∴AD=BE=EF=FC．∴AD=BC．
（2）证明：
∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，∴DE=AB，AF=DC．∵AB=DC，∴DE=AF．又∵四边形AEFD是平行四边形，∴平行四边形AEFD是矩形．
【点评】本题考查了梯形、平行四边形的性质和矩形的判定，是一道集众多四边形于一体的小综合题，难度中等稍偏上的考题．有的学生往往因为基础知识不扎实，做到一半就做不下去了，建议老师平时教学中，重视一题多变，适当地变式联系，可以触类旁通．4．解：
（1）同意．如图，设AD与EF交于点G．由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．又由折叠知，∠AGE=∠DGE，∠AGE+∠DGE=180°，所以∠AGE=∠AGF=90°，所以∠AEF=∠AFE．所以AE=AF，即△AEF为等腰三角形．
（2）由折叠知，四边形ABFE是正方形，∠AEB=45°，所以∠BED=135度．又由折叠知，∠BEG=∠DEG，所以∠DEG=
67.5度．从而∠α=
67.5°﹣45°=
22.5°．
【点评】本题是一道折叠操作性考题．重点考查学生通过观察学习，领悟感受，探究发现折叠图形的对称只是，培养其自主学习能力，本题的关键是成轴对称的两个图形全等，对应角相等．在解答此题时，有的人往往知道结论，书写不规范，建议教师在以后的教学中，在培养学生自主学习能力的同时，还要注重培养有条理表达和规范证明的能力．5．
（1）证明：
∵点C是线段AB的中点，∴AC=BC，又∵CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，∴∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）解：
∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠1=∠2=∠3=60°，∵△ACD≌△BCE，∴∠E=∠D=50°，∴∠B=180°﹣∠E﹣∠3=70°
【点评】本题利用了中点性质、角平分线性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识．6．解：
（1）∵△ABC为直角三角形，且AC=8，BC=6，∴AB=
（2）∵PM⊥ACPN⊥BC，∴MP∥BCAC∥PN（垂直于同一条直线的两条直线平行），∴．
∵AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10﹣x，∴PM=PN==8﹣，∴矩形PMCN周长=2（PM+PN）=2（x+8﹣x）=14．∴x=5．
（3）∵PM⊥AC，PN⊥BC，∴∠AMP=∠PNB=90°，∴AC∥PN．∴∠A=∠NPB．∴△AMP∽△PNB．∴当P为AB中点，即AP=PB时，△AMP≌△PNB，此时，S△AMP=S△PNB=，而矩形PMCN面积=PM•MC=3×4=12，∴不存在能使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN面积同时相等的x的值．
【点评】本题考查了相似三角形性质、面积和矩形面积．7．
（1）证明：
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠EBC．∵CE⊥BD，∠A=90°，∴∠A=∠CEB，在△ABD和△ECB中，∵∠A=∠CEB，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ABD=∠BCE，又∵BC=BD，∴△ABD≌△ECB；
（2）解：
∵∠DBC=50°，BC=BD，∴∠EDC=（180°﹣50°）=65°，又∵CE⊥BD，∴∠CED=90°，∴∠DCE=90°﹣∠EDC=90°﹣65°=25°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及直角梯形的性质，直角梯形有两个角是直角，有一组对边平行．8．解：
（1）30；
（2）由题意得：
∠PBH=60°，∵∠ABC=30°，∴∠ABP=90°，又∠APB=45°，∴△PAB为等腰直角三角形，在直角△PHB中，PB===20．
在直角△PBA中，AB=PB=20≈
34.6米．答：
A，B两点间的距离是
34.6米．
【点评】本题主要考查了俯角的问题以及坡度的定义，正确利用三角函数是解题的关键．9．
（1）证明：
在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，∴∠ABE=∠BAD，∠BAD=∠CDA，∴∠ABE=∠CDA在△ABE和△CDA中，，∴△ABE≌△CDA（SAS）．
（2）解：
由
（1）得：
∠AEB=∠CAD，AE=AC，∴∠AEB=∠ACE，∵∠DAC=40°，∴∠AEB=∠ACE=40°，∴∠EAC=180°﹣40°﹣40°=100°．
【点评】此题考查了梯形、全等三角形的判定及性质，解答本题的关键是根据梯形及题意条件得出一些线段之间的关系，注意所学知识的融会贯通．10．解：
（1）∵修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，∴∠BEF最大为45°，当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30，∴BF=EF=BD=15，DF=15，故：
DE=DF﹣EF=15（﹣1）=
11.0（米）；
若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为
11.0m；
（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P．在Rt△DPA中，DP=AD=×30=15，PA=AD•cos30°=×30=15．在矩形DPGM中，MG=DP=15，DM=PG=15×（15+27）=15+9．+27，在Rt△DMH中，HM=DM•tan30°=GH=HM+MG=15+15+9
≈
45.6．答：
建筑物GH高约为
45.6米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形中坡角问题，根据图象构建直角三角形，进而利用锐角三角函数得出是解题关键．11．解：
（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD=xkm．在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°﹣45°=45°，∴BD=PD=xkm．在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°﹣60°=30°，∴AD=PD=xkm．∵BD+AD=AB，∴x+x=2，x=﹣1，∴点P到海岸线l的距离为（﹣1）km；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．根据题意得：
∠ABC=105°，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，∴BF=AB=1km．在△ABC中，∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°．在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，∴BC=BF=∴点C与点B之间的距离为km．
km，
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．12．
（1）证明：
∵点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，∵在△APB和△APD中，∴△APB≌△APD（SAS）；
（2）解：
①∵△APB≌△APD，∴DP=PB，∠ADP=∠ABP，∵在△DFP和△BEP中，，∴△DFP≌△BEP（ASA），∴PF=PE，DF=BE，∵四边形ABCD是菱形，∴GD∥AB，∴即=，∴y=x；②当x=6时，y=×6=4，∴PF=PE=4，DP=PB=6，∵==，∴=，解得：
FG=5，故线段FG的长为5．=，∵DF：
FA=1：
2，∴=，=，∴=，∵=，
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，根据平行关系得出=，=是解题关键．
13．
（1）证明：
∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE，在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS）．
（2）解：
由
（1）可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，∵EF∥CD，∴∠E=180°﹣∠DCE=90°，∴∠BDC=90°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．14．
（1）证明：
根据题意得：
BD=CD=BC，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；
（2）解：
∵AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=65°，∵BD=CD=BC，∴△BDC为等边三角形，∴∠DBC=∠DCB=60°，∴∠DBE=∠DCF=55°，∵BC=6，∴BD=CD=6，∴∴的长度=、的长度=+==；．，的长度之和为
15．
（1）证明：
∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB=90°，∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，∴∠AOB=∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）解：
∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE=CD=5，DE=AC=8，∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18．16．解：
（1）证明：
∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD=∠BOE．在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEO，∴∠AEC=∠BED．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（ASA）．
（2）∵△AEC≌△BED，∴EC=ED，∠C
升级会员 