第十八章《平行四边形》单元教案.docx

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第十八章《平行四边形》单元教案

第十八章　平行四边形

18．1　平行四边形

18．1.1　平行四边形的性质

第1课时　平行四边形的性质

（1）

理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．

重点

平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质以及性质的应用．

难点

运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．

一、复习导入

1．师：

我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象．

生：

平行四边形．

师：

平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？

生：

自动伸缩门、挂衣服的简易衣钩等．

师：

你能总结出平行四边形的定义吗？

（小组讨论，教师总结）

（1）定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

（2）表示：

平行四边形用符号“▱”来表示．

如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．

①∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）；

②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC（性质）．

2．探究．

师：

平行四边形是一种特殊的四边形，它除了具有四边形的性质和两组对边分别平行的性质外，还有什么特殊的性质呢？

我们一起来探究一下．

（1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．

（2）猜想平行四边形的对边相等、对角相等．

下面证明这个结论的正确性．

如图，已知：

▱ABCD.

求证：

AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD.

分析：

作四边形ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．

证明：

连接AC，

∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.

又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA（ASA）．

∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D.

由上面的证明可知：

∠1＝∠3，∠2＝∠4，

∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3，

∴∠BAD＝∠BCD.

由此得到：

平行四边形的性质1　平行四边形的对边相等．

平行四边形的性质2　平行四边形的对角相等．

二、新课教授

【例】教材第42页例1

师：

距离是几何中的重要度量之一，前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离．在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，介绍平行线之间的距离．

如图1，a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点．由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，AB＝CD.也就是说，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．

从上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．如图2，a∥b，A是a上的任意一点，AB⊥b，B是垂足，线段AB的长就是a，b之间的距离．

三、巩固练习

1．▱ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C的度数为（　　）

A．60°　　B．80°　　C．100°　　D．120°

【答案】C

2．在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（　　）

A．对角相等B．对角互补

C．邻角互补D．内角和是360°

【答案】B

3．在▱ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交于点O，那么图中的平行四边形一共有（　　）

A．4个

B．6个

C．8个

D．9个

【答案】D

四、课堂小结

1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

2．平行四边形的性质：

对边平行；对边相等；对角相等

我在设计本节课时先让学生看图形，体会到平行四边形在日常生活中的广泛应用，给出平行四边形的定义，从定义出发得到第一个性质，再由学生动手操作和教师演示旋转得到其他性质．因为本章课标明确要求学生能够规范地写出说理过程，所以我在得出平行四边形性质的同时加上几何语言的描述，在练习中也注意规范学生的说理过程．

　　　　　　　　　　　　　　　　第2课时　平行四边形的性质

（2）

理解并掌握平行四边形对角线互相平分的性质．

重点

平行四边形对角线互相平分的性质以及性质的应用．

难点

综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．

一、复习导入

1．复习提问：

（1）什么样的四边形是平行四边形？

四边形与平行四边形的关系是：

（2）平行四边形的性质：

①具有一般四边形的性质（内角和是360°）；

②角：

平行四边形的对角相等，邻角互补．

边：

平行四边形的对边相等．

2．探究：

请学生在纸上画两个全等的平行四边形ABCD和平行四边形EFGH，并连接对角线AC，BD和EG，HF，设它们分别交于点O.把这两个平行四边形摞在一起，在点O处钉一个图钉，将四边形ABCD绕点O旋转180°，观察它是否还是和四边形EFGH重合．你能从中看出前面所提到的平行四边形的边、角关系吗？

你还能发现平行四边形的什么性质吗？

结论：

（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；

（2）平行四边形的对角线互相平分．

二、新课教授

【例1】已知：

如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O与AB，CD分别相交于点E，F.

求证：

OE＝OF，AE＝CF，BE＝DF.

证明：

在▱ABCD中，AB∥CD，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.

又OA＝OC（平行四边形的对角线互相平分），

∴△AOE≌△COF（AAS）．

∴OE＝OF，AE＝CF（全等三角形的对应边相等）．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD（平行四边形的对边相等）．

∴AB－AE＝CD－CF，即BE＝FD.

引申：

若例1中的条件都不变，将EF转动到图①的位置，那么例1的结论是否成立？

若将EF向两边延长与平行四边形的两条对边的延长线分别相交（图②和图③），例1的结论是否成立？

说明你的理由．

解略．

【例2】教材第44页例2

三、巩固练习

1．▱ABCD中，∠A的余角与∠B的和是120°，则∠A＝________，∠B＝________．

分析：

平行四边形的邻角互补．

【答案】75°　105°

2．平行四边形的周长等于56cm，两邻边的长的比为3∶1，那么这个平行四边形较长的边长为________．

分析：

平行四边形的对边相等．

【答案】21cm

3．▱ABCD的周长为60cm，对角线交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长大8cm，则AB，BC的长分别是________．

分析：

平行四边形的对边相等，对角线互相平分．

【答案】19cm，11cm

4．▱ABCD的周长为50cm，AB＝15cm，∠A＝30°，则此平行四边形的面积为________．

分析：

平行四边形的对边相等，面积等于边与该边上的高的乘积．

【答案】75cm2

四、课堂小结

定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

性质：

（1）边的性质：

对边平行且相等；

（2）角的性质：

对角相等，邻角互补；

（3）对角线的性质：

对角线互相平分．

课堂中，我通过让学生说一说、找一找等多种活动，在同桌合作、小组合作等活动交流中，让学生充分感知四边形的特征，培养了学生的合作意识、交流的能力和动手操作的能力．在作业方面，让学生以小组为单位，在校园中寻找我们身边的四边形，让学生感受数学在生活中的应用，感受数学真正就在我们身边．　　　　　　　　　　　　　　　　　　18.1.2　平行四边形的判定

第1课时　平行四边形的判定

（1）

使学生掌握用平行四边形的定义判定一个四边形是否是平行四边形的方法．

重点

平行四边形的判定方法及应用．

难点

平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．

一、复习导入

1．什么叫平行四边形？

平行四边形有什么性质？

（学生口答，教师板书）

2．将以上的性质定理分别用命题的形式叙述出来．（即用“如果……那么……”的形式）

根据平行四边形的定义，我们研究了平行四边形的其他性质，那么如何判定一个四边形是否是平行四边形呢？

除了定义，还有什么方法？

平行四边形性质定理的逆命题是否成立？

可以证明，这些逆命题都成立，于是得到平行四边形的判定定理：

平行四边形的判定方法1　两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

平行四边形的判定方法2　两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

平行四边形的判定方法3　对角线互相平分的四边形是平行四边形．

下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例，通过三角形全等进行证明．

如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，求证：

四边形ABCD是平行四边形．

证明：

∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB，∴∠OAD＝∠OCB，∴AD∥BC，同理AB∥DC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

二、新课教授

【例1】教材第46页例3

【例2】已知：

如图，E，F分别为平行四边形ABCD的两边AD，BC的中点，连接BE，DF.

求证：

∠1＝∠2.

证明：

在△ABE和△CDF中，∠A＝∠C，AB＝CD，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF.又∵DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴∠1＝∠2.

三、巩固练习

1．下列条件中，能判断四边形是平行四边形的是（　　）

A．对角线互相垂直

B．对角线相等

C．对角线互相垂直且相等

D．对角线互相平分

【答案】D

2．已知：

如图，▱ABCD中，点E，F分别在CD，AB上，DF∥BE，EF交BD于点O.求证：

EO＝OF.

【答案】证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，∴DE∥BF.

又DF∥BE，

∴四边形DEBF为平行四边形，

∴EO＝OF.

四、课堂小结

1．平行四边形的三个判定定理．

2．会用四边形的三个判定定理解决简单的问题．

在教学过程中教师应积极转变传统的“传道、授业、解惑”的角色，在教学中应把握教材的精神，在设计、安排和组织教学过程的每一个环节都应当有意识地体现探索的内容和方法，避免教学内容的过分抽象和形式化，使学生通过直观感受去理解和把握，体验数学学习的乐趣，积累数学活动经验，体会数学推理的意义，让学生在做中学，逐步形成创新意识．　　　　　　　　　　　　　　　　　　第2课时　平行四边形的判定

（2）

理解并掌握平行四边形的判定定理．

重点

理解并掌握平行四边形的判定定理，做到熟练应用．

难点

理解并掌握平行四边形的判定定理，体会几何推理的思维方法．

一、复习导入

1．平行四边形的定义是什么？

2．平行四边形具有哪些性质？

3．平行四边形是如何判定的？

教师板书，并画出一个平行四边形，如图．（帮助理解）

学生活动：

踊跃发言，相互讨论，回顾平行四边形的性质与判定定理．

二、讲授新课

师：

通过前面的学习，我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等．那么反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？

下面我们就来证明这个结论是否正确．

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.求证：

四边形ABCD是平行四边形．

证明：

连接AC.

∵AB∥CD，∴∠1＝∠2.

又AB＝CD，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA，

∴BC＝DA，

∴四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形．

于是我们又得到平行四边形的一个判定定理：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

三、例题讲解

【例1】教材第47页例4

【例2】已知：

如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线．

求证：

四边形AFCE是平行四边形．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠BCD.

∵AE，CF分别平分∠DAB，∠BCD，∴∠DAE＝∠BCF.又∵∠D＝∠B，AD＝BC，∴△DAE≌△BCF，∴DE＝BF，AE＝FC，∴EC＝AF，∴四边形AFCE是平行四边形．

【例3】已知：

如图，▱ABCD中，E，F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F.求证：

四边形BEDF是平行四边形．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD.

∴∠BAE＝∠DCF.

∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，

∴BE∥DF，且∠BEA＝∠DFC＝90°.

∴△ABE≌△CDF（AAS）．

∴BE＝DF.

∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

四、巩固练习

1．判断题：

（1）相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形．（　　）

（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（　　）

（3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．（　　）

（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（　　）

（5）对角线相等的四边形是平行四边形．（　　）

（6）对角线互相平分的四边形是平行四边形．（　　）

【答案】

（1）√　

（2）√　（3）×　（4）√　（5）×　（6）√

2．在四边形ABCD中，

（1）AB∥CD；

（2）AD∥BC；（3）AD＝BC；（4）AO＝OC；（5）DO＝BO；（6）AB＝CD.选择两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的共有________对．

【答案】略

五、课堂小结

经过这两节课的学习，学生基本掌握了几何证明题的解题方法，能应用平行四边形的性质和判定方法解决问题．在以后的学习过程中最主要的任务是让学生落实到笔头上，要让学生学会反思做完的每一道题．

　　　　　　　　　　　　　　　　第3课时　平行四边形的判定（3）

1．理解并掌握三角形中位线的概念，掌握它的性质．

2．能较熟练地应用三角形中位线的性质进行有关的证明和计算．

重点

掌握并运用三角形中位线的性质解决问题．

难点

三角形中位线性质的证明．（辅助线的添加方法）

一、复习导入

创设情境：

请同学们思考：

将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？

（答案如图）

图中有几个平行四边形？

你是如何判断的？

二、讲授新课

师：

在前面学习平行四边形时，常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题．下面我们利用平行四边形来研究三角形的有关问题．

如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，像DE这样，连接三角形两边中点的线段，我们称之为三角形的中位线，我们猜想，DE∥BC，DE＝

BC.下面我们对它进行证明．

如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．求证：

DE∥BC，且DE＝

BC.

分析：

本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半，将DE延长一倍后，可以将证明DE＝

BC转化为证明延长后的线段与BC相等．又由于E是AC的中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明．

证明：

如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF.

∵AE＝EC，DE＝EF，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∴CF綊DA.

∴CF綊BD

∴四边形DBCF是平行四边形，

∴DF綊BC.

又DE＝

DF，

∴DE∥BC，且DE＝

BC.

通过上述证明，我们可以得到三角形的中位线定理：

三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．

三、例题讲解

【例】已知：

如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．

求证：

四边形EFGH是平行四边形．

证明：

连接AC，在△DAC中，

∵AH＝HD，CG＝GD，

∴HG∥AC，HG＝

AC（三角形中位线的性质）．

同理EF∥AC，EF＝

AC.

∴HG∥EF，且HG＝EF.

∴四边形EFGH是平行四边形．

此题可得结论：

顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．

四、巩固练习

1．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N.如果测得MN＝20m，那么A，B两点的距离是________m，理由是________________________．

【答案】40　MN是△ABC的中位线

2．如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．

（1）若EF＝5cm，则AB＝________cm；若BC＝9cm，则DE＝________cm；

（2）中线AF与中位线DE有什么特殊的关系？

证明你的猜想．

【答案】

（1）10　4.5　

（2）AF与DE互相平分，证明略

五、课堂小结

三角形中位线定理：

三角形两边中点的连线是三角形的中位线；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．三角形的中位线是三角形中一条重要的线段，三角形中位线定理在许多计算及证明中都要用到．

在课堂导入中，我以创设问题情景的形式，激起学生探索的欲望，激发学习的兴趣．在问题情境中引出三角形的中位线，导入本节学习的课题；同时，为证明三角形的中位线定理埋下伏笔，也是有助于用运动的思想来思考数学问题．此时教学体现的是人人都能获得必需的数学．三角形的中位线的性质定理的简单应用，学生都能掌握，这个定理在实际生活中的应用是非常广泛的．　　　　　　　　　　　　　　　　　　18.2　特殊的平行四边形

18．2.1　矩形

第1课时　矩　形

（1）

掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．

重点

矩形的性质．

难点

矩形的性质的灵活应用．

一、复习导入

1．思考：

拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？

为什么？

（动画演示拉动的过程，如图）

2．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？

（小学学过的长方形）引出本节课题及矩形的定义．

矩形的定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形）．

矩形是我们最常见的图形之一，例如门窗框、书桌面、教科书的封面、地砖等都有矩形的形象．

探究：

在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．

（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？

（2）当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？

它的两条对角线的长度有什么关系？

操作、思考、交流、归纳后得到矩形的性质：

矩形的性质1　矩形的四个角都是直角．

矩形的性质2　矩形的对角线相等．

如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，由性质2有AO＝BO＝CO＝DO＝

AC＝

BD.因此可以得到直角三角形的一个性质：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

二、新课教授

【例1】教材第53页例1

【例2】已知：

如图，矩形ABCD中，AB长8cm，对角线比AD边长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长．

分析：

因为矩形的四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．

解：

设AD＝xcm，则对角线长（x＋4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理，得x2＋82＝（x＋4）2，解得x＝6，即AD＝6cm.由AE·DB＝AD·AB，解得AE＝4.8cm.

三、巩固练习

1．矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线的长为15cm，较短边的长为（　　）

A．12cmB．10cm

C．7.5cmD．5cm

【答案】C

2．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，求∠A，∠B的度数．

【答案】∠A＝60°，∠B＝30°

四、课堂小结

1．掌握矩形的定义及性质．

2．会用矩形的性质求相关的角的度数．

本节课主要在学生已有的认知水平上，在实际问题情景中，由学生自主探索发现矩形的性质定理，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法，培养学生的学习能力及运用所学知识解决问题的能力，促进学生发展．　　　　　　　　　　　　　　　　　　第2课时　矩　形

（2）

通过探索与交流，逐渐得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的探究过程，掌握矩形的三种判定方法，并会运用它们解决相关问题．

重点

矩形的判定．

难点

矩形的判定定理及性质的综合应用．

一、复习提问，引入新课

师：

什么叫做平行四边形？

什么叫做矩形？

生：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．

师：

矩形有哪些性质？

生：

矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．

师：

矩形是有一个角是直角的平行四边形，判定一个四边形是不是矩形，首先要看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”来判定是最重要和最基本的判定方法．除此之外，还有其他几种判定矩形的方法，下面我们就来研究这些方法．

二、提出疑问，引导探索

师：

小华想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来了两根长度相同的长木条和两根长度相同的短木条制作．你有什么方法可以检测他做的相框是否为矩形？

生：

可以用量角器量一下它的一个内角，若是90°，则这个相框为矩形．

师：

对，这是根据矩形的定义得到的，定义法突出是在平行四边形的基础上添加了一个条件（有一个角是直角），观察矩形和平行四边形，除了角的特性外，边和对角线还有特性吗？

生：

“边”没有特性，“对角线”是相等的．

师：

我们是否可以利用这一特性来判定四边形是不是矩形呢？

请把这个判定用命题的形式写出来．

生：

对角线相等的平行四边形是矩形．

师：

这个命题是否正确？

（分析命题的题设和结论，写出已知和结论，分析证明过程）

证明过程由学生板书完成．

师（归纳板书）：

定理：

对角线相等的平行四边形是矩形．

师：

对角线相等的四边形是矩形吗？

生：

不一定是矩形．

师：

画出反例，如下图所示的四边形，对角线相等，但它不是矩形（先画两条相等但不互相平分的相交线段，再顺次连接各端点得四边形）．

师生讨论，归纳矩形的判定方法：

定义：

有一个角是直角的平行四边形是矩形．

定理：

对角线相等的平行四边形是矩形．

有三个角是直角的四边形是矩形．

（除教材中所举的门框或矩形零件外，还可以结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值．）

三、例题讲解

【例1】教材第54页例2

【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，AE∥BC，过点D作直线EF∥AB，分别交AE，BC于E，F.

求证：

四边形AECF是矩形．

证明：

∵点D是AC的中点，∴AD＝CD.

∵AE∥BC，∴∠EAD＝∠DCF.

∴△ADE≌△CDF，

∴AE＝FC.

∵AE∥BF，AB∥EF.

∴四边形ABFE和四边形AFCE是平行四边形，∴AB＝EF，

又∵AB＝AC，∴EF＝AC，∴平行四边形AFCE是矩形．

四、课堂练习

已知：

O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，AE＝BF＝CG＝DH.求证：

四边形EFGH为矩形．

【答案】证明：

∵四边形ABCD为矩形，

∴AC＝BD.

∵AC，BD互相平分于O，

∴AO＝BO＝CO＝DO.

∵AE＝BF＝CG＝DH，

∴EO＝FO＝GO＝HO.

∴四边形EFGH是平行四边形且HF＝EG，

∴四边形EFGH为