0b68ff4524d3240c844769eae009581b6bd9bd6c.docx

0b68ff4524d3240c844769eae009581b6bd9bd6c.docx

《0b68ff4524d3240c844769eae009581b6bd9bd6c.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《0b68ff4524d3240c844769eae009581b6bd9bd6c.docx（48页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

山东省潍坊市学年高二上学期期中数学试题及答案

山东省潍坊市2021-2022学年高二上学期期中数学试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．直线

的倾斜角为（       ）

A．

B．

C．

D．

2．已知直线

不在平面

内，则“

”是“直线

上存在两个点到平面

的距离相等”的（       ）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．在平面直角坐标系中，直线

绕它与

轴的交点

按顺时针方向旋转

所得的直线方程是（       ）

A．

B．

C．

D．

4．若直线

与直线

垂直，则

（       ）

A．

B．

C．

D．

5．半径为4的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为（       ）

A．

B．

C．

D．

6．圆

上的点

关于直线

的对称点仍在圆

上，且该圆的半径为

，则圆

的方程为（       ）

A．

B．

C．

或

D．

或

7．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑的屋顶为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧棱长为2，且与底面所成的角为

，则此正六棱锥的体积为（       ）

A．

B．

C．

D．

8．若直线

与曲线

．   仅有一个公共点，则

的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

9．直线

与圆

的大致图像可能正确的是（       ）

A．

B．

C．

D．

10．（多选题）下列说法中，正确的结论有（       ）

A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等

B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等

C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补

D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行

11．已知直线

，则下列结论正确的是（       ）

A．存在实数

，使得直线

与直线

垂直

B．存在实数

，使得直线

与直线

平行

C．存在实数

，使得点A到直线

的距离为4

D．存在实数

，使得以线段

为直径的圆上的点到直线

的最大距离为

12．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为

，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（       ）

A．

B．该半正多面体的外接球的表面积为

C．

与平面

所成的角为

D．与

所成的角是

的棱共有16条

三、填空题

13．过

两点的直线

的斜率为________．

14．已知空间向量

，若

，则

15．过点

的光线经

轴反射后与圆

相切，则

四、双空题

16．已知点

是空间直角坐标系

内一点，则点

关于

轴的对称点

的坐标为________．若点

在平面

上的射影为

，则四面体

的体积为________．

五、解答题

17．已知

的三个顶点

，边

的中线所在直线方程为

，

（1）求实数

；

（2）试判断点

与以线段

为直径的圆的位置关系，并说明理由．

18．如图，三棱柱

，

为

的中点，

，设

（1）试用

表示向量

；

（2）若

，异面直线

与

所成角的余弦值．

19．如图，在五面体

中，四边形

是矩形，

，平面

平面

．

（1）若点

是

的中点，求证：

平面

；

（2）若

，求点

到平面

的距离．

20．已知圆

的圆心在直线

上，且过点

．

（1）求圆

的方程；

（2）已知圆

上存在点

，使得

的面积为

，求点

的坐标．

21．如图，已知矩形

中，

，

，

为

的中点，将

沿

折起，使得平面

平面

．

（1）求证：

平面

平面

；

（2）若点

是线段

上的一动点，且

，当二面角

的余弦值为

时，求

的值．

22．已知圆

的圆心与点

关于直线

对称，且圆

与

轴相切于原点

．

（1）求圆

的方程；

（2）过原点

的两条直线与圆

分别交于

两点，直线

的斜率之积为

，

为垂足，是否存在定点

，使得

为定值，若存在，求出

点坐标；若不存在，说明理由．

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

根据直线的斜率

，利用倾斜角的公式即可算出所求直线的倾斜角．

【详解】

解：

直线

的斜率

，

设直线的倾斜角为

，则

，

结合

，

，可得

故选：

B．

2．A

【解析】

【分析】

根据充分、必要条件的定义，结合空间中线、面的位置关系，即可得答案.

【详解】

若

，则l上任意点到平面

的距离都相等，即存在两个点到平面

的距离相等，充分性成立，

若直线

上存在两个点到平面

的距离相等，则l与平面

可相交，且面上、下各有一点到平面的距离相等，故必要性不成立，

所以“

”是“直线

上存在两个点到平面

的距离相等”的充分不必要条件.

故选：

A

3．C

【解析】

【分析】

由题意，先求出直线与

轴的交点

的坐标，再求出把它按顺时针方向旋转

所得的直线的斜率，用点斜式求出旋转后直线的方程．

【详解】

解：

直线

的斜率为

，倾斜角为

，

绕它与

轴的交点

，

，

把它按顺时针方向旋转

所得的直线的倾斜角为

，

故旋转后，直线的斜率为

，

故旋转后，直线的方程为

，即

，

即

，

故选：

C．

4．D

【解析】

【分析】

根据两直线垂直系数间的关系，计算即可得答案.

【详解】

因为两直线垂直，

所以

，解得

.

故选：

D

5．C

【解析】

【分析】

根据圆锥的体积公式，结合半圆与圆锥展开图的关系进行求解即可.

【详解】

设圆锥的底面半径为

，母线为

，高为

，

因为圆锥是由半径为4的半圆卷成，

所以

，由

，

由勾股定理可得：

，

所以圆锥的体积为：

，

故选：

C

6．D

【解析】

【分析】

先判断圆心在直线

上，设圆心的坐标为

，由半径，列出方程，求出

的值，即可得到答案．

【详解】

解：

因为圆

上的点

关于直线

的对称点仍在圆

上，

所以圆心在直线

上，

设圆心的坐标为

，

因为该圆的半径为

，

则

，

解得

或

，

所以圆心

为

或

，

则圆

的方程为

或

．

故选：

D．

7．A

【解析】

【分析】

由题意分别求得锥体的底面积和高度，然后计算其体积即可．

【详解】

解：

将原问题抽象为如图所示的正六棱锥

，设底面的中心为

，连结

，

，

由题意可得

，则

，

即六棱锥的高

，六棱锥的底面是由6个边长为

的等边三角形组成的，

从而其体积

．

故选：

A．

8．D

【解析】

【分析】

首先确定曲线的形状，然后结合直线恒过定点考查临界情况结合图像即可确定实数

的取值范围．

【详解】

解：

曲线

即

，

即

，

表示

为圆心，

为半径的圆的上半部分，

直线

恒过定点

，

考查临界情况：

当直线过点

时，直线的斜率

，此时直线与半圆有两个交点，

当直线过点

时，直线的斜率

，此时直线与半圆有1个交点，

当直线与半圆相切时，圆心

到直线

的距离为1，且

，

即

，解得：

，

舍去）．

据此可得，实数

的取值范围是

．

故选：

D．

9．AC

【解析】

【分析】

根据每个选项的直线的斜截式方程可以判断出

的正负性，再判断圆心的位置即可.

【详解】

A：

直线不经过第四象限，所以

，所以圆的圆心在第一象限，因此本选项可能正确；

B：

直线不经过第一象限，所以

，所以圆的圆心在第三象限，因此本选项不可能正确；

C：

直线不经过第一象限，所以

，所以圆的圆心在第三象限，又因为该圆经过原点，所以有

，在圆的方程中，令

，

得

或

，因为

，

所以

，因此本选项可能正确；

D：

直线不经过第二象限，所以

，所以圆的圆心在第四象限，又因为该圆经过原点，所以有

，在圆的方程中，令

，

得

或

，因为

，

所以

，因此本选项不可能正确，

故选：

AC

10．BD

【解析】

【分析】

由等角定理可判断A的真假；根据直线夹角的定义可判断B的真假；举反例可判断C的真假；由平行公理可判断D的真假.

【详解】

对于选项A：

如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误；

对于选项B：

如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，故选项B正确；

对于选项C：

如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中，

与

满足

，

，但是

，

，二者不相等也不互补.故选项C错误；

对于选项D：

如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确.

故选：

BD.

11．ABD

【解析】

【分析】

先求出直线经过定点

的坐标，再根据两直线平行、垂直的性质，直线和圆的位置关系，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

【详解】

解：

直线

，

，

，

直线

的斜率为

，直线

的斜率为1，

故当

时，直线

与直线

垂直；当

时，直线

与直线

平行，故AB正确；

直线

，即

，令

，求得

，可得直线经过定点

，

由于

，故点

到直线

的最大距离为3，故C错误；

由于

，

，

，故以

为直径的圆的圆心

，

且

，故圆的半径为

，圆心

到直线

的最大距离为

，

故以线段

为直径的圆上的点到直线

的最大距离为

，故D正确，

故选：

ABD．

12．ACD

【解析】

【分析】

补全该半正多面体得到一正方体，根据全面积计算可得正方体的棱长，进而计算得到AB的长，判定A;利用几何体的对称性可以知道半正方体的外接球的球心为正方体的中心，由此计算求得外接球的半径，得到外接球的表面积,判定B；根据线面角的定义在扩展的正方体中可以找到所求的线面角，进而求得线面角,判定C；在扩展的正方体中，由正三角形，结合利用平行关系，可得与

所成的角是

的棱的条数，判定D.

【详解】

补全该半正多面体得到一正方体，设正方体的棱长为

，

由题意知，该半正多面体由6个全等的正方形和8个全等的正三角形构成.

则由半正多面体的表面积为

，

得

，解得

，

∵

，∴

，故A正确；

由半正多面体的对称性可知，其对称中心与相应的正方体的对称中心是同一点，其对称中心为正方体的体对角线的中点

，点

在平面

的投影点为

，

则有

，

，所以

，

故该半正多面体的外接球的半径为

，面积为

，故B错误；

因为

平面

，所以AB与平面BCD所成的角为

，故C正确；

在与

相交的6条棱中，与AB所成的角是

的棱有4条，又这4条棱中，每一条棱都有3条平行的棱，故与AB所成的角是

的棱共有16条，故D正确；

故选：

ACD.

13．

【解析】

【分析】

利用两点式求直线斜率即可.

【详解】

由题设，

.

故答案为：

.

14．

【解析】

【分析】

由

，可得

，然后坐标代入化简可求出

的值，从而可求出结果

【详解】

因为

，所以存在实数

，使

，

因为

，

所以

，得

，

所以

，

故答案为：

15．

【解析】

【分析】

先找到

关于y轴对称的点，写出直线

的方程，利用直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于半径列出方程，可解得答案.

【详解】

由题意知

关于y轴对称的点为

故直线

的方程为

，即

，

由题意可知直线

与圆

相切，

所以

，解得

，

故答案为：

.

16．    （1，－2，－3）    2

【解析】

【分析】

由空间直角坐标系中的点的对称性质求解，利用棱锥的体积公式直接求解

【详解】

是空间直角坐标系

内一点，则点

关于

轴的对称点

的坐标为（1，－2，－3），

因为点

在平面

上的射影为

，所以

，

所以四面体

的体积为

，

故答案为：

（1，－2，－3），2

17．

（1）

（2）点C在以AB为直径的圆外，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）求出AC的中点坐标代入中线方程即可得解；

（2）求出

及AB的中点坐标，得到圆的方程，利用点与圆的位置关系判断即可.

（1）

由题意可得，AC的中点坐标为D（2

）．

所以

．

所以

；

（2）

由已知可得AB的中点坐标为（6，5）

得

．

所以以AB为直径的圆的方程为

，

因为

，．

所以点C在以AB为直径的圆外．

18．

（1）

（2）

【解析】

【分析】

（1）由向量中线定理和三角形法则可得答案；

（2）计算出

，

，代入

，

，

，由异面直线向量夹角公式可得答案.

（1）

因为D为

中点，

所以

，

由

．所以

，

所以

．

（2）

由题意知

，

，

所以

，

，

，

所以

，

所以异面直线AE与

所成角的余弦值为

．

19．

（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】

（1）通过作辅助线，在平面

内找到一条直线，证明其和

平行，根据线面平行的判定定理，即可证明

平面

；

（2）根据等体积法，利用

，从而可求得答案.

（1）

证明：

取AD中点H，连接EH，GH，

因为H，G分别为AD，AC的中点，

所以

，且

．

因为四边形ABCD是矩形，

，AB＝2EF，

所以

，且

，

所以GH＝EF，且

，

所以四边形EFGH是平行四边形．

所以

，

又

平面AED，

平面AED，

所以FG//平面

；．

（2）

因为平面ABFE⊥平面ABCD，

平面

平面

，

平面ABEF，

所以AE⊥平面ABCD，．

因为

，

平面ABCD，

平面ABCD，

所以EF//平面ABCD．

所以F到平面ACD的距离为E到平面ACD的距离EA．

所以

，

设D到平面AFC的距离h，

所以

．

因为

，

所以

，．

所以

，

所以

所以点D到平面AFC的距离为

．

20．

（1）

（2）

或

【解析】

【分析】

（1）根据条件，求得AB的垂直平分线方程，与

联立，可求得圆心C，根据两点间距离公式，可求得半径r，代入方程，即可得答案.

（2）先求得直线AB的方程及AB两点间距离，由题意可得M到直线AB的距离为

，设M所在直线方程为

，根据两平行线间距离公式，可得c值，与圆联立，即可得M坐标.

（1）

由题意知AB所在直线的斜率为

，

则AB的垂直平分线的斜率为1，

又A（1，3），B（2，2）的中点为

，

所以线段AB的垂直平分线为

，即

，

联立

，得圆心C（2，3）

半径

，

所以圆C方程为

；．

（2）

由题意得AB所在直线方程为

，即

．

可得|

，

因为三角形MAB的面积为

，

所以点M到直线AB的距离为

．

设点M所在直线方程为

，

所以

，

所以

或－5，．

当

时，联立

，无解；

当

时，联立

，

得

或

所以

或

21．

（1）证明见解析；

（2）

.

【解析】

【分析】

（1）证明出

平面

，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）取

中点

，连接

，证明出

平面

，过点

在平面

内作

的垂线，交

于点

，以

为原点，

、

、

所在直线分别为

、

、

轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得出关于

的等式，结合

的取值范围可求得实数

的值.

（1）

证明：

因为在矩形

中，

，

，

为

的中点，

所以

，

因为

，所以

，

因为平面

平面

，平面

平面

，

平面

，所以

平面

，

因为

平面

，所以，平面

平面

.

（2）

解：

取

中点

，连接

，

，

为

的中点，则

，

因为平面

平面

，平面

平面

，

平面

，

所以，

平面

，

过点

在平面

内作

的垂线，交

于点

，

以

为原点，

、

、

所在直线分别为

、

、

轴建立如下图所示空间直角坐标系，

则

、

、

、

，

易知平面

的一个法向量为

，

因为

且

，所以

，

，

．

设平面

的一个法向量为

，则

，

即

，取

，得

．

所以

，因为

，解得

.

22．

（1）

（2）存在；P（2，0）

【解析】

【分析】

（1）设M（a，b）．则由题意可得

，解方程组求出

，从而可求出圆

的方程，

（2）设OA所在直线方程为

，与圆

的方程联立，可求出点

的坐标，同理可求出点

的坐标，则可表示出直线

的方程，化简后可得直线AB过定点C（4，0），由于OC为定值，且△ODC为直角三角形，OC为斜边，从而可得

为定值，进而可求出点

的坐标

（1）

（1）设M（a，b）．

则

．

解得

．

所以该圆的半径为3，．

所以圆M的方程为

；

（2）

设OA所在直线方程为

，

联立

得

，

同理把k换做－

，可得

所以AB所在直线方程为

）．

当

时，可得

，

故直线AB过定点C（4，0）．

由于OC为定值，且△ODC为直角三角形，OC为斜边，

所以OC中点P满足

为定值，

由于O（0，0），C（4，0），故由中点坐标公式可得P（2，0），

故存在点P（2，0），使得|DP|为定值．