高中数学 必修二第二章 点直线平面之间的位置关系22221222.docx
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高中数学必修二第二章点直线平面之间的位置关系22221222
2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
2.2.2 平面与平面平行的判定
目标定位 1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面、平面与平面平行的判定定理.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.
自主预习
1.直线与平面平行的判定定理
语言叙述
符号表示
图形表示
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行
⇒a∥α
2.平面与平面平行的判定定理
语言叙述
符号表示
图形表示
平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
⇒α∥β
即时自测
1.判断题
（1）直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α.（×）
（2）若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.（√）
（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（×）
（4）如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（√）
提示
（1）直线l可以在平面α内.
（3）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行.
2.三棱台ABC－A1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是（ ）
A.相交B.平行C.在平面内D.不确定
解析 AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，∴AB∥平面A1B1C1.
答案 B
3.点P是平面α外一点，过P作直线a∥α，过P作直线b∥α，且直线a，b确定一个平面β，则（ ）
A.α∥βB.α与β相交
C.α与β异面D.α与β的位置关系不确定
解析 a∩b＝P，a⊂β，b⊂β，b∥α，a∥α，∴α∥β.
答案 A
4.平面α内任意一条直线均平行于平面β，则平面α与平面β的位置关系是________.
解析 平面α内任意一条直线均平行于平面β，所以平面α与平面β无公共点，所以平面α与平面β平行.
答案 平行
类型一 线面平行判定定理的应用
【例1】如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
求证：
（1）EH∥平面BCD；
（2）BD∥平面EFGH.
证明
（1）∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD.
∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EH∥平面BCD.
（2）∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.
规律方法 1.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线.
2.证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等.
【训练1】如图，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证：
SA∥平面MDB.
证明 连接AC交BD于点O，连接OM.
∵M为SC的中点，O为AC的中点，∴OM∥SA
∵OM⊂平面MDB，SA⊄平面MDB，
∴SA∥平面MDB.
类型二 面面平行判定定理的应用
【例2】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：
平面A1EB∥平面ADC1.
证明 由棱柱性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC，
又D，E分别为BC，B1C1的中点，
所以C1E綉DB，则四边形C1DBE为平行四边形，
因此EB∥C1D，又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，
所以EB∥平面ADC1.
连接DE，同理，EB1綉BD，
所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綉B1B.
因为B1B∥A1A，B1B＝A1A（棱柱的性质），
所以ED綉A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.
由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，
A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，
且A1E∩EB＝E，
所以平面A1EB∥平面ADC1.
规律方法 1.要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.
2.判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.
【训练2】如图，三棱锥P－ABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点.证明平面GFE∥平面PCB.
证明 因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，所以EF∥BC，GF∥CP.
因为EF，GF⊄平面PCB，BC，CP⊂面PCB.
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.
又EF∩GF＝F，所以平面GFE∥平面PCB.
类型三 线面平行、面面平行判定定理的综合应用（互动探究）
【例3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点，求证：
（1）直线EG∥平面BDD1B1；
（2）平面EFG∥平面BDD1B1.
[思路探究]
探究点一 判定线面平行与面面平行的思路原则是什么？
提示 判定线面平行与面面平行的思路原则是找作一条直线与平面平行或在一个面内找作两条与另一个平面平行的相交直线，应遵循先找后作的原则，若找不到再作辅助线.
探究点二 如何判定
（2）中平面EFG∥平面BDD1B1?
提示 根据面面平行的判定定理，结合
（1）的结论，故在平面EFG内找到另一条直线与平面BDD1B1平行即可.
证明
（1）如图，连接SB，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.
又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，
∴EG∥平面BDD1B1.
（2）连接SD，
∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.
又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1.
又EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
规律方法 要证明面面平行，由面面平行的判定定理知需在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线.要证明线面平行，又需根据线面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线，即：
【训练3】如图，S是平行四边形ABCD在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且
＝
.
求证：
MN∥平面SBC.
证明 连接AN并延长交BC于P，连接SP，
因为AD∥BC，所以
＝
，又因为
＝
，
所以
＝
，所以MN∥SP.
又MN⊄平面SBC，SP⊂平面SBC，所以MN∥平面SBC.
[课堂小结]
1.直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化.
2.证明面面平行的一般思路：
线线平行⇒线面平行⇒面面平行.
3.准确把握线面平行及面面平行两个判定定理，是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键.
1.能保证直线a与平面α平行的条件是（ ）
A.b⊂α，a∥b
B.b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c
C.b⊂α，A、B∈a，C、D∈b，且AC＝BD
D.a⊄α，b⊂α，a∥b
解析 A错误，若b⊂α，a∥b，则a∥α或a⊂α；B错误，若b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a⊂α；C错误，若满足此条件，则a∥α或a⊂α或a与α相交；D正确.
答案 D
2.在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是（ ）
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
解析 如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，
∴EG∥平面E1FG1，又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，∴平面E1FG1∥平面EGH1.
答案 A
3.梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________.
解析 因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.
答案 CD∥α
4.如图所示，E，F分别为三棱锥A－BCD的棱BC，BA上的点，且BE∶BC＝BF∶BA＝1∶3.
求证：
EF∥平面ACD.
证明 在△BEF和△BCA中，
∵BE∶BC＝BF∶BA＝1∶3，∴EF∥AC.
又EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴EF∥平面ACD
基础过关
1.下列图形中能正确表示语句“平面α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，
a∥β”的是（ ）
解析 A中不能正确表达b⊂β；B中不能正确表达a∥β；C中也不能正确表达a∥β.D正确.
答案 D
2.已知三个平面α，β，γ，一条直线l，要得到α∥β，必须满足下列条件中的（ ）
A.l∥α，l∥β，且l∥γB.l⊂γ，且l∥α，l∥β
C.α∥γ，且β∥γD.l与α，β所成的角相等
解析
⇒α与β无公共点⇒α∥β.
答案 C
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是（ ）
A.相交B.平行
C.异面D.相交或平行
解析 如图，MC1⊂平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.
答案 B
4.若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________.
解析 三条平行线段共面时，两平面可能平行也可能相交，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行.
答案 平行或相交
5.给出下列结论：
①若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α；②若直线a与平面α内的无数条直线平行，则a∥α；③若平面α，β都与直线a平行，则α∥β；④若平面α内存在无数条直线平行于平面β，则α∥β.其中错误的是______（填序号）.
解析 ①中直线a与平面α可能相交；②中直线a∥α或a⊂α；③中，α∥β或α与β相交；④中，平面α内无数条直线互相平行时，α∥β或α与β相交.故①②③④均错误.
答案 ①②③④
6.如图所示的几何体中，△ABC是任意三角形，AE∥CD，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F为BE的中点，求证：
DF∥平面ABC.
证明 如图所示，取AB的中点G，连接FG，CG，
∵F，G分别是BE，AB的中点，
∴FG∥AE，FG＝
AE.
又∵AE＝2a，CD＝a，
∴CD＝
AE.又AE∥CD，∴CD∥FG，CD＝FG，
∴四边形CDFG为平行四边形，
∴DF∥CG.又CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，
∴DF∥平面ABC.
7.如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为棱AB，CC1，AA1，C1D1的中点.求证：
平面CEM∥平面BFN.
证明 因为E，F，M，N分别为其所在各棱的中点，如图连接CD1，A1B，易知FN∥CD1.
同理，ME∥A1B.
易证四边形A1BCD1为平行四边形，所以ME∥NF.
连接MD1，同理可得MD1∥BF.
又BF，NF为平面BFN中两相交直线，ME，MD1为平面CEM中两相交直线，故平面CEM∥平面BFN.
能力提升
8.点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是（ ）
A.0B.1C.2D.3
解析 如图，由线面平行的判定定理可知，
BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
答案 C
9.已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是（ ）
A.l∥β，l⊂α⇒α∥β
B.l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥β
C.l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥β
D.l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β
解析 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，
则AB∥平面DC1，AB⊂平面AC，
但是平面AC与平面DC1不平行，
所以A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，
B1C1∥平面AC.EF⊂平面BC1，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以B错误；可证AD∥B1C1，AD⊂平面AC，B1C1⊂平面BC1，又平面AC与平面BC1不平行，所以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确.
答案 D
10.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，
①BM∥平面DE；
②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是________.
解析 以ABCD为下底面还原正方体，如图：
则易判定四个命题都是正确的.
答案 ①②③④
11.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，M是线段AD的中点，求证：
GM∥平面ABFE.
证明 因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，所以△ABC∽△EFG，由于AB＝2EF，因此BC＝2FG.如图，连接AF，
由于FG∥BC，FG＝
BC，在▱ABCD中，M是线段AD的中点，则AM∥BC，且AM＝
BC，
因此FG∥AM且FG＝AM，
所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM∥FA.
又FA⊂平面ABFE，GM⊄平面ABFE，
所以GM∥平面ABFE.
探究创新
12.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱A1B1的中点.
（1）求证：
A1C∥面BEC1.
（2）求异面直线A1C与B1C1所成的角的正切值.
（1）证明 连接B1C，交BC1于点O，连接OE，如图.
因为几何体是正方体，
所以O是B1C的中点.
又点E是棱A1B1的中点，所以OE∥A1C.
因为OE⊂平面BEC1，A1C⊄平面BEC1，
所以A1C∥平面BEC1.
（2）解 连接A1B，因为BC∥B1C1，
所以异面直线A1C与B1C1所成的角为∠BCA1.
因为几何体是正方体，
所以BC⊥A1B，
所以tan∠BCA1＝
＝
.
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