相似三角形与圆综合培训讲学.docx

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相似三角形与圆综合培训讲学

（一）知识复习巩固

圆的基本性质：

圆周角性质，垂径定理逆定理，切线长定理

相似三角形四种判定，及性质

（二）例题精讲：

例1、已知：

如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交⊙O的切线BF于点F,B为切点。

求证：

（1）BD平分∠CBF;

（2）AB⋅BF=AF⋅CD.

考点：

相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，圆周角定理，弦切角定理

分析：

（1）由于AF是∠BAC的角平分线，那么∠1=∠2，利用弦切角定理可得∠1=∠3，利用同弧所对的圆周角相等，可得∠2=∠4，那么，可证∠3=∠4，即BD平分∠CBF；

（2）由于∠3=∠1，∠F=∠F，那么可证△DBF∽△BAF，再利用相似三角形的性质，可得相关比例线段AB：

AF=BD：

BF，又由于∠1=∠2，同圆里相等的圆周角所对的弧相等，而同圆里相等的弧所对的弦相等，从而BD=CD，等量代换，可得AB：

AF=CD：

BF，即AB•BF=AF•CD．

解答：

证明：

（1）∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2,（2分）

∵BF切⊙O于点B，∴∠3=∠2，

∴∠3=∠1,（4分）

又∵∠2=∠4，

∴∠3=∠4,即BD平分∠CBF;（6分）

（2）在△DBF和△BAF中，

∵∠3=∠1，∠F=∠F，

∴△DBF∽△BAF,（8分）

∴BDAB=BFAF即AB⋅BF=AF⋅BD（10分）

∵∠1=∠2，

∴BD=CD,（11分）

∴AB⋅BF=AF⋅CD.（12分）

例2、已知：

如图,△ABC内接于圆,AB=AC,D为延长线上一点,AD交圆于E.求证：

AB2=AD⋅AE.

考点：

相似三角形的判定与性质，圆周角定理

分析：

如图，作辅助线；证明△ABE∽△ADB，列出比例式，即可解决问题．

解答：

证明：

如图，连接BE；

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB；

∵∠AEB=∠ACB，

∴∠AEB=∠B，而∠BAE=∠BAD，

∴△ABE∽△ADB，

∴AB:

AD=AE:

AB，

∴AB2=AD⋅AE.

例3、如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30∘，C是弦AB上的任意一点（不与点A. B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.

（1）弦长AB等于______（结果保留根号）；

（2）当∠D=20∘时，求∠BOD的度数；

（3）当AC的长度为多少时，以A.C. D为顶点的三角形与以B.C. 0为顶点的三角形相似?

请写出解答过程。

考点：

圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形

分析：

（1）过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理即可求得AB的长；

（2）连接OA，由OA=OB，OA=OD，可得∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，则可求得∠DAB的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得∠DOB的度数；

（3）由∠BCO=∠A+∠D，可得要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，然后由相似三角形的性质即可求得答案．

解答：

（1）过点O作OE⊥AB于E，

则AE=BE=12AB，∠OEB=90∘，

∵OB=2，∠B=30∘，

∴BE=OB⋅cos∠B=2×3√2=3√

∴AB=23√；

故答案为：

23√；

（2）连接OA，

∵OA=OB，OA=OD，

∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，

∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，

又∵∠B=30∘，∠D=20∘，

∴∠DAB=50∘，

∴∠BOD=2∠DAB=100∘；

（3）∵∠BCO=∠A+∠D，

∴∠BCO>∠A，∠BCO>∠D，

∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90∘，

此时∠BOC=60∘，∠BOD=120∘，

∴∠DAC=60∘，

∴△DAC∽△BOC，

∵∠BCO=90∘，

即OC⊥AB，

∴AC=12AB=3√.

∴当AC的长度为3√时，以A.C. D为顶点的三角形与以B.C. 0为顶点的三角形相似。

例4、如图,在△ABC中,∠ACB=90∘，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的三边，交点分别是G，E，F点.EG与CD交点为M.

（1）求证：

∠GEF=∠A；

（2）求证：

△OME∽△EMC；

（3）若ME=46√，MD:

CO=2:

5，求⊙O面积。

考点：

圆的综合题

分析：

（1）连接DF，如图所示，由CD为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠CFD为直角，又因为∠ACB为直角，利用同位角相等的两直线平行，得到DF与AC平行，根据两直线平行同位角相等可得出∠BDF=∠A，而∠BDF与∠GEF都为弧FG所对的圆周角，利用同弧所对的圆周角相等得到∠BDF=∠GEF，等量代换可得证；

（2）由D为AB的中点，即CD为直角三角形ABC斜边AB的中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得出CD与AD相等，都为AB的一半，利用等边对等角得到∠A=∠DCA，由

（1）∠A=∠GEF，等量代换得到∠GEF=∠DCA，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得证；

（3）由

（2）得出的三角形CEM与三角形MOE相似，利用相似得比例，得到ME2=OM•MC，将ME的长代入求出OM•MC的值为96，由MD：

CO=2：

5，根据OD=OC，得出OM与CM的比值为3：

8，设OM=3x，CM=8x，代入OM•MC=96中列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出半径OC的长，即可求出圆O的面积．

解答：

（1）证明：

连接DF，如图所示：

∵CD是圆O直径，

∴∠CFD=90∘，

又∵∠ACB=90∘，

∴DF∥AC，

∴∠BDF=∠A，

∵∠BDF与∠GEF为同弧所对的圆周角，

∴∠BDF=∠GEF，

∴∠GEF=∠A；

（2）证明：

∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，

∴DC=DA=12AB，

∴∠DCA=∠A，

又由

（1）知∠GEF=∠A，

∴∠DCA=∠GEF，

又∵∠OME=∠EMC，

∴△OME∽△EMC；

（3）由

（2）知△OME∽△EMC，

则OMME=MEMC,即ME2=OM⋅MC，

又∵ME=46√，

∴OM⋅MC=（46√）2=96，

∵MD:

CO=2:

5，

∴OM:

MD=3:

2，

∴OM:

MC=3:

8，

设OM=3x，MC=8x，

∴3x⋅8x=96,即x2=4，

解得：

x=2，

∴OC=5x=10，

∴圆O面积为100π.

例5、如图，已知直线PA交⊙O于A. B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD丄PA，垂足为D.

（1）求证：

CD为⊙O的切线；

（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度。

考点：

切线的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，垂径定理

分析：

（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD为⊙O的切线；

（2）过O作OF⊥AB，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形OCDF为矩形，设AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5-x）2+（6-x）2=25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长．

解答：

（1）证明：

连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∵AC平分∠PAE，

∴∠DAC=∠CAO，

∴∠DAC=∠OCA，

∴PB∥OC，

∵CD⊥PA，

∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，

∴CD为⊙O的切线；

（2）过O作OF⊥AB，垂足为F，

∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90∘，

∴四边形DCOF为矩形，

∴OC=FD，OF=CD.

∵DC+DA=6，

设AD=x，则OF=CD=6−x，

∵⊙O的直径为10，

∴DF=OC=5，

∴AF=5−x，

在Rt△AOF中,由勾股定理得AF2+OF2=OA2.

即（5−x）2+（6−x）2=25，

化简得x2−11x+18=0，

解得x1=2,x2=9.

∵CD=6−x大于0，故x=9舍去，

例6、如图，AB是半圆O的直径，AB=2.射线AM、BN为半圆O的切线。

在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.

（1）求证：

△ABC∽△OFB；

（2）当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长；

（3）求证：

当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点。

考点：

切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质

分析：

（1）根据OE∥AC，得出∠BAC=∠FOB，进而得出∠BCA=∠FBO=90°，从而证明结论；

（2）根据△ACB∽△OBF得出△ABD∽△BFO，从而得出DQ∥AB，即可得出BQ=AD；

（3）首先得出AD=DP，QB=BQ，进而得出DQ2=QK2+DK2，得出BF=2BQ，即可得出Q为BF的中点．

解答：

（1）证明：

∵AB为直径，

∴∠ACB=90∘，即：

AC⊥BC，

又OE⊥BC，

∴OE∥AC，

∴∠BAC=∠FOB，

∵BN是半圆的切线，

∴∠BCA=∠FBO=90∘，

∴△ABC∽△OFB.

（2）连接OP，

由△ACB∽△OBF得,∠OFB=∠DBA,∠BCA=∠FBO=90∘，

∵AM、BN是⊙O的切线，

∴∠DAB=∠OBF=90∘，

∴△ABD∽△BFO，

∴当△ABD与△BFO的面积相等时,△ABD≌△BFO，

∴AD=OB=1，

∵DP切圆O，DA切圆O，

∴DP=DA，

∵△ABD≌△BFO，

∴DA=BO=PO=DP,

又∵∠DAO=∠DPO=90∘，

∴四边形AOPD是正方形，

∴DQ∥AB，

∴四边形ABQD是矩形，

∴BQ=AD=1；

（3）证明：

由

（2）知,△ABD∽△BFO，

∴BFOB=ABAD，

∴BF=OB⋅ABAD=1×2AD=2AD，

∵DP是半圆O的切线，射线AM、BN为半圆O的切线，

∴AD=DP，QB=QP，

过Q点作AM的垂线QK，垂足为K，在Rt△DQK中，

DQ2=QK2+DK2，

∴（AD+BQ）2=（AD−BQ）2+22.

∴BQ=1AD，

∴BF=2BQ，

∴Q为BF的中点。

例7、如图，在平面直角坐标系中，点A（10,0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E. F，点E为垂足，连接CF.

（1）当∠AOB=30∘时，求弧AB的长度；

（2）当DE=8时，求线段EF的长；

（3）在点B运动过程中，是否存在以点E.C. F为顶点的三角形与△AOB相似?

若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由。

考点：

相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质，勾股定理，弧长的计算，平行线分线段成比例

分析：

（1）连接BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC=

1

2

AO=5，根据弧长公式求解；

（2）连接OD，由垂直平分线的性质得OD=OA=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求OE，依题意证明△OEF∽△DEA，利用相似比求EF；

（3）存在．当以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似时，分为①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，②当交点E在点C的右侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，③当交点E在点O的左侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，三种情况，分别求E点坐标．

解答：

（1）连接BC,

∵A（10,0），∴OA=10，CA=5，

∵∠AOB=30∘，

∴∠ACB=2∠AOB=60∘，

∴弧AB的长=60×π×5180=5π3；

（2）①若D在第一象限，

连接OD，

∵OA是⊙C直径,

∴∠OBA=90∘，

又∵AB=BD，

∴OB是AD的垂直平分线，

∴OD=OA=10，

在Rt△ODE中，

OE=OD2−DE2−−−−−−−−−−√=102−82−−−−−−−√=6，

∴AE=AO−OE=10−6=4，

由∠AOB=∠ADE=90∘−∠OAB，∠OEF=∠DEA，

得△OEF∽△DEA，

∴AEDE=EFOE,即48=EF6，

∴EF=3；

②若D在第二象限，

连接OD,

∵OA是⊙C直径，

∴∠OBA=90∘，

又∵AB=BD，

∴OB是AD的垂直平分线，

∴OD=OA=10，

在Rt△ODE中，

OE=OD2−DE2−−−−−−−−−−√=102−82−−−−−−−√=6，

∴AE=AO+OE=10+6=16，

由∠AOB=∠ADE=90∘−∠OAB，∠OEF=∠DEA，

得△OEF∽△DEA，

∴AEDE=EFOE,即168=EF6，

∴EF=12；

∴EF=3或12；

（3）设OE=x，

①当交点E在O，C之间时，由以点E.C. F为顶点的三角

形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，

当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC

中点,即OE=52，

∴E1（52,0）；

当∠ECF=∠OAB时，有CE=5−x，AE=10−x，

∴CF∥AB,有CF=12AB，

∵△ECF∽△EAD，

∴CEAE=CFAD,即5−x10−x=14,解得：

x=103，

∴E2（103,0）；

②当交点E在点C的右侧时，

∵∠ECF>∠BOA，

∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO,

连接BE，

∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，

∴BE=AB=BD，

∴∠BEA=∠BAO，

∴∠BEA=∠ECF，

∴CF∥BE，

∴CFBE=OCOE，

∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=90∘，

∴△CEF∽△AED，

∴CFAD=CEAE，

而AD=2BE，

∴OC2OE=CEAE，

即52x=x−510−x,解得x1=5+517−−√4,x2=5−517−−√4<0（舍去），

∴E3（5+517−−√4,0）；

③当交点E在点O的左侧时，

∵∠BOA=∠EOF>∠ECF.

∴要使△ECF与△BAO相似,只能使∠ECF=∠BAO

连接BE,得BE=12AD=AB，∠BEA=∠BAO

∴∠ECF=∠BEA，

∴CF∥BE，

∴CFBE=OCOE，

又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=90∘，

∴△CEF∽△AED，

∴CEAE=CFAD，

而AD=2BE，

∴OC2OE=CEAE，

∴52x=x+510+x，

解得x1=−5+517−−√4,x2=−5−517−−√4（舍去），

∵点E在x轴负半轴上，

∴E4（5−517−−√4,0），

综上所述：

存在以点E.C. F为顶点的三角形与△AOB相似，

此时点E坐标为：

E1（52,0）、E2（103,0）、E3（5+517−−√4,0）、E4（5−517−−√4,0）.

例8、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在x轴上，且OA＞OB，以AB为直径的圆过点C．若点C的坐标为（0，2），AB=5，A，B两点的横坐标xA，xB是关于x的方程x2-（m+2）x+n-1=0的两根．

（1）求m，n的值；

（2）若∠ACB平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数解析式；

（3）过点D任作一直线l′分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N．则

的是否为定值？

若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

解答：

，

解之m=-5，n=-3．

（2）如图，过点D作DE∥BC，交AC于点E，易知DE⊥AC，且∠ECD=∠EDC=45°，

在△ABC中，易得AC=

，BC=

，

∵DE∥BC，∴

，∵DE=EC，∴

，

又△AED∽△ACB，有

，∴

=2，

∵AB=5，设BD=x，则AD=2x，AB=BD+AD=x+2x=5，解得DB=x=

，

则OD=

，即D（-

，0），

易求得直线l对应的一次函数解析式为：

y=3x+2．

解法二：

过D作DE⊥AC于E，DF⊥CN于F，

由S△ACD+S△BCD=S△ABC′

求得

．

又S△BCD=

BD•CO=

BC•DF，

求得BD=

，DO=

．

即D（-

，0），

易求得直线l对应的一次函数解析式为：

y=3x+2．

（3）过点D作DE⊥AC于E，DF⊥CN于F．

∵CD为∠ACB的平分线，∴DE=DF．

由△MDE∽△MNC，有

，

由△DNF∽△MNC，有

． 

∴

，

即

．

例9、如图,在平面直角坐标系xOy中,AB在x轴上,AB=10,以AB为直径的⊙O1与y轴正半轴交于点C,连接BC、AC,CD是⊙O1的切线,AD⊥CD于点D,tan∠CAD=12,抛物线y=ax2+bx+c过A.B. C三点。

（1）求证：

∠CAD=∠CAB；

（2）求抛物线的解析式；

（3）判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由。

考点：

二次函数综合题

分析：

（1）根据切线的性质得出O1C∥AD，进而得出O1A=O1C，则∠CAB=∠O1CA，即可得出答案；

（2）首先得出△CAO∽△BCO，即可得出

再利用OC2=2CO（10-2CO），得出A．B，C交点坐标，即可得出抛物线解析式；

（3）首先求出△AOC≌△ADC即可得出AD=AO=8，利用O1C∥AD，得出△FO1C∽△FAD，即可求出F点坐标，求出CD解析式，再利用E点坐标代入解析式即可得出答案．

解答：

（1）证明：

连接O1C，

∵CD是⊙O1的切线，

∴O1C⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴O1C∥AD，

∴∠O1CA=∠CAD，

∵O1A=O1C，

∴∠CAB=∠O1CA，

∴∠CAD=∠CAB；

（2）∵AB是⊙O1的直径，

∴∠ACB=90∘，

∵OC⊥AB，

∴∠CAB=∠OCB，

∴△CAO∽△BCO，

∴OCOA=OBOC，

即OC2=OA⋅OB，

∵tan∠CAO=tan∠CAD=12，

∴AO=2CO，

又∵AB=10，

∴OC2=2CO（10−2CO），

∵CO>0，

情感性手工艺品。

不少人把自制的手机挂坠作为礼物送给亲人朋友，不仅特别，还很有心思。

每逢情人节、母亲节等节假日，顾客特别多。

∴CO=4，AO=8，BO=2，

∴A（8,0）,B（−2,0）,C（0,4），

∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，C三点，

∴c=4，

由题意得：

{4a−2b+4=064a+8b+4=0，

大学生对手工艺制作兴趣的调研解得：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪a=−14b=32，

∴抛物线的解析式为：

y=−14x2+32x+4；

（3）设直线DC交x轴于点F，

在△AOC和△ADC中，

附件

（一）：

⎧⎩⎨⎪⎪∠CDA=∠COA∠DAC=∠OACAC=AC，

∴△AOC≌△ADC（AAS），

在我们学校大约有4000多名学生，其中女生约占90%以上。

按每十人一件饰品计算，大概需要360多件。

这对于开设饰品市场是很有利的。

女生成为消费人群的主体。

∴AD=AO=8，

关于DIY手工艺制品的消费调查∵O1C∥AD，

∴△FO1C∽△FAD，

为了解目前大学生对DIY手工艺品制作的消费情况，我们于己于人2004年3月22日下午利用下课时间在校园内进行了一次快速抽样调查。

据调查本次调查人数共50人，并收回有效问卷50份。

调查分析如下：

∴O1FAF=O1CAD，

∴8（BF+5）=5（BF+10），

体现市民生活质量状况的指标---恩格尔系数，上海也从1995年的53.4%下降到了2003年的37.2%，虽然与恩格尔系数多在20%以下的发达国家相比仍有差距，但按照联合国粮农组织的划分，表明上海消费已开始进入富裕状态（联合国粮农组织曾依据恩格尔系数，将恩格尔系数在40%-50%定为小康水平的消费，20%-40%定为富裕状态的消费）。

∴BF=103,F（−163,0）；

设直线DC的解析式为y=kx+m，则

⎧⎩⎨m=4−163k+m=0，

我们认为：

创业是一个整合的过程，它需要合作、互助。

大学生创业“独木难支”。

在知识经济时代，事业的成功来自于合作，团队精神。

创业更能培养了我们的团队精神。

我们一个集体的智慧、力量一定能够展示我们当代大学生的耐心.勇气和坚强的毅力。

能够努力克服自身的弱点，取得创业的成功。

解得：

⎧⎩⎨m=4k=34，

一、消费者分析∴直线DC的解析式为y=34x+4，

由y=−14x2+32x+4=y=−14（x−3）2+254得顶点E的坐标为（3,254），

将E（3,254）代入直线DC的解析式y=34x+4中，

Ｂｅａｄｗｒｋｓ公司还组织各国的“芝自制饰品店”定期进行作品交流，体现东方女性聪慧的作品曾在其他国家大受欢迎；同样，自各国作品也曾无数次启发过中国姑娘们的灵感，这里更是创作的源泉。

右边=34×3+4=254=左边，

∴抛物线顶点E在直线CD上。