完整版高等数学第五章定积分综合测试题.docx
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完整版高等数学第五章定积分综合测试题
第五章定积分测试题A卷
、填空题（每小题4分共20分）
2、比较定积分的大小lnxdxln3xdx.
33
xsin2t
0t
2x
4、dsint2dt=
dx2x
二.选择题（
每小题4分共20分）
a
1、设I
0
2x
2
f（x2）dx（a0），则I等于
[]
（A）
I
2
a
0xf（x）dx
a
（B）I0xf（x）dx
（C）
I
210xf（x）dx
1a
（D）I20xf（x）dx
2、下列函数中，
哪个函数在[a,b]上不一
定可积
[]
（A）f（x）在[a,b]内有两个第一类间断点；
（B）f（x）在[a,b]上有界；
（D）f（x）在[a,b]上连续.
f（x）与直线xa,xb,y0所围成
（C）f（x）在[a,b]内严格单调增加；3、设函数f（x）在[a,b]上连续，则曲线y
的平面图形的面积等于
4、下列各积分中能够直接应用牛顿—莱布尼茨公式的是
（A）
313
121xdx（B）0lnxdx
（C）
0
tanxdx（D）
4
2cotxdx
2
5、已知
f（t）dta2x，则f（x）等于0
（A）
2a2x
2x
（B）alna
（C）
2xa2x1
（D）2a2xlna
三、解答题
1、（7分）计算
lim
x
xt22（etdt）20
x2t2
e2tdt
0
2（7分）若f（x）连续，且f
（2）
4，
计算
lxim2
x2
2[tf（u）du]dt
（x
2）2
3、（7分）
计算
1xdx.
4、（8分）
计算
x3exdx.
5、（7分）
计算
2min{1x,x2}dx.
6、（12分）设函数F（x）
x
0tf（x）dt
2
x
其中
f（t）具有连续的导数，
f（0）
0.
（1）
确定常数c，使得函数
F（x）连续;
（2）
讨论F（x）是否连续.
7.（12分）如图曲线C的方程为yf（x），
点（3，2）是它的一个拐点，直线
l1,l2
分别是曲线C在点（0，0）与（3，2）处的切线，其交点为（2，4），设函数f（x）具
有三阶连续导数，计算
o
第五章定积分测试题B卷
n
fi存在，则
、是非题正确者画√，错者画（每小题3分共30分）
1、
0,1上有界，且lim
nni2n
11n
fxdxlim
0nni2n
2、
设hx在
a,b上可积且有连续点，当hx
0时，
b
hxdx
0.
3、
a,b上连续，且fx0，则a
xb时，
dtb
1dt0t
4、
是奇函数，则
fcosxdx0
0
5、
11
dx0
1x
6、
设In
2sinnxdx，由积分中值定理，存在
0
（0,2），使I
nsin2
从而证出limIn0n
、选择题（每小题4分，共20分）
1、
设fx在a,b
上连续，Fxftdt
x
xb
，则下列关于Fx
正确的结论是
2、
3、
4、
5、
A）有界；
B）单调；
C）可积；
D）
可导.
dsinx2ddx01t2dt
A）cosx；
B）cosxcosx；（C）
列不等式后等式正确的是
A）0excos2xdx
C）x32xdx0
2
d0sin（tx）dt
dx0
A）1sinx；（B）
列反常积分收敛的是
A）
xdx；
B）
三、解答题
1、
8分）
计算
3
41
3
4
2、
8分）
计算
3、
8分）
计算
cos2
D）
cosx.
excos2xdx；
cosx1；
1dx；
01x2；
tanx1cos2xdx.
sin6xdx.
2
x1
x1x
dx.
B）
D）
C）
sinx
42
lnxdx
3
12
x
2
dx
2
x
lnxdx
D）
D）
43
lnxdx
3
0.
sinx.
1
cotxdx.
0
1
xln2x
12dx.x1
ex,x02
5、（8分）设fx2，求1fx1dx.
1x2,x02
6、（10分）设fx在0，1可积且单调递减，试证对任一a0,1，有
a1
fxdxafxdx.
00
综合测试A卷答案
、填空题
应填3sin9x22sin4x2.
二、选择题1.（C）；2.（B）;3.（C）;4（C）;5.（D）
三、解答题
2
xf（u）duf（x）
2.原式=limxlimf（x）2.
x22（x2）x22
12
3.原式=（1x）dx（x1）dx1
01
原式=1ln2tetdt1
202
ln2t
tdet
0
1
12（te
ln2
0
ln2
e
tdt）
1
（1ln2）.
4
5.由被积函数的奇偶性知
原式
212
=2min{,x}dx
=20min{x,x}dx
2（
x2dx
0
1dx）
x
1
2（13x
ln
12）
2（1ln2）.
3
6.解:
（1）limF（x）
x0
lxim0
x
0tf（t）dt
2
x
limxf（x）
x02x
f（0）
0.
所以
由F（x）连续知,
lxim0F（x）
x0
0.
2）当x
0时,F（x）
x3f（x）
x
2x0tf（t）dt
4
x
x2f（x）
x
0tf（t）dt
3
x
F（0）
limF（x）F（0）
x0
xf（x）limx0
3x
0
1lim
3x0
x
0tf（t）dt
2limxx0xf（x）f（0）
x0
f（0）
lim
x0
（x）
x2f（x）2tf（t）dtlimx0
所以
lim2xf（x）
x0
1
13f（0）
F（x）为连续函数.
32
0（x2x）f（x）dx
x2f（x）2xf（x）
3x2
（0）.
32
0（x2x）df（x）
（x2x）f（x）300（2x1）f（x）dx
3
0（2x1）f（x）dx（Qf（3）0）
[（2x1）f（x）3020f（x）dx]
[7f（3）f（0）]2f（x）30[7
（2）2]2（20）20.
442
（Qk12f（0）f（0）0k22f（3）f（3）2）
223
综合测试题B卷答案
一、是非题
1．【】如果fx在0,1上可积是对的.
2．【√】设hx在x0连续，由连续函数的局部保号性可知，存在邻域
5.【】,x0是无穷间断点且积分发散
6.【】，limn不一定存在.
7.【】，函数在其每个有定义的区间上不一定有界的，区间也不一定是闭区间，故不能保证可积.
8.【√】，令xabat.
1.解：
I
33
241cos2xdx224cosxdx
00
3
222cosxdx4cosxdx422.0
2
2.解:
6xx2t265315
I2sin6dx42sin6tdx4
02064228
3.解:
11x2x1
Idxdx0x1x31x1x3
三、解答题
1ln21xlnx
lim
1
ln2
ln2x10x1lnx
lim
x10
lnx
x
1
1x
3
1
1
lim
ln2
x10xlnxx1
2
ln2
5.解:
令x1t,x
1t，则
1
1
2
etdt
371
e.
I1ftdx
11
t2dt
2
2
0
24
a
1
1
6.解:
令xat，则
f
0
xdx
afat
0
dtafax
0
dx.
因为
0
a
1,0
x1，故ax
x，
1
a
1
a
f
xd
xf
xdxaf
xfaxdx，
0
0
0
由于
f
x
在0,1
上单调递减，f
axfx，
因此
1
a
a1
a
f
0
xdx
fxdx0，
0
即fxdxa
00
xdx.
1ln22x222
4.原式=x2exdx2，令x2t，t:
0ln2
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